资源简介

抛物线
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质、简单应用
滚动考查点 椭圆、双曲线
命题情境点 生活实践情境：2题 探索创新情境：8、14、18题 课程学习情境：4、9、10题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线x2=4y上的任意一点到直线y=-3的距离比到点F(0，1)的距离大
A.1
B.2
C.3
D.4
2.一种卫星接收天线(如图①所示)的曲面是旋转抛物面(抛物线围绕其对称轴旋转180°而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点).已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入，该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处(如图②所示).若该卫星接收天线的顶点到焦点的距离为 m，深度为 m，则其口径(直径)为
A.8m
B.4m
C.2m
D.1m
3.已知抛物线C：y2=2x，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，-1)，则直线l的方程为
A.x-y-2=0
B.x-2y-3=0
C.x+2y+1=0
D.x+y=0
4.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点(4，4)，则抛物线上一点B(x0，2)到焦点F的距离为
A.2
B.3
C.4
D.5
5.已知椭圆C的两个焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，若椭圆上有一点P，使得·=0，则点P的个数为
A.0
B.2
C.4
D.8
6.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于Q，M(M在第四象限)两点，交准线于N点，若=4，则直线FQ的斜率k=
A.
B.
C.2
D.2
7.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的准线方程为y=-，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若不等式2|BF|+8|AF|-λ≥0恒成立，则λ的最大整数值为
A.5
B.4
C.3
D.2
8.已知曲线C：y2=±ax(a>0)与直线y=2x+m(m>0)有3个交点，曲线C上有两个关于y轴对称的动点M，N，O是坐标原点，P，Q在x轴上，且+=0(N，Q在平面直角坐标系的右半平面).若|NQ|+|MP|-|MN|=16恒成立，则m=
A.8
B.6
C.4
D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.直线x-y+1=0过抛物线的焦点，则抛物线的标准方程可以为
A.y2=4x
B.y2=-4x
C.x2=4y
D.x2=-4y
10.已知两抛物线C1：y2=x和C2：x2=y，O为坐标原点，两曲线在第一象限交于点A，则下列结论正确的是
A.C1与C2的图象关于直线x-y=0对称
B.直线y=1与抛物线C1及C2有3个交点
C.过点A的直线与两坐标轴的正半轴交于M，N两点，则S△OMN≥2
D.与抛物线C1和C2都相切的直线为2x+2y+1=0
11.已知点(1，2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点(A点在第一象限)，|AF|>|BF|且|AB|=，O为坐标原点，则下列结论正确的有
A.|AF|=3
B.kAB=1
C.S△OAB=
D.=2
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.抛物线x2=py(p≠0)的焦点坐标为　　　　.
13.如图，已知点F是抛物线y2=6x的焦点，AB，CD是经过点F的弦，且AB⊥CD，则+=　　　　.
14.过双曲线E：-=1(a>0，b>0)的右焦点F作直线l交双曲线的右支于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P.若|AB|=18，离心率为，则|PF|=　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)以椭圆+=1的焦点为焦点；
(2)过点(3，-2)；
(3)焦点到准线的距离为4.
16.(15分)已知动点M到点F，0的距离比到y轴的距离大，将动点M的轨迹记为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)当点N在曲线C的y轴右侧上运动时，求点N到直线x+y+3=0的距离的最小值.
17.(15分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F关于准线的对称点为M(-6，0)，斜率存在的直线l(F l)与抛物线交于A，B两点，满足|AF|=6-|BF|.
(1)求抛物线的方程.
(2)线段AB的中垂线是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
18.(17分)已知直线l经过点T(t，0)(t>0)且与抛物线C：y2=2px(p>0)交于A，B两点.
(1)若点A(2，4)，求抛物线C的方程；
(2)若点M(m，0)，直线l的斜率存在，证明：m=-t的充要条件是TM为∠AMB的平分线.
19.(17分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)过点M(2，0)，离心率e=.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知O是坐标原点，直线l：y=kx+1与椭圆C相交于点A，B，求当△OAB面积为最大值时直线l的方程.
【参考答案】
1.B　解析：根据题意，设抛物线x2=4y上的任意一点为P(x，y)，且点P在直线y=-3的上方，故点P到直线y=-1的距离和到点F(0，1)的距离相等，所以任意一点到直线y=-3的距离比到直线y=-1的距离大2.
2.A解析：如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，
使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点O重合，焦点F在x轴上.
设抛物线为C：y2=2px(p>0)，因为顶点到焦点的距离为 m，所以=，得p=5，所以抛物线C的标准方程为y2=10x.当深度为 m，即x=时，代入y2=10x，可得y2=10×=16，所以|y|=4，所以其口径(直径)为8 m.
3.D　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为=2x1，=2x2，y1+y2=-2，所以-=2(x2-x1)，所以k===-1，所以直线l的方程为y+1=-(x-1)，即x+y=0.
4.C　解析：因为抛物线C：y2=2px(p>0)过点(4，4)，所以42=2p×4，解得p=2，所以(2)2=4×x0，解得x0=3，所以|BF|=x0+=3+=4.
5.C　解析：如图，
设椭圆方程为+=1(a>b>0)，椭圆的上顶点为B，若椭圆的离心率为，则sin∠F2BO==，所以∠F2BO=60°，即∠F2BF1=120°.因为·=0，所以∠F1PF2=90°.根据椭圆的对称性，椭圆在每一个象限内均有一个点P，满足∠F1PF2=90°.同理可得椭圆的焦点在y轴上时，也有四个点P满足·=0.
6.C解析：如图所示，过点M作抛物线准线的垂线，垂足为G.
由=4，得|MN|=3|MF|.
因为|MF|=|MG|，所以|MN|=3|MG|，所以cos∠NMG=，所以tan∠NMG=2，故直线FQ的斜率k=2.
7.B　解析：如图，因为抛物线C：x2=2py(p>0)的准线方程为y=-，所以=，解得p=，
故+==4，所以2|BF|+8|AF|=(|BF|+4|AF|)+=5++≥，当且仅当|BF|=2|AF|=时取“=”，所以2|AF|+8|BF|的最小值为，所以λ≤，故λ的最大整数值为4.
8.C解析：如图，
由对称性可知|MP|=|NQ|，设MN与y轴的交点为E，P，Q在x轴上，且+=0，即P，Q关于原点对称，则|NQ|+|MP|-|MN|=2|NQ|-2|EN|=2(|NQ|-|EN|).若|NQ|+|MP|-|MN|=16，则|NQ|-|EN|=8，|NQ|-|EN|=|NQ|+-|EN|+，即|NQ|+减去点到准线的距离为定值，故|NQ|为点到右焦点的距离，此时|NQ|+|MP|-|MN|为抛物线y2=ax(a>0)上一点到焦点的距离减去到y轴距离结果的2倍，即×2==16，解得a=32，所以抛物线的方程为y2=32x或y2=-32x.因为曲线C：y2=±ax(a>0)与直线y=2x+m(m>0)有3个交点，所以直线y=2x+m与抛物线y2=32x相切，由得y2-16y+16m=0，所以Δ=162-4×16m=0，解得m=4.
9.BC　解析：直线x-y+1=0与两坐标轴的交点为A(0，1)，B(-1，0)，也就是抛物线的焦点坐标为(0，1)或(-1，0)，所以抛物线的标准方程为x2=4y或y2=-4x.故选BC.
10.AC　解析：对于A项，在C2的图象上任取一点T(x，y)，它关于直线x-y=0对称的点E(y，x)在C1的图象上，即满足方程y2=x，即得x2=y，所以C1与C2的图象关于直线x-y=0对称，故A正确；
对于B项，解得或所以抛物线C1与C2有O(0，0)，A(1，1)两个公共点，所以直线y=1与抛物线C1及C2有2个交点，故B错误；
对于C项，过点A的直线与两坐标轴的正半轴交于M，N两点，设该直线的方程为+=1(a>0，b>0)，因为点A(1，1)，所以+=1，利用基本不等式得1=+≥2，解得ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，所以S△OMN=ab≥×4=2，故C正确；
对于D项，抛物线C1与C2关于直线y=x对称，若存在直线与抛物线C1和C2都相切，则该切线也关于直线y=x对称，不妨设为y=-x+t，与x2=y联立得x2+x-t=0，由Δ=0得t=-，所以直线y=-x-与抛物线C1和C2都相切，即切线方程为4x+4y+1=0，故D错误.
故选AC.
11.ACD　解析：已知点(1，2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，所以22=2p×1，解得p=2，
故抛物线的方程为y2=4x，焦点坐标为F(1，0)，所以过焦点F作直线l：x=ty+1，
联立得y2-4ty-4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1+y2=4t，y1y2=-4，|AB|=x1+x2+p=t(y1+y2)+2+p=4t2+4=，解得t=±.因为|AF|>|BF|，所以t=，代入y2-4ty-4=0，得y2-y-4=0，解得y1=2，y2=-，所以x1=×2+1=2，x2=×(-)+1=.
对于A项，|AF|=x1+=2+1=3，故A正确；
对于B项，kAB=kAF==2，故B错误；
对于C项，S△OAB=×|OF|×|y1-y2|=×1×|2+|=，故C正确；
对于D项，设=λ，所以||=λ||，||=3，||=+1=，
所以||=2||，即=2，故D正确.故选ACD.
12.0，　解析：∵抛物线x2=py(p≠0)，∴焦点在y轴上，故焦点坐标为0，.
13.　解析：根据题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=kx-，联立消去x得y2-y-9=0，所以|AB|=·=，|CD|=·=6(k2+1)，所以+=+=.
14.15　解析：设l：x=my+c，联立得(a2-b2m2)y2-2b2cmy-b4=0，所以y1+y2=，y1y2=-，故|AB|=|y1-y2|=.
线段AB的中点坐标为，，则线段AB中垂线的方程为y-=-mx-.令y=0，得xP=，所以|PF|=-c=，故==.因为双曲线的离心率为，|AB|=18，所以|PF|=××18=15.
15.解析：(1)椭圆+=1的焦点坐标为(0，2)和(0，-2)，则抛物线的焦点坐标为(0，2)或(0，-2)，
即=2，解得p=4，故抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-8y.
(2)由题意知顶点在原点上，且过点(3，-2)，则抛物线的焦点可能在x轴或y轴上，
设抛物线的标准方程为x2=ay(a≠0)或y2=bx(b≠0)，分别将点(3，-2)代入，有9=-2a或4=3b，求得a=-，b=，故抛物线的标准方程为x2=-y或y2=x.
(3)由题意知抛物线的准线与焦点间的距离为4，所以p=4，且抛物线的焦点可以在x轴或y轴的正、负半轴上，故抛物线的方程为y2=8x，y2=-8x，x2=8y或x2=-8y.
16.解析：(1)设M(x，y)，由已知得|MF|-|x|=，即|MF|=|x|+，=|x|+，化简得y2=x+|x|=故动点M的轨迹C的方程为y2=
(2)点N在曲线C的右侧上运动，设N，y0(y0≠0)，则点N，y0到直线x+y+3=0的距离d=≥=，故点N到直线x+y+3=0的距离的最小值为.
17.解析：(1)设抛物线的焦点为F，0，准线l：x=-，依题意得2·--=-6，解得p=4，所以抛物线的标准方程为y2=8x.
(2)直线l过定点.已知直线l(F l)的斜率存在，设直线l的方程为x=ty+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
联立消去x并整理得y2-8ty-8m=0，此时Δ=64t2+32m>0，化简得2t2+m>0.
由根与系数的关系得y1+y2=8t，y1y2=-8m，因为|AF|+|BF|=x1+x2+4=6，所以x1+x2=2.
因为x1+x2=t(y1+y2)+2m=2，所以8t2+2m=2，解得4t2+m=1，可知m，t的取值都存在.设点G为AB的中点，此时G(1，4t)，所以直线GN的方程为y-4t=-t(x-1).
令y=0，解得xN=5，
所以线段AB的中垂线过定点，定点的坐标为(5，0).
18.解析：(1)由抛物线C：y2=2px(p>0)经过点A(2，4)，可得42=4p，解得p=4，
所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)证明：如图，设直线l的方程为y=k(x-t)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程整理得k2x2-2(k2t+p)x+k2t2=0，则x1+x2=，x1x2=t2.当m=-t，即m+t=0时，直线AM，BM的斜率之和为kAM+kBM=+=.
因为y1(x2-m)+y2(x1-m)=k(x1-t)(x2-m)+k(x2-t)(x1-m)=k[2x1x2-(m+t)(x1+x2)+2mt]=k(2t2-2t2)=0，所以kAM+kBM=0，即MA，MB的倾斜角互补，所以∠TMA=∠TMB.反之，当∠TMA=∠TMB时，直线AM，BM的斜率之和为0，即kAM+kBM=+==0，
所以y1(x2-m)+y2(x1-m)=k(x1-t)(x2-m)+k(x2-t)(x1-m)=0，
即k[2x1x2-(m+t)(x1+x2)+2mt]=0，
因为k≠0，所以2x1x2-(m+t)(x1+x2)+2mt=0，
即2t2-+2mt=0，所以2k2t2-2(m+t)(k2t+p)+2mtk2=0，
即p(m+t)=0，可得m+t=0.
综上所述，m=-t的充要条件是TM为∠AMB的平分线.
19.解析：
(1)已知椭圆C：+=1(a>b>0)过点M(2，0)，根据椭圆的几何性质，得a=2，因为离心率e=，即e===，所以c=1.故椭圆C的方程为+=1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3+4k2)x2+8kx-8=0，所以x1+x2=-，x1x2=，且点O到直线l的距离d=.因为|AB|=×=×=×，所以=×|AB|×d=×××=，t=≥1，则2k2=t2-1，==.
因为y=2t+在t∈[1，+∞)上单调递增，所以当t=1时，y=2t+有最小值3，此时有最大值，由t==1，得k=0，故直线l的方程为y=1.

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