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空间向量及其运算、空间向量基本定理及坐标表示
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 学会建立空间坐标系，掌握空间向量的运算
命题情境点 生活实践情境：19题 探索创新情境：8、11题 课程学习情境：14、18题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a=e1+2e2，b=e2+λe3，c=e1+e2+e3，若{a，b，c}不能作为基底，则实数λ的值为
A.-1
B.1
C.0
D.{x|x≠0}
2.已知向量a=(1，1，2k)，b=(-1，0，1)，c=(1，-1，1)，且向量a-2b与c互相垂直，则k的值是
A.1
B.-2
C.-4
D.0
3.如图，OABC是四面体，G是△ABC的重心，G1是OG的中点，则下列结论正确的是
A.=++
B.=++
C.=++
D.=++
4.如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，若E，F分别是AB，AD的中点，则·=
A.0
B.2
C.-
D.-1
5.已知空间A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若=-6+5+λ，则λ=
A.1
B.-2
C.2
D.-1
6.如图所示，在空间直角坐标系中，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面CPB⊥平面ABCD，且PB=PC=.若QC=3PQ，则点Q的空间直角坐标为
A.，2，1
B.，2，
C.，2，
D.(1，2，1)
7.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，P在正方体的12条棱上运动，则·的取值范围是
A.[0，1]
B.[-1，1]
C.-，
D.[-2，2]
8.在正四面体ABCD中，P，Q分别为棱BC，AB中点，则异面直线DP与CQ所成角的正切值为
A.
B.1
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知等边△ABC的边长为4，三棱柱的高为3，BC，B1C1的中点分别为D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是
A.B1(2，0，2)
B.A1(0，2，3)
C.=(0，-2，3)
D.=(，2，-3)
10.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，则下列结论正确的是
A.点N∈直线AC
B.点M∈平面ABC
C.当||最小时，AM=
D.当||最小且||最小时，·=-
11.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°，则下列选项正确的是
A.=++
B.=--
C.若=2，则=++
D.若直线AC与BD交于点O，则||=
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(0，7，λ).若向量a，b，c共面，则实数λ=　　　　.
13.已知在四面体ABCD中，AB=6，AC=3，AD=2，∠BAC=∠CAD=∠DAB=，则·=　　　　.
14.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B(含边界)内，若D1M⊥CP，则点M的轨迹长度为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知点A(-2，3，0)，B(x，3，2)，点O是坐标原点，且·=7.
(1)求cos<，>；
(2)若OP⊥AB，且P在直线AB上，写出点P的坐标.
16.(15分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，=，N为B1B的中点.
(1)求||；
(2)求在上的投影向量的模.
17.(15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=60°，A1A与AB，AD的夹角都为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC所成角的余弦值.
18.(17分)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为矩形，AB=AA1=6，BC=t，M为CC1的中点，P为上底面A1B1C1D1上的动点.
(1)若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，求实数t的取值范围；
(2)若t=6，且BP⊥AM，求△AA1P面积的最小值.
19.(17分)在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=，动点M在“堑堵”的侧面BCC1B1上运动.
(1)若AM=2，求∠MAB的最大值.
(2)若把该“堑堵”补全为如图所示的正方体ABDC-A1B1D1C1，E为棱AC的中点，F为底面ABDC内的一动点(含边界).
①若D1F∥平面B1EC1，求动点F的轨迹长度；
②当三棱锥F-B1EC1的体积最大时，求三棱锥F-B1EC1外接球的表面积.
【参考答案】
1.A　解析：由题意易知向量a，b，c共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得a=xb+yc，即e1+2e2=x(e2+λe3)+y(e1+e2+e3).因为e1，e2，e3不共面，所以解得y=1，x=1，λ=-1.
2.D解析：a-2b=(3，1，2k-2)，因为向量a-2b与c互相垂直，所以3×1+1×(-1)+2k-2=0，故k=0.
3.C解析：如图，连接AG并延长交BC于点N，连接ON.
由G是△ABC的重心，可得=，=(+)，
则==(-)=(+)-=+-，
故==(+)=++-=++.
4.D　解析：在棱长为2的正四面体ABCD中，每个面都是正三角形.所以∠ABD=∠BDC=60°.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以与的夹角为120°，所以·=1×2×cos 120°=-1.
5.A　解析：=-6+5+λ，即-=-6+5+λ，整理得=-6+6+λ.
由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得-6+6+λ=1，解得λ=1.
6.C　解析：由题意得点C(0，2，0)，P(1，2，2)，所以=+=，2，.
7.B　解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则点A(1，0，0)，C(0，1，0)，=(-1，1，0).设点P(x，y，z)(且点P只在正方体的12条棱上运动)，则·=-x+y，因为所以即-1≤y-x≤1.当x=1，y=0时，·取最小值-1，当x=0，y=1时，·取最大值1.
8.A　解析：设=a，=b，=c，设异面直线DP与CQ所成的角为θ，设AB=2，
则=(+)-=+-=a+b-a-c=a+b-c，=-=a-b.由空间向量数量积的定义可得a·b=b·c=c·a=22cos =2，
则·=a+b-c·a-b=a2-a·b-b2-a·c+b·c=-，
||===，
||===，故cos θ==，tan θ=.
9.BC　解析：在等边△ABC中，AD=2，则点A(0，2，0)，A1(0，2，3)，D1(0，0，3)，B1(-2，0，3)，则=(0，-2，3)，=(2，2，-3).
10.ACD　解析：由四点共面定理及三点共线定理可知，x+y+(-x-y+1)=1，λ+(1-λ)=1，所以点M∈平面BCD，点N∈直线AC.当||最小且||最小时，点M是等边△BCD的中心，N是AC边上的中点，所以BM=××2=，AM===.又因为N是AC边上的中点，所以=(+)，故·=(+)·=·=×××cos 120°=-.
11.AC　解析：由题意，=+=++，A项正确；
=+=-++=+-，B项错误；
=2，则==(-)=(+-)，所以=+=++，C项正确；
由题意可知，=+=+=(+)+，
则||==
=，D项错误.
12.-1解析：因为a，b不平行，且向量a，b，c共面，所以存在实数x，y，使c=xa+yb，
所以解得
13.4　解析：由题意，可得如图所示的四面体，所以·=(-)(-)=-·-·+·=4.
14.2　解析：以D为原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，
则点P(4，0，2)，C(0，4，0)，D1(0，0，4)，B(4，4，0).设点M(4，a，b)(a，b∈[0，4])，则=(4，a，b-4)，=(4，-4，2).因为D1M⊥CP，所以·=16-4a+2b-8=0，则b=2a-4，根据0≤a≤4，0≤b≤4，得轨迹为OB1(O为AB的中点)，其长度为2.
15.解析：(1)由·=-2x+9+0=7，x=1，得||=，||=，
∴cos<，>==.
(2)设=λ，=(3，0，2)，则=(-2+3λ，3，2λ)，∵OP⊥AB，∴·=3(-2+3λ)+2·2λ=0，∴λ=，∴点P的坐标为-，3，.
16.解析：(1)如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则点A(3，0，0)，C1(0，3，3)，B(3，3，0)，B1(3，3，3).
因为=，点N为B1B的中点，所以==(-1，1，1)，所以点M(2，1，1)，N3，3，，=1，2，，故||==.
(2)由=1，2，，=(-3，3，3)，
得在上的投影向量的模为|||·cos<，>|==.
17.解析：(1)设=a，=b，=c，则a·b=|a|·|b|cos 60°=2，a·c=|a|·|c|·cos 60°=3，b·c=|b|·|c|cos 60°=3.因为=a+b，所以在平行四边形A1ACC1中，=+=a+b+c，||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a|·|b|cos 60°+2|a|·|c|cos 60°+2|b|·|c|cos 60°=4+4+9+2×2+2×3+2×3=33，
所以||=.
(2)由边线的关系得||=2，由=-=b+c-a，可得||2=(b+c-a)2=a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=4+4+9-4-6+6=13，
所以||=，cos<，>=====.
18.解析：(1)如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设点E(t，m，0)(0≤m≤6)，C1(0，6，6)，则=(t，m，0)，=(-t，6-m，6).
因为EC1⊥ED，所以·=0，所以-t2+m(6-m)=0，即t2=-m2+6m=-(m-3)2+9.
因为0≤m≤6，所以0≤t2≤9，所以0≤t≤3，而t>0，故实数t的取值范围是(0，3].
(2)由(1)得点A(6，0，0)，B(6，6，0)，M(0，6，3)，设P(x，y，6)，x∈[0，6]，y∈[0，6]，则=(-6，6，3)，=(x-6，y-6，6).
由BP⊥AM，得-6(x-6)+6(y-6)+3×6=0，即y=x-3，因为x∈[0，6]，y∈[0，6]，所以x∈[3，6]，y∈[0，3]，
所以点P的轨迹为平面A1B1C1D1上的直线y=x-3，x∈[3，6]，即图中的线段EF，
故点A1到线段EF的距离为A1C1=，则△AA1P面积的最小值为××6=.
19.解析：(1)以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系.
因为AB=AC=AA1=，所以点B(，0，0)，C(0，，0)，B1(，0，)，C1(0，，).
由于动点M在“堑堵”的侧面BCC1B1上运动，则存在实数λ，μ使得=λ+μ，
又=(-，，0)，=(0，0，)，所以=(-λ，λ，μ)，
所以=+=(-λ，λ，μ).
又AM=2，所以||2=(-λ)2+(λ)2+(μ)2=4，
化简可得2λ2-2λ+μ2+=0，即μ2=-2λ2+2λ-.
cos∠MAB===(1-λ)，
又μ2=-2λ2+2λ-≥0，所以λ∈-，+，1-λ∈-，+，
所以cos∠MAB=(1-λ)∈，.又∠MAB∈(0，π)，函数y=cos x在(0，π)上单调递减，且cos =，所以∠MAB的最大值为.
(2)①如图，取BD的中点M，CD的中点N，连接MD1，MN，ND1，可得MD1∥C1E，MN∥B1C1.又MD1 平面B1EC1，MN 平面B1EC1，C1E 平面B1EC1，B1C1 平面B1EC1，且MD1∩MN=M，所以平面D1MN∥平面B1EC1，故动点F的轨迹为线段MN，其长度为.
②由①可知，当F在点D时，点F到平面B1EC1的距离最大，此时△FB1C1为等边三角形.因为AD1⊥平面FB1C1，所以三棱锥F-B1EC1的外接球球心O1一定在直线AD1上，根据(1)中的坐标系，则点E0，，0，D(，，0).设O1(x，x，x)，由O1E=O1D，得x2+x-2+x2=(x-)2+(x-)2+x2，解得x=，所以R2=2+-2+2=，所以三棱锥F-B1EC1外接球的表面积为4πR2=4π×=π.

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