资源简介

空间向量的应用
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 学会利用向量方法研究立体几何中的位置关系及度量关系
滚动考查点 空间向量的运算、基本定理及坐标表示
命题情境点 生活实践情境：6题 探索创新情境：7、11题 课程学习情境：1、2题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知平面α的一个法向量为u=(-1，2，4)，直线l的一个方向向量为t=(n，-2，-4)，若l⊥α，则n=
A.
B.1
C.2
D.-1
2.已知平面α的一个法向量为m=(2a，3，-2)，平面β的一个法向量为n=(-2，b，1)，若α∥β，则a-2b=
A.-1
B.1
C.5
D.3
3.空间内有三点P(1，2，3)，A(3，2，1)，B(1，3，2)，则点P到直线AB的距离为
A.
B.2
C.
D.2
4.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，C1F=2FC，则异面直线EF与B1D1所成角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
5.已知点A(13，-1，3)，B(2，3，1)，C(5，7，-5)，若点P(4，1，z)在平面ABC内，则z的值为
A.1
B.2
C.3
D.4
6.在空间直角坐标系O-xyz中，方程Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.设点P在平面α内，过点P(x0，y0，z0)的平面α的一个法向量为n=(a，b，c)，则平面α的方程可表示为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.已知平面α的方程为x-y+3z+1=0，直线l是平面x-2y+3=0与平面2x-4z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为
A.
B.
C.
D.
7.在如图所示的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB=1，∠DAB=，AA1=2，动点P在体对角线BD1上，=λ(0≤λ≤1)，则当点B到平面APC的距离最大时，λ=
A.
B.
C.
D.1
8.在矩形ABCD中，AD=2，AB=3，将△ACD沿着AC翻折，使点D在平面ABC上的投影E恰好在直线AB上，则此时二面角B-AC-D的平面角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是
A.若直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-3，2，0)，则l1⊥l2
B.若对空间中任意一点O，有=++，则P，A，B，C四点共面
C.设{a，b，c}是空间的一个基底，则{a-b，b+c，a+c}也是空间的一个基底
D.若空间四点P，A，B，C满足=+，则A，B，C三点共线
10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BB1，DD1的中点，则下列结论正确的是
A.D1E⊥CF
B.a=(1，0，2)是平面EFD1的一个法向量
C.点C到平面EFD1的距离为
D.直线C1F到直线AG的距离是
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点E在BD上，点F在B1C上，且BE=CF，点P在线段CM上运动，则下列结论正确的是
A.当E是BD的中点时，直线EF∥平面DCC1D1
B.直线B1D1到平面CMN的距离是
C.存在点P，使得∠B1PD1=90°
D.△PDD1面积的最小值是
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若直线l的一个方向向量为d=(0，1，1)，平面α的一个法向量为n=(1，0，1)，则直线l与平面α所成角的大小为　　　　.
13.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=AB=AC=5，BC=6，AP=4，E为PB的中点，F为PD上一点，若CF⊥AE，则=　　　　.
14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB=，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，PA=m(m>0)，且二面角E-BD-C的平面角大于，则m的取值范围是　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作.定义a与b的“向量积”为a×b，a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模|a×b|=|a|·|b|·sin.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=2，E为线段AD上一点，|×|=2.
(1)求AB的长；
(2)若M为线段PB上一点，且满足×=λ，求|λ|.
16.(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且BC=BA1=2，平面ABC⊥平面AA1C1C.
(1)求证：AB⊥平面AA1C1C.
(2)求直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值.
17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，△PAB为等腰三角形，且AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2PA=2BC=2.
(1)求平面PCD与平面PBA的夹角的余弦值.
(2)若N为AD的中点，在线段PC(不包含端点)上是否存在动点M，使得点P到平面BMN的距离为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.(17分)如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，四边形ADEF为平行四边形.
(1)求证：CE∥平面ABF.
(2)若AB⊥平面ADEF，AF⊥AD，AF=AD=CD=2，AB=4，求：
①平面ABE与平面BCF夹角的余弦值；
②点D到平面BCF的距离.
19.(17分)空间中两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n=xi+yj+zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n=[x，y，z].在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=AC=4，AA1=A1B1=3，∠BAC=∠BAA1=∠CAA1=60°，=4，=4.如图，以，，为基底建立“空间斜60°坐标系”.
(1)若=，求向量的斜60°坐标；
(2)若H为AA1上的一点，且=，求平面HED的法向量的斜60°坐标；
(3)若点F满足(1)中的条件，点H满足(2)中的条件，求F到平面HED的距离.
【参考答案】
1.B　解析：由l⊥α，得t∥u，则==，解得n=1.
2.C　解析：若α∥β，则m∥n，所以==，解得a=2，b=-，故a-2b=5.
3.C　解析：由P(1，2，3)，A(3，2，1)，B(1，3，2)，可得=(2，0，-2)，||=2，所以cos<，>===，所以cos∠BAP=，则sin∠BAP=，所以点P到直线AB的距离为||sin∠BAP=.
4.D解析：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
因为正方体的棱长为2，所以D1(0，0，2)，B1(2，2，2)，E(1，2，0)，F0，2，，所以=(2，2，0)，又=-1，0，所以|cos<，>|=====.
5.C　解析：=(-11，4，-2)，=(-8，8，-8)，=(-9，2，z-3)，由于≠≠，所以A，B，C三点不共线.令=x+y(x，y∈R)，即(-9，2，z-3)=x(-11，4，-2)+y(-8，8，-8)=(-11x-8y，4x+8y，-2x-8y)，可得解得x=1，y=-，z=3.
6.A　解析：由平面α的方程为x-y+3z+1=0，得n1=(1，-1，3)为平面α的一个法向量，同理可知n2=(1，-2，0)与n3=(2，0，-4)分别为平面x-2y+3=0与2x-4z+1=0的法向量.设直线l的方向向量为a=(x，y，z)，则即取x=2，得a=(2，1，1).
设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ===.
7.C解析：连接AC交BD于点O，由题意得AC⊥BD，OB=OD=AB=，OA=OC===.
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0，-，0，B，0，0，C0，，0，D1-，0，2，所以=(0，，0)，=，，0，=(-1，0，2).因为=λ(0≤λ≤1)，所以=+=+λ=，，0+λ(-1，0，2)=-λ+，，2λ.设平面APC的法向量为n=(x，y，z)，则所以 取x=4λ，则n=(4λ，0，2λ-1).设点B到平面APC的距离为d，则d===，当λ=0时，d=0，当0<λ≤1时，d===，所以当=2，即λ=时，点B到平面APC的距离最大，且最大值为=.
8.D解析：如图所示，作DG⊥AC于点G，BH⊥AC于点H.
在Rt△ADC中，AC=，cos∠DAC==，在Rt△ADG中，AG=ADcos∠DAC=2×=，DG===，同理可得cos∠BCA==，CH=，BH=.因为·=(+)·=·+·=0，所以·=(+)·(+)=·+·+·+·=-×+×2×+2××+0=，又因为||||=×=，所以cos<，>===.与的夹角即为二面角B-AC-D的大小，所以二面角B-AC-D的平面角的的余弦值为.
9.ABD　解析：对于A项，因为a·b=2×(-3)+3×2+(-1)×0=0，所以a⊥b，所以l1⊥l2，故A正确；
对于B项，若对空间中任意一点O，有=++，因为++=1，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C项，由向量的加法法则可知a-b=-(b+c)+(a+c)，所以{a-b，b+c，a+c}不是空间的一个基底，故C错误；对于D项，若空间四点P，A，B，C满足=+，由共线向量定理可知A，B，C三点共线，故D正确.
10.BCD解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，2，0)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，G(0，0，1)，C1(0，2，2).对于A项，=(2，0，-1)，=(2，0，1)，所以·=4+0-1=3≠0，所以D1E与CF不垂直，故A错误；对于B项，=(2，0，-1)，=(2，2，-1)，因为·a=1×2+0×0-1×2=0，·a=2×1+0×2-1×2=0，所以⊥a，⊥a，所以a=(1，0，2)是平面EFD1的一个法向量，故B正确；对于C项，=(0，-2，2)，所以点C到平面EFD1的距离d===，故C正确；对于D项，=(-2，0，1)，=(-2，0，1)，所以∥，所以C1F∥AG，所以点F到直线AG的距离即为直线C1F到直线AG的距离，又直线AG的单位方向向量为u==-2，0，1=-，0，，因为=(0，2，1)，所以点F到直线AG的距离d===，
所以直线C1F到直线AG的距离是，故D正确.
11.AC解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(2，2，0)，D(0，2，0)，B1(2，0，2)，D1(0，2，2)，M(1，0，2)，N(0，1，2).对于A项，当E是BD的中点时，易知E(1，1，0)，F(2，1，1)，则=(1，0，1)，而平面DCC1D1的一个法向量为=(0，2，0)，显然·=0，故A正确；对于B项，易知MN∥B1D1，B1D1 平面CMN，则B1D1∥平面CMN，直线B1D1到平面CMN的距离即为点B1到平面CMN的距离，=(-1，1，0)，=(-1，-2，2)，=(1，0，0)，设平面CMN的法向量为m=(a，b，c)，则令a=2，得b=2，c=3，则m=(2，2，3)，所以点B1到平面CMN的距离d===，故B错误；对于C项，设=λ=(-λ，-2λ，2λ)(λ∈[0，1])，则=+=(0，2，-2)+(-λ，-2λ，2λ)=(-λ，2-2λ，2λ-2)，=+=(λ，2λ，-2λ)+(-2，0，2)=(λ-2，2λ，2-2λ)，所以·=-λ(λ-2)+2λ(2-2λ)-(2-2λ)2=-9λ2+14λ-4，若∠B1PD1=90°，则-9λ2+14λ-4=0，得λ=，显然当λ=时，符合题意，故C正确；对于D项，当△PDD1的面积最小，即点P到DD1的距离最小时，此距离即为异面直线CM与DD1的距离，易知DD1∥CC1，则DD1∥平面MC1C，此距离即为DD1到平面MC1C的距离，不妨设平面MC1C的法向量为n=(x，y，z)，则令x=2，得y=-1，z=0，则n=(2，-1，0)，则DD1到平面MC1C的距离d==，所以△PDD1面积的最小值为d×2=，故D错误.
12.　解析：记直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ=|cos|===，因为线面角的取值范围为0，，所以直线l与平面α所成角的大小为.
13.　解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(4，-3，0)，P(0，0，4)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，故E2，-，2，=2，-，2，=(0，5，-4)，=(4，3，-4).设=λ(0≤λ≤1)，则=(0，5λ，-4λ)，=-=(4，3-5λ，4λ-4)，因为AE⊥CF，所以·=0，
即2×4-×(3-5λ)+2×(4λ-4)=0，解得λ=，所以==.
14.，+∞　解析：因为PA⊥底面ABCD，AB，AD 底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又∠DAB为直角，所以PA，AB，AD两两垂直.
以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则D(0，2，0)，B(1，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，m).因为E为PC的中点，所以E1，1，，所以=(-1，2，0)，=0，1，.设n=(x，y，z)为平面BDE的法向量，则令y=1，得n=2，1，-，易知平面BCD的一个法向量为m=(0，0，1)，由图可知，二面角E-BD-C的平面角为锐角，记为θ，则cos θ==<，解得m>，所以m的取值范围是，+∞.
15.解析：(1)由题意，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
设AB=m(m>0)，由DP=DA=2，得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，m，0)，P(0，0，2)，则=(-2，0，0)，=(-2，-m，2)，则||=2，||==，且cos<，>===.由题意知|×|=||·||·sin<，>=2，所以||2·||2·(1-cos2<，>)=20，则4(m2+8)1-=20，解得m=1(m=-1舍去)，故AB的长为1.
(2)由(1)可得=(-2，0，2)，=(2，1，-2).由题意，设=μ(0≤μ≤1)，=γ(0≤γ≤1)，则=-=-γ=(-2，0，2)-γ(-2，0，0)=(2γ-2，0，2)，
=+=+μ=(2γ-2，0，2)+μ(2，1，-2)=(2γ-2+2μ，μ，2-2μ).由×=λ，可知⊥，⊥，且|×|=|λ|=2.由=(2，0，0)，得·=2(2γ-2+2μ)=0，解得γ+μ=1，则=(0，μ，2-2μ)，·=μ-4(1-μ)=0，解得μ=，则=0，，，则||2=+=，由λ2||2=λ2=20，解得|λ|=5.
16.解析：(1)证明：因为平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，AA1⊥AC，所以AA1⊥平面ABC，又AB 平面ABC，所以AA1⊥AB.
因为BC=BA1，AC=AA1，AB=AB，所以△ABC≌△ABA1，则∠BAC=∠BAA1=90°，AB⊥AC，又AC∩AA1=A，且AC，AA1 平面AA1C1C，所以AB⊥平面AA1C1C.
(2)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AA1所在直线为y轴，AC所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由AC=4，BC=2，得AB=2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，0，4)，A1(0，4，0)，C1(0，4，4)，所以=(-2，0，4)，=(-2，4，0)，=(-2，4，4).设平面A1BC的法向量为n=(x，y，z)，则令y=1，得x=2，z=1，则n=(2，1，1).设直线BC1与平面A1BC所成的角为θ，则sin θ===，所以直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值为.
17.解析：(1)因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为AD∥BC，∠ABC=90°，所以AB⊥AD.
因为△PAB为等腰三角形，所以∠PBA=45°，故AB=PA=1.
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
由AD=2PA=2BC=2，可得B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，所以=(1，0，-1)，=(1，1，-1)，=(0，2，-1).设平面PCD的法向量为m=(x，y，z)，则取z=2，得x=1，y=1，则m=(1，1，2).由已知可得平面PBA的一个法向量为n==(0，1，0)，则|cos|====，所以平面PBA与平面PCD的夹角的余弦值为.
(2)存在.因为N为AD的中点，所以N(0，1，0).设=λ，λ∈(0，1)，M(s，t，r)，则(s，t，r-1)=(λ，λ，-λ)，解得s=λ，t=λ，r=1-λ，故M(λ，λ，1-λ)，所以=(-1，1，0)，=(λ-1，λ，1-λ).设平面BMN的法向量为p=(a，b，c)，则令a=λ-1，得b=λ-1，c=2λ-1，则p=(λ-1，λ-1，2λ-1).因为=(-1，0，1)，所以点P到平面BMN距离d====，又λ∈(0，1)，解得λ=，此时M为PC的中点，所以=.
18.解析：(1)证明：在射线AB上取点P，使AP=DC，连接PF(图略).
由题意得AP∥DC，所以四边形APCD为平行四边形，所以PC∥AD且PC=AD.
又四边形ADEF为平行四边形，所以AD∥EF且AD=EF，所以PC∥EF且PC=EF，
所以四边形PCEF为平行四边形，所以PF∥CE.
因为CE 平面ABF，PF 平面ABF，所以CE∥平面ABF.
(2)①因为AB⊥平面ADEF，AD，AF 平面ADEF，所以AB⊥AD，AB⊥AF，
又AD⊥AF，所以AB，AD，AF两两相互垂直.
如图，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(2，2，0)，F(0，0，2)，E(0，2，2)，D(0，2，0)，所以=(-2，2，0)，=(-4，0，2)，=(4，0，0)，=(0，2，2).设平面BCF的法向量为m=(x，y，z)，则即令x=1，得y=1，z=2，于是m=(1，1，2).设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，则即令y=1，得z=-1，x=0，于是n=(0，1，-1).设平面ABE与平面BCF的夹角为α，则cos α====，所以平面ABE与平面BCF的夹角的余弦值为.
②因为=(2，0，0)，平面BCF的一个法向量为m=(1，1，2)，所以点D到平面BCF的距离d===.
19.解析：(1)易知=+=++=++×=+
=×+0×+1×=，0，1，
所以=-=-+=-×+0×+2×=-，0，2.
(2)易知=[1，-1，0]，=[0，-1，1]，设平面HED的法向量为n=[x，y，z]，则
有即令y=1，得x=1，z=1，所以n=[1，1，1].
(3)=-=+-=+=×+0×+1×=，0，1，n·=[1，1，1]·，0，1=1×+1×1×cos 60°+1××cos 60°+1×1×cos 60°+1××cos 60°+1×1=，
|n|==，设点F到平面HED的距离为d，则d===.

展开更多......

收起↑