资源简介

全册复习测试
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 能用向量知识解决立体几何中的相关问题，能用代数方法解决平面几何问题
命题情境点 生活实践情境：5题 探索创新情境：11、19题 课程学习情境：1、9题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如图，已知点F是正方体ABCD-A'B'C'D'的侧面CDD'C'的中心.若=x+y+z，x，y，z∈R，则=
A.2
B.
C.3
D.
2.直线2x-y+=0的一个方向向量为
A.-1，
B.(，1)
C.(，-2)
D.(3，2)
3.经过点(-1，4)且与直线x+y+=0垂直的直线的方程为
A.x-y-5=0
B.x-y+5=0
C.x+y-3=0
D.x-y+3=0
4.已知点M，-4为抛物线y2=2px(p>0)上一点，则抛物线的准线方程为
A.x=-3
B.x=-6
C.y=-3
D.y=-6
5.如图，该圆弧形拱桥的水面跨度为20m，拱高为5m，当水面上升1m时，此时拱桥的水面跨度为
A. m
B.2 m
C.4 m
D.3 m
6.已知点A(2，4)，B(-2，0)，点P为直线l：y=x-4上任意一点，则|PA|+|PB|的最小值为
A.6
B.6
C.12
D.12
7.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|，≤λ≤1，∠F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为
A.0，
B.，
C.0，
D.，
8.已知F为抛物线x2=y的焦点，A，B是抛物线上不同的两点(点A在第一象限).若△ABF为正三角形，C为圆(x-)2+y-2=1上任意一点，则|AC|的最大值为
A.5+1
B.+1
C.-1
D.+1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于空间向量的结论正确的是
A.已知{a，b，c}是空间中的一个基底，则{a+b，b-c，a-c}也是空间的一个基底
B.若空间中任意一点O，且=-+，则P，A，B，C四点共面
C.若向量a=(1，0，-2)，b=(0，2，1)，则a∥b
D.已知a，b，c为非零向量，若a∥b，c∥b，则a∥c
10.已知点A(3，2)，B(-1，2)，满足|MB|=|MA|的平面内的动点M的轨迹为C，O为坐标原点，OP，OQ是轨迹C的切线，P，Q为切点，则下列结论正确的是
A.轨迹C与x2+y2=1存在两个公共点
B.若点(x，y)为轨迹C上一点，则|x+y|∈[1，17]
C.直线PQ的方程为7x+2y-21=0
D.四边形OPCQ的面积为2
11.已知曲线C1：x2-4|x|+(y-4)2=0(y≥4)与抛物线C2：x2=2py(p>0，0≤y≤4)构成了一个封闭曲线C，F为C2的焦点，M，Q为曲线C2上不同的两点，P为曲线C1上一点，O为坐标原点，下列结论正确的是
A.|QF|+|PF|的最小值为4
B.封闭曲线C形成的图形的面积为32+4π
C.若F，M，Q三点共线，则·为定值-3
D.若以MQ(点Q异于点O)为直径的圆经过O，则直线MQ过定点(0，2)
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.直线l：x-y+2=0关于点(-1，2)对称的直线的方程为　　　　.
13.已知F1，F2分别为双曲线C：-=1(a>0)的左、右焦点，焦距为8，点P为C上一点，且|PF1|=6，则△PF1F2的周长为　　　　.
14.已知P(，1)为椭圆+=1(b>0)上一点，若斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点(点A，B均异于点P)，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，则kPA+kPB=　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(-2，3)，(1，-1)，(2，5).
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线的方程.
16.(15分)已知圆M的圆心为原点O，且圆M与直线x+y+=0相切.
(1)求圆M的方程；
(2)若动点A在直线x=5上，过A引圆M的两条切线AB，AC，切点分别为B，C，求证：直线BC恒过定点.
17.(15分)已知动点P(x，y)(y≥0)到定点F(0，1)的距离比动点P到直线y=-2的距离小1，动点P的轨迹为C，过点D(0，2)的直线l与C相交于不同的A，B两点，过点A，B分别作C的切线l1，l2，l1，l2的斜率分别为k1，k2.
(1)求轨迹C的方程；
(2)证明：k1k2为定值.
18.(17分)在三棱锥P-ABC中，AP=BC=2，PC=AB=4，AC=2，侧面PAB⊥侧面PBC，M(异于点C)为棱PC上一点，直线BM与平面PAC所成角的大小为.
(1)试确定点M的位置；
(2)求直线AC与BM所成角的正弦值；
(3)求平面MAB与平面PBC所成角的余弦值.
19.(17分)已知P为圆F1：(x+1)2+y2=4a2(a>1)上一点，F2(1，0)，线段PF2的垂直平分线交PF1于点Q，记动点Q的轨迹为C，双曲线Γ：-=1的一条渐近线被圆F1所截的弦长为.
(1)求轨迹C的标准方程.
(2)在C上是否存在一点M，过M作斜率为的直线l，交双曲线Γ于A，B两点，使得M恰好为线段AB的中点 若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)直线l'：y=kx+4与C交于D，E两点，求△ODE的面积的取值范围.
【参考答案】
1.C　解析：依题意可知，A=+=+=+(+)=++，所以==3.
2.D　解析：依题意，直线2x-y+=0的斜率为，所以向量1，为直线的一个方向向量，所有与向量1，共线的向量都可以作为直线2x-y+=0的方向向量，故只有D选项符合题意.
3.B　解析：依题意，直线x+y+=0的斜率为-1，与其垂直的直线的斜率为1，则所求直线的方程为y-4=x+1，即x-y+5=0.
4.B　解析：由题意可知(-4)2=2p×，解得p=12，所以抛物线的准线方程为x=-=-6.
5.C　解析：依题意，设该圆弧形拱桥圆弧所在圆的半径为R m，则R= (m)，解得R=12.5 m.设水面上升1 m后，水面跨度为2x m，则R=(m)，解得x=2 m，所以此时拱桥的水面跨度为4 m.
6.C　解析：设点B(-2，0)关于直线y=x-4的对称点为B'(x，y)，
则解得即点B'(2，-8)，
故|PA|+|PB|的最小值为|AB'|，|AB'|==12.
7.D　解析：设点F1(-c，0)，F2(c，0)，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a.设|PF2|=t，则|PF1|=λt，即有(λ+1)t=2a　①，由∠F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2，即(λ2-λ+1)t2=4c2　②.由②÷①2，可得e2==1-=1-，由≤λ≤1，可得2≤λ+≤，所以≤e2≤，所以≤e≤.
8.D　解析：由题意可知点F0，，因为△ABF为正三角形，根据对称性，可知A，B两点关于y轴对称.设A(x，y)(x>0，y>0)，则点A所在直线的方程为y=x+，所以x2=×+x，解得x=-(舍去)或x=+，所以+2=y，得y=+3，则点A+，+3.又圆(x-)2+y-2=1的圆心坐标为，，则=，所以|AC|的最大值为+1.另一种情况，点A在直线y=-x+上，则点A-，-3，|AC|的最大值也为+1.
9.ABD解析：因为{a，b，c}是空间中的一个基底，所以a，b，c不共面，且a+b，b-c，a-c不共面，所以A项正确；
因为-+=1，所以P，A，B，C四点共面，所以B项正确；
因为满足a=λb的实数λ不存在，所以C项不正确；
因为a，b，c为非零向量，若a∥b，c∥b，则a∥c，所以D项正确.故选ABD.
10.BC　解析：设点M(x，y)，则有=×，整理得(x-7)2+(y-2)2=32，=>1+4，两圆相离，没有公共点，所以A项不正确；
令x=7+4cos θ，y=2+4sin θ，θ∈R，
则x+y=4(sin θ+cos θ)+9=8sinθ++9，又sinθ+∈[-1，1]，8sinθ+∈[-8，8]，所以x+y=8sinθ++9∈[1，17]，即|x+y|∈[1，17]，所以B项正确；
依题意可知，O，P，C，Q四点共圆，则以OC为直径的圆的方程为x(x-7)+y(y-2)=0，整理得x-2+(y-1)2=，则直线PQ的方程为(x-7)2+(y-2)2-32-x-2+(y-1)2-=0，
即7x+2y-21=0，所以C项正确；
四边形OPCQ的面积S=2S△OPC=2×××|CP|=×4=4，所以D项不正确.故选BC.
11.AC　解析：如图，
依题意可知，当x≥0时，曲线C1：(x-2)2+(y-4)2=4(y≥4)表示的是在直线y=4上方的以点(2，4)为圆心，2为半径的一个半圆(包括(0，4)，(4，4)两点).
当x<0时，曲线C1：(x+2)2+(y-4)2=4(y≥4)表示的是在直线y=4上方的以(-2，4)为圆心，2为半径的一个半圆(包括点(-4，4点)，则抛物线C2：x2=2py(p>0)经过点(-4，4)和(4，4)，所以p=2，抛物线方程为x2=4y(0≤y≤4).
当点M与O点重合，点P在y轴上时，|QF|+|PF|最小，最小值为4，所以A项正确.
因为以点(-4，4)，(4，4)，(4，0)，(-4，0)构成的矩形的面积为32，所以封闭曲线C形成的图形的面积一定小于32+4π，所以B项不正确.
设直线MQ的方程为y=kx+1，点M(x1，y1)，Q(x2，y2)，则整理得x2-4kx-4=0，Δ>0恒成立，则于是y1y2=1，所以·=x1x2+y1y2=-4+1=-3，所以C项正确.
设直线MQ的方程为y=kx+t，则整理得x2-4kx-4t=0，Δ>0，
则于是y1y2=t2，所以·=x1x2+y1y2=-4t+t2=0，解得t=0(舍去)或t=4，所以直线MQ不过定点(0，2)，所以D项不正确.故选AC.
12.x-y+4=0　解析：设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，(x，y)关于点(-1，2)的对称点(x0，y0)一定在直线l：x-y+2=0上，则=-1，=2，可得x0=-2-x，y0=4-y，则(-2-x)-(4-y)+2=0，即x-y+4=0.
13.24　解析：依题意，|F1F2|=8，即2=8，所以a=2.又|PF1|=6，所以|6-|PF2||=4，解得|PF2|=10或|PF2|=2.因为P，F1，F2三点能构成三角形，所以|PF2|>c-a=2，所以|PF2|=10，所以△PF1F2的周长为10+8+6=24.
14.0　解析：因为点P(，1)在椭圆+=1(b>0)上，所以+=1(b>0)，解得b2=2，则椭圆方程为+=1.依题意，直线AB：y=x+m，则消去y可得x2+mx+m2-2=0，x1+x2=-m，x1x2=m2-2，kPA+kPB=+=
+==0.
15.解析：(1)因为线段BC的中点的坐标为，2，所以BC边上的中线所在直线的方程为=，即2x+7y-17=0.
(2)因为直线BC的斜率k==6，所以BC边上的高所在直线的斜率为-，所以BC边上的高所在直线的方程为y-3=-(x+2)，即x+6y-16=0.
16.解析：(1)由题意知圆M的半径r==，且圆心为原点O，所以圆M的方程为x2+y2=5.
(2)如图，设点A(5，m)，则A，B，O，C四点共圆，AO的中点的坐标为，，|AO|=，
则以AO为直径的圆的方程为x-2+y-2=(25+m2)，整理得x2+y2-5x-my=0.
又圆M：x2+y2=5，两圆的方程联立可得公共弦BC所在直线的方程为5x+my-5=0.
故直线BC恒过定点(1，0).
17.解析：(1)由题意知，动点P的轨迹C是以F(0，1)为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，所以轨迹C的方程为x2=4y.
(2)依题意，直线l的斜率存在.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y=kx+2.由得x2-4kx-8=0，Δ=16k2+32>0，x1+x2=4k，x1x2=-8.由y=x2，得切点Ax1，，Bx2，，则切线l1的方程为y-=k1(x-x1)，把x2=4y代入方程中，得x2-4k1x-(-4k1x1)=0，所以Δ=16-16k1x1+4=0，解得k1=x1，同理得切线l2的斜率k2=x2，所以k1k2=x1x2=×(-8)=-2.
故k1k2为定值-2.
18.解析：(1)因为AB=4，BC=2，AC=2，所以AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC.
如图，过点A作AN⊥BP于点N，
又因为侧面PAB⊥侧面PBC，侧面PAB∩侧面PBC=PB，所以AN⊥平面PBC，又BC 平面PBC，所以AN⊥BC.又AN∩AB=A，所以BC⊥侧面PAB.以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x，y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系.依题意，PB=2，PA=2，AB=4，故PA2+PB2=AB2，由勾股定理逆定理得PA⊥PB，且sin∠PBA==，所以∠PBA=30°.过点P作PH⊥AB于点H，又平面ABC⊥平面APB，故PH⊥平面ABC，且PH=PBsin 30°=，BH=PBcos 30°=3，所以点P(0，3，)，点B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，4，0).设=λ，0<λ≤1，M(s，t，a)，则(s-2，t，a)=λ(-2，3，)，解得s=2-2λ，t=3λ，a=λ，故点M(2-2λ，3λ，λ).设平面PAC的法向量为m(x，y，z)，
则令z=1，则y=，x=2，
所以m=(2，，1)，直线MB与平面PAC所成角的大小为，故MB与m=(2，，1)所成角的大小或，
又|cos m， |===，所以=，即(2-2λ)2+9λ2+3λ2=4，解得λ=或λ=0(舍去)，则CM=PC=2，即M为侧棱PC的中点.
(2)由(1)可知，=(2，-4，0)，=1，，，所以cos ， ==-，所以直线AC与BM所成角的正弦值为.
(3)设平面MAB的法向量为u=(a，b，c)，又=1，，，=(0，4，0)，所以不妨令c=2，则u=(-，0，2).又AP⊥BC，AP⊥PC，所以AP⊥平面PBC，即平面PBC的一个法向量为，=(0，-1，)，则cos ，u ==，所以平面MAB与平面PBC所成角的余弦值为.
19.解析：(1)双曲线Γ：-=1的一条渐近线的方程为y=x，即x-y=0.
圆F1的圆心为(-1，0)，则圆心F1到直线x-y=0的距离为=，圆的半径为2a，则2=，解得a=2.依题意可得，|QF1|+|QF2|=2a=4，即动点Q的轨迹C是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆，则轨迹C的标准方程为+=1.
(2)设椭圆C上存在一点M(x，y)，且点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
两式作差可得=·.又直线AB的斜率为，所以=，即==，所以x=y，将其代入椭圆的方程中，即+=1，解得y2=，x2=.又x=y，则x，y同号，所以点，，-，-，经检验，均满足题意，所以存在点M，或-，-，过点M作斜率为的直线l，交双曲线Γ于A，B两点，使得M恰好为线段AB的中点.
(3)依题意可得则(3+4k2)x2+32kx+52=0，
令Δ=322k2-4×52×(3+4k2)=48(4k2-13)>0，所以k2>，即k<-或k>.
设点D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=，
所以S△ODE=×××|x1-x2|=2|x1-x2|=2
=2=8·.令t=>0，则4k2+3=t2+16，
则S△ODE==，函数y=t+在(0，4)上单调递减，在(4，+∞)上单调递增，
当t=4时，函数y取得最小值8，所以y=t+∈[8，+∞)，所以S△ODE=∈(0，]，即△ODE面积的取值范围是(0，].

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