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第5章二次函数单元质量检测同步训练卷拔尖卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
考卷信息:
本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数 的顶点坐标是（　　)
A．（3， 4) B．（-3， 4)
C．（3， - 4) D．（-3， - 4)
3．将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线是(　　)
A． B． C． D．
4．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（　　）
A． B．
C． D．
5．二次函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的解为(　　)
A． B．
C． D．
6． 已知A （-2， y1)， B （4， y2)是抛物线. 上的两点，则y1，y2的大小关系是（　　)
A． B． C． D．无法比较
7．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　）
A．B．C．D．
8． 二次函数中的，的部分对应值如下表：
… 0 1 3 4 …
… 7 0 0 …
关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．顶点坐标为
C．当时，随的增大而增大
D．图象与轴的交点坐标为和
9．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10． 如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．若二次函数，则　 　．
12． 二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为　 　．
13．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 　 　s.
14．抛物线 (a、b、c是常数， a≠0)上有两点(-4，c)，(-2，-2)，当-1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，则a=　 　.
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．已知二次函数 (b，c为常数)的图象经过点(0，3)， (2，3)。
（1）求二次函数的表达式。
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标。
16．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由．
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若抛物线过点，求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值．
18．如图， 已知点A （0， 3)， 点B （6， 3)， 抛物线 （m， n均为常数)与线段AB交于C，D两点.
（1） 若AC=CD=BD， 求抛物线的解析式；
（2） 若 求n的值.
19． 2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传. 他们计划利用一面长为20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区ABCD，且留如图所示的两个1米宽的小门，设BC长为x米.
（1）AB=　 　米（用含x的代数式表示)；
（2）若宣传区ABCD的面积为96平方米，求BC的长度；
（3）x取何值时，宣传区ABCD的面积最大，最大值是多少
20．在平面直角坐标系中，抛物线和直线同时经过，两点．
（1） 求的值；
（2）若两点均在抛物线上，且．当时，求的最大值；
（3） 若点在线段上（不与点，重合），点在抛物线（）上，且，当时，求的值．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】A
【解析】【解答】解：将代入，得．
将代入，得．
∵，
∴．
故答案为：A.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，
∴a<0，b<0，
∴二次函数的开口向下，
∴对称轴在y轴左侧，
故选：C.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线过(-2，0)和(4，0)
∴设抛物线表达式为y=a(x-4)(x+2)
∵抛物线过(0，-8)，
∴-8=a(0-4)(0+2)，解得a=1，
即抛物线表达式为y=(x-4)(x+2)=x2-2x-8=(x-1)2-9.
∴由a=1>0，可知抛物线开口向上，A错误；
由顶点式可知抛物线顶点坐标为(1，-9)，B正确；
由抛物线开口向上、对称轴为x=1，可知当0由表中数据可知，抛物线与x轴的交点坐标为(-2，0)和(4，0)，D错误；
故答案为：B.
9．【答案】D
10．【答案】B
【解析】【解答】解：
① 观察抛物线知，
②
当时，
③抛物线的顶点坐标为
④
⑤
即是关于的一元二次方程的两个根
故正确答案为：B
11．【答案】2
【解析】【解答】解∶∵函数是二次函数，
∴，，
解得，
故答案为∶2．
12．【答案】或
13．【答案】4
14．【答案】或
15．【答案】（1）将(0. 3)， (2， 3)代入
解得
所以二次函数表达式为
（2）令y=0， 得
得
所以与x轴的交点坐标为(3，0) ， (-1，0)
16．【答案】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，
又知抛物线过点，
所以，
解得，
∴；
（2）解：这辆货车能安全通过，理由如下：
根据题意，把代入解析式，得．
∵，
∴这辆货车能安全通过．
17．【答案】（1）解：将代入，得，
解得，
∴；
（2）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，
∴，
解得或．
18．【答案】（1）解：∵点A的坐标为(0， 3)， 点B的坐标为(6， 3)，
∴AB=6，
∵AC=CD=BD，
∴点C的坐标为(2， 3)， 则点D的坐标为(4， 3) ，
代入C的坐标得
解得n=4，
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵AB=6，
∵抛物线 (m，n均为常数)与线段AB交于C，D两点，且
∴CD=3，
∴设点C的坐标为(c，3)， 则点D的坐标为(c+3， 3)，
∴抛物线
把点C(c， 3) 代入得，
解得，
19．【答案】（1）36-3x
（2）解：矩形面积公式：面积=长×宽.
已知面积为96平方米，宽为x米，长为(36-3x)，
列出方程： x(36-3x) =96.
解方程：去括号：
移项并整理为一般形式(两边同时除以-3)：
因式分解： (x-4) (x-8) =0.
解得：
检验解的合理性：题目中墙长为20米，所以AB的长度不能超过20米，即 36-3x≤20.
解不等式：-3x≤-16， 得 (约5.33).
当x=4时， AB=36-3×4=24米， 24>20， 超出墙长， 不符合题意， 舍去.
当x=8时， AB=36-3×8=12米， 12<20， 符合题意，
∴BC的长度为8米；
（3）解：设宣传区ABCD的面积为S平方米.
根据面积公式： S=x(36-3x).
展开得：
求最大值：这是一个开口向下的二次函数(a=-3<0)，有最大值.
利用配方法求顶点坐标：
顶点坐标公式
检验定义域：由第 (2)问分析可知，x的取值范围需满足 且x>0.
计算出的对称轴x=6满足 (因为 所以在定义域内.
∴当 x=6时，面积S取得最大值，最大值为108平方米.
20．【答案】（1）解：直线经过两点，
，解得，
抛物线经过点，
，即，解得．
综上，．
（2）解：由（1）知抛物线为，
其对称轴为直线，
若，两点关于直线对称，则；
若两点不关于直线对称，
则由题意得，
，
，
，即的最大值为．
综上，的最大值为．
（3）解：由（1）知直线为，
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
整理得，
，解得：或，
，
，
（不合题意，舍去），
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