资源简介

广东省（北师大版）2026年九年级数学上册期中考试模拟卷
满分120分 时间120分钟
知识范围：第1-4章
一、选择题（共30分）
1．如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的俯视图（ ）

A． B． C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的袋子中有红球、白球共10个，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，记录颜色后放回，重复100次，发现摸到红球60次，则估计袋中红球约有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
4．已知关于的一元二次方程，若方程有一个实数根是3，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．1
5．如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能
6．如图，在中，，，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时还能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的投影是（ ）
A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
9．若是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．8 B．6 C． 4 D．4
10．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（ ）
A． B．2.5 C． D．
二、填空题（共15分）
11．如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为_________．
12．如图，现有测试距离为5m的一张视力表，表上一个E的高AB为2cm，要制作测试距离为3m的视力表，其对应位置的E的高CD为____cm．
13．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高统计如下：
组别
人数 5
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是________．
14．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____．
15．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为_______．
三、解答题（共75分）
16．（8分）解方程：
(1)； (2)．
17．（8分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上．（提示：用A，B，C，D分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融）
(1)从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是______；
(2)从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为；
(3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积．
19．（9分）如图，已知是的角平分线，点E在边上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
20．（9分）某电子器件厂生产一种电脑显卡，2021年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2022年，2023年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2023年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．
(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．
(2)2023年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
21．（9分）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
应用：
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①
②
(2)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
22．（12分）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，．若，则 ， ， ．
（2）学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图2，再将图2沿着对角线对折一次，得到图3，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图3中画出AB的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹）
【深入探究】用尺规作图将线段三等分已知：线段，如图4．
求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且．
作法：①作射线．（如图5）
②在射线上依次截取线段，使，连接．
③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点．
【问题解决】
（3）已知：如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，并证明：．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）已知：图7在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标．
23．（12分）“8字型”是相似三角形中常见的几何模型，灵活运用可帮助我们解决问题．
(1)如图，是的角平分线，延长至点使得，求证：；
(2)如图2，边长为的正方形中，点为的中点．连接，将沿折叠得到交于点交于点；
①求的长；
②求的长．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C C B C A A C
二．填空题
11．
【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提．
先判断这个几何体的形状，再根据表面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体是截去了圆柱后的剩余部分，且圆柱的底面圆的半径为2，高为3．
故该几何体的表面积为．
故答案为：．
12．1.2
【分析】证明△OCD∽△OAB，然后利用相似比计算出CD即可．
【详解】解：OB=5m，OD=3m，AB=2cm，
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴，即，
∴CD=1.2，
即对应位置的E的高CD为1.2cm．
故答案为1.2．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长．
13．
【分析】考查了求概率，解题关键是直接利用了简单概率求解公式．
由表可得身高不低于为，共抽取了名九年级男生，再根据概率公式求解．
【详解】解：∵抽取了名九年级男生中有名男生身高不低于，
∴抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是；
故答案是：；
14．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程有两个相等的实数根判别式为零是解题的关键．
根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式，由此列出关于m的方程求解．
【详解】解：方程中，，
判别式，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得．
故答案为：．
15．16
【分析】如图，先证明，得，进而求出，再利用勾股定理求出，即可得出结果．
【详解】解：如图，
由题意可知：A、H、G三点共线，，
∵3个矩形相同，
∴，
∴，
∴，
菱形中，，
∴，
∴，
∵每个矩形的周长为，
∴，
∴，
∴菱形的周长为： ，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．
三．解答题
16．(1)，
(2)，．
【分析】本题考查解一元二次方程——配方法、因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据仪式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：；
移项得：，
等式两边都加得：，
配方得：，
开平方得：，
∴，．
（2）解：，
，
，
∴或，
解得：，．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解晾干衣服、冰雪消融都是物理变化，水果发霉、火树银花都是化学变化，再结合概率公式进行求解，即可作答．
（2）先画树状图，得出共有12种等可能性结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有2种，再结合概率公式进行求解，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，晾干衣服、冰雪消融都是物理变化，水果发霉、火树银花都是化学变化，
∴从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是．
（2）解：依题意，用分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有2种，
从中随机抽取两张，求抽到的卡片内容都是物理变化的概率为．
18．(1)
如图，即为所求；
(2)
如图，即为所求；
(3)9
【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键．
（1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可；
（2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可；
（3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）如图，连接，，
由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为，
该四边形的面积为：．
19．(1)
证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴；
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据是的角平分线可得出，由可得出，即可证出；
（2）由，得到，求出，则，即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，，
∴，
即，
解得，
∴．
20．(1)平均下降率为
(2)单价应降低15元
【分析】（1）设平均下降率为，依题意得：，求解即可；
（2）设单价应降低元，根据每个的销售利润×每天可售出数量得总利润列方程求解．
【详解】（1）解：设平均下降率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：平均下降率为；
（2）设单价应降低元，
则每个的销售利润为元，每天可售出个，
依题意得：，
解得：，，
∵为了减少库存，∴，
答：单价应降低15元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解增长率问题及销售问题的关系列得方程是解题的关键．
21．(1)①不是②是
(2)或
【分析】（1）①解一元二次方程，由两根之差不为1做出判断；②解一元二次方程，由两根之差为1，即可得得出结论；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两根，由该方程是“邻根方程”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】（1）解：①，
解得：，，
，
一元二次方程不是邻根方程；
②，
，，，
，
，，
一元二次方程是邻根方程；
（2），
，
，，
关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，
或，
或．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程以及新定义，解题的关键是：（1）求出两方程的根，作差来判断两方程是否是“邻根方程”；（2）利用“邻根方程”的定义，找出关于的方程．
22．（1）3，，
（2）如图，点即为线段的三等分点；
（3）如图，点即为所求，证明如下：
连接，
∵点分别为线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴；
（4）或
【分析】本题主要考查了两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，基本尺规作图——平行线和垂直平分线，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例进行求解即可；
（2）连接，过点作的平行线即可；
（3）作线段的垂直平分线，连接交于点，即为所求，构造出三角形中位线，再利用两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例即可得出结论；
（4）根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例进行求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
；
；
故答案为：3，，；
（2）略
（3）略
（4）根据题意得
线段的三等分点C的坐标为
，即；
或，即；
∴点C的坐标为即或．
23．(1)
证明：是的角平分线．
，
，
，
，
，
；
(2)①；②．
【分析】（1）由角平分线易得，由等腰三角形易得，进而可得，即可得证；
（2）①易得，证，可得，即可得解；
②延长交于点，先证（），可得，进而可证，求出，，进而利用，即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：①在边长为的正方形中，点为的中点．
，，
，
正方形，
，
，
，
；
②延长交于点
由翻折的性质可知，，，
点是的中点，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．

展开更多......

收起↑