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2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中测试卷
【满分：120分，时间：100分钟】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在下列方程中,有两个互为相反数的根的方程是( )
A. B. C. D.
2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直
C.对角互补 D.对角线相等
3.若两个相似三角形的周长之比是1:4,那么这两个三角形的面积之比是( )
A.1:4 B.1:2 C.1:16 D.1:8
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
5.某商场购进一款年货大礼包,经调研发现,当该款大礼包每盒的售价为45元时,每天可售出100盒,每盒的售价每降低1元,每天的销量增加10盒,要使该款大礼包每天的销售额达到6000元,每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.若关于x的方程有两个不相等的实数根,则直线不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.如图，矩形ABCD中，，，在边CD上取一点P，使得与相似，则这样的点P共有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1
8.如图，菱形的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形的边长值为( )
A.9 B. C.6 D.3
9.如图,在中,,cm,cm.现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从顶点C出发,沿线段CB向点B方向运动,如果点P的速度是2cm/s,点Q的速度是1cm/s,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,当P,Q两点运动多少秒时,的面积等于.( )
A.1 B.3 C.3或5 D.1或5
10.已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则m的值是( )
A.3 B.1 C.3或 D.或1
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在题中横线上）
11.设a、b是方程的两个实数根,则的值为_____.
12.如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，若，，测得，，，则该古城墙的高度CD是__________m.
13.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为20m的住房墙,另外三边用27m长的建筑材料围成.为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,则所围矩形猪舍的长为__________时面积为.
14.如图，在正方形ABCD中，E为AD上的中点，P为AB上的一个动点，若，则的最小值为______________.
15.如图,在矩形中,,,平分,交于点E,连接,交于点F,则的长为_______.
三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）解方程：
(1)； (2).
17.（8分）关于x的一元二次方程有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若两根为、且，求m的值.
18.（9分）如图,在中,,点D在上,于点E.
(1)求证：；
(2),且,求的长.
19.（10分）今年超市以每件25元的进价购进一批商品,当商品售价为40元时,三月份销售256件,四,五月该商品十分畅销,销售量持续上涨,在售价不变的基础上,五月份的销售量达到400件.
（1）求四,五这两个月销售量的月平均增长百分率.
（2）经市场预测,六月份的销售量将与五月份持平,现商场为了减少库存,采用降价促销方式,经调查发现,该商品每降价1元,月销量增加5件,当商品降价多少元时,商场六月份可获利4250元
20.（8分）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E、标杆的顶端点D、古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米.将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F、标杆的顶端点H、古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB（结果精确到0.1米）.
21.（10分）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程.
（1）问题解决：请你判断方程是否是连根方程；
（2）问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值；
（3）方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式.
22.（10分）如图1,正方形中,点E,G,H分别在、、上,且,垂足为点O.
(1)求证：；
(2)平移图1中线段,使点G与点D重合,点H在延长线上,连接,取中点P,连接.如图2,试探究线段CP与BE的数量关系,并说明理由.
23.（12分）【基础巩固】
(1)如图1,在中,D为AB上一点,.求证：.
【尝试应用】
(2)如图2,在中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,.若,,求AD的长.
【拓展提高】
(3)如图3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是内一点,,,,,,求菱形ABCD的边长.
答案以及解析
一、选择题：
1.答案：B
解析：A.,解得：,只有一个根,故该选项不正确,不符合题意；
B.,解得：,,故该选项正确,符合题意；
C.,没有实数根,故该选项不正确,不符合题意；
D.,解得：,,故该选项不正确,不符合题意；
故选：B.
2.答案：B
解析：正方形、矩形都具有四个角都是直角，对角互补，对角线相等的性质，所以B正确.
故选B.
3.答案：C
解析：∵相似三角形的周长之比是1:4,
∴对应边之比为1:4,
∴这两个三角形的面积之比是：1:16,
故选C.
4.答案：C
解析：四边形ABCD是菱形，，，，故A，B，D正确，无法得出，故选C.
5.答案：D
解析：设该款大礼包每盒降价元,根据题意得：
,
故选：D.
6.答案：C
解析：关于x的方程有两个不相等的实数根,,
,
解得：,
,
函数过第一、二、四象限,
故选：C.
7.答案：B
解析：与相似，且，①，此时点P的位置如图，；②，
，，点P为CD的中点，如图.综上，这样的点P有3个.故选B.
8.答案：B
解析：连接，交于M，
四边形是菱形，
，，，
平行x轴，，
，
点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，
，，
，，
.
菱形的边长值为.
故选B.
9.答案：D
解析:设运动的时间为ts,
由题意得:,,
,
解得:,,
即当或时,的面积等于.
故选:D.
10.答案：A
解析：∵、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根,
∴,
解得：,
又∵,,,
∴,
∴
即
解得：或,
∵,
∴,
故选：A.
二、填空题：
11.答案：-2017
解析：∵a、b是方程的两个实数根,
∴,,
∴.
故答案为-2017.
12.答案：4.5
解析：由题意，得，，，，即，解得.
13.答案：12或16;
解析:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm,则平行于墙的边长为m,
由题意得:,
解得:,.
当时,,符合题意;
当时,,符合题意.
即当所围矩形猪舍的长为16m或12m时面积为.
故答案为:16m或12m.
14.答案：
解析：作点C关于AB的对称点Q，连接EQ交AB于P，
则此时，的值最小，的最小值，
过E作于F，
则四边形ABFE是矩形，
，，
，
，
故答案为：.
15.答案：/
解析：平分,
到、的距离相等,设这个距离是x,
四边形是矩形,
,,,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∵,
,
,
,
.
故答案为：.
三、解答题
16.答案：(1),
(2)
解析：(1)
∴
∴
∴
∴
解得：,
(2)
∴
∴或,
解得：,.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得：.
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，，
，即，
整理得：，
解得：，.
又，
.
18.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：于点,,
,
,
；
(2),
,
,,,
,
.
19.答案：（1）25%
（2）5元
解析:（1）设平均增长率为x,由题意得:
,
解得:或(舍);
四,五这两个月的月平均增长百分率为25%;
（2）设降价y元,由题意得:
,
整理得:,
解得:或(舍);
当商品降价5元时,商场六月份可获利4250元.
20.答案：68.7米
解析：根据题意得，，，
，.
，
，
，解得米，
，米.答：古塔的高度AB约为68.7米.
21.答案：（1）方程是连根方程
（2），
（3）
解析：（1），
，解得：，
，
是连根方程.
（2）方程（m是常数）是“连根方程”，
设的两个根为a，，
，
，
，
解得：，.
（3）方程（b、c是常数）是“连根方程”，
设方程的两个根为：，，且，
，
，
，
；
.
22.答案：(1)证明见解析
(2),理由见解析
解析：(1)证明：作平行四边形,则,,,
,
,
,
,
在和中,
,
,
；
(2),理由是：
在上截取一点N,使得.则是等腰直角三角形,.
,
,
,,
,
,
,
,即.
23.答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)证明：∵,,
∴,
∴,
∴；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,,
又∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴；
(3)如图,分别延长EF,DC相交于点G,
∵四边形ABCD是菱形,
∴,,
∵,
∴四边形AEGC为平行四边形,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴.
2

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