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2026年度秋季学期第一阶段练习卷
九年级数学
一．选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列属于一元二次方程的是（　　）
A. B. C. D.
2. 将方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（　　）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 已知关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（　）
A. B. C. D.
4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　）
A. B. C. D.
5. 关于二次函数的下列结论，正确的是（　　）
A. 它的开口方向是向上 B. 当时，随的增大而增大
C. 它的顶点坐标是 D. 当时，有最小值是3
6. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（　　）
A. B. C. D.
7. 抛物线向左平移5个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线表达式是（　　）
A. B. C. D.
8. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　）
A. B. C. D.
9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　）
10. 已知关于的一元二次函数如图所示，该函数与轴交于与两点，下列叙述正确的有（　）个
① ② ③ ④ ⑤对于任意实数，都有
A. B. C. D.
二、填空题（每空3分，共18分）
11. 已知是二次函数，则________．
12. 若是方程的根，则的值为__________
13. 某地区中学要进行篮球比赛，规定每两个中学之间只比一场，最终比赛场次为55场，则该地区共有________个中学．
14. 已知抛物线与轴的交点坐标分别是，，则关于的一元二次方程的根是_______．
15. 在一元二次方程中，若，，满足关系式，则这个方程必有一个根为___
．
16. 如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度/s移动，点从点出发向终点以2个单位长度/s移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则__________秒后，的面积等于4．
三、解答题（11大题，共72分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
18. 已知关于的方程．若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．
19. 已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，求抛物线的解析式．
20. 已知关于的方程．求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21. 已知抛物线二次函数．
（1）该抛物线的开口方向____________，该抛物线的对称轴是____________，顶点坐标是____________；
（2）画出该抛物线的图象；
（3）若点、均在抛物线上，且与轴平行，其中点，则点的坐标为____________．
22. 从某幢建筑物高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点离墙，离地面．求水的落地点与点的距离．
23. 先阅读，再回答问题：
如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则．
（1）若是方程的两个根，则____________，____________；
（2）若是方程的两个根，求的值．
24. 如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用长的篱笆围成一个面积为的矩形菜园？
25. 已知二次函数的图象经过点，，．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值和最小值．
26. 2025年世运会在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，售价降低多少元时，每天的收入最大？最大收入是多少元？
27. 已知二次函数与轴交于、两点（在的左边），与轴交于点．
（1）求出点、、的坐标．
（2）求
（3）在抛物线上（除点外），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
九年级数学参考答案
一．选择题（每小题3分，共30分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】B
二、填空题（每空3分，共18分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】11
【14题答案】
【答案】，
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】1
三、解答题（11大题，共72分）
【17题答案】
【答案】（1），
（2），
（3），
【18题答案】
【答案】；另一根为．
【19题答案】
【答案】
【20题答案】
【答案】证明：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【21题答案】
【答案】（1）向下，直线，
（2）图象如下：
【22题答案】
【答案】
【23题答案】
【答案】（1）；
（2）
【24题答案】
【答案】与墙垂直的篱笆长为，则与墙平行的篱笆长为，或与墙垂直的篱笆长为，与墙平行的
篱笆长为．
【25题答案】
【答案】（1）
（2）
最大值为，最小值为
【26题答案】
【答案】（1）月平均增长率为.
（2）售价降低元时，每天的收入最大，最大收入为元.
【27题答案】
【答案】（1）、
（2）　　（3）或或

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