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上海市2026—2027学年八年级上册期中复习全优达标卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．估计的值（　　）
A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间
2．雾是由悬浮在大气中微小液滴构成的气溶胶，雾滴的直径多为0.000004m~0.00003m．其中，0.000004用科学记数法表示为（　　）
A．4×106 B．4×107 C．4×10-6 D．4×10-7
3．下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2＋2x＝0 B．x2＋2x＋1＝0
C．x2＋2x﹣1＝0 D．x2＋2x＋2＝0
4．已知、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．下列计算错误的是（　　）
A． ＝±2 B． ＝ ＝9
C． ＝0.4 D． ＝﹣6
6．把根号外的因数移到根号内，结果是（　　）
A． B． C． D．
7．下列说法中，正确的有(　　)
①实数不是有理数就是无理数；
②无限小数都是无理数；
③无理数都是无限小数；
④带根号的数都是无理数；
⑤两个无理数之和一定是无理数。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在下列等式中，不满足a≠0这个条件的是（　　）
A．a0＝1 B． C． D．
9．下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；② 若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 的算术平方根是3，则 的立方根是　 　 ．
12．若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是为　 　．
13． 的相反数是　 　；
14．已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式　 　．
15．若关于 、 的二元一次方程组 ，则 的算术平方根为　 　.
16．若实数，满足，则的最大值与最小值之和为　 　 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
18．（1）计算：；
（2）因式分解：；
（3）解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解．
19．在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加）
日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化（单位：万人）
（1）七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？
（2）据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示）
20．刺梨是贵州的特产，有补充维生素、健胃、祛痰、消肿止痛、清热解暑等功效与作用．某刺梨种植基地在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱刺梨的售价为60元时，每天可卖出120箱．由于水果不易储存，该基地决定降价促销，当每箱售价每降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱刺梨的成本为44元．
（1）如果每箱降价x元，那么每天的销量为　 　箱，降价后每箱的利润为　 　元； (用含 x 的式子表示)
（2）若该直播间想每天销售刺梨获利1800元，每箱应降价多少元？
21． 如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为．
（1）若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？
（2）当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？
22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a，b，c分别为 三边的长．
（1）如果 是方程的根，则 的形状为 　 　 ；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，若满足|x1-x2|=1，则此类方程叫做“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）下列是“差根方程”的是　 　；（填写序号）
①x2-x=0；②x2-4x-5=0.
（2）已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求a的值；
（3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”.
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上海市2026—2027学年八年级上册期中复习全优达标卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．估计的值（　　）
A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即 的值在5和6之间，
故答案为：B.
【分析】根据比较大小求解即可。
2．雾是由悬浮在大气中微小液滴构成的气溶胶，雾滴的直径多为0.000004m~0.00003m．其中，0.000004用科学记数法表示为（　　）
A．4×106 B．4×107 C．4×10-6 D．4×10-7
【答案】C
【解析】【解答】0.000004=4×10-6．
故答案为：C．
【分析】 将一个数表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。 根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2＋2x＝0 B．x2＋2x＋1＝0
C．x2＋2x﹣1＝0 D．x2＋2x＋2＝0
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵a＝1，b＝2，c＝0，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、∵a＝1，b＝2，c＝1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×1＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、∵a＝1，b＝2，c＝2，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴此方程没有实数根，故本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断求解即可。
4．已知、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∵、、分别是三角形的三边，
∴a+b+c>0，c-a-b<0，
∴，
∴一元二次方程没有实数根，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式及三角形三边的关系分析求解即可.
5．下列计算错误的是（　　）
A． ＝±2 B． ＝ ＝9
C． ＝0.4 D． ＝﹣6
【答案】A
【解析】【解答】A、原式＝2，符合题意；
B、原式＝|﹣9|＝9，不符合题意；
C、原式＝0.4，不符合题意；
D、原式＝﹣6，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据算术平方根、二次根式的性质及立方根的性质逐项判断即可。
6．把根号外的因数移到根号内，结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意知≥0，
∴x＜0，
原式=-= ；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x＜0，再根据二次根式的性质解答即可.
7．下列说法中，正确的有(　　)
①实数不是有理数就是无理数；
②无限小数都是无理数；
③无理数都是无限小数；
④带根号的数都是无理数；
⑤两个无理数之和一定是无理数。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①实数不是有理数就是无理数，说法正确；
②无限不循环小数是无理数，原说法错误；
③无理数都是无限小数，说法正确；
④开方开不尽的数都是无理数，原说法错误；
⑤两个无理数之和不一定是无理数，原说法错误；
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义和分类逐一判断即可.
8．在下列等式中，不满足a≠0这个条件的是（　　）
A．a0＝1 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：a0＝1，（a≠0），A选项错误；
a﹣1＝
，（a≠0），B选项错误；
，（a≠0），C选项错误；
＝a，（a≥0），D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据非零数的0次幂为1可判断A；根据负整数指数幂的运算性质以及分式有意义的条件可判断B；根据分式有意义的条件可判断C；根据二次根式有意义的条件可判断D.
9．下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；② 若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵b＝a＋c，∴
所以，一元二次方程一定有实数根，①符合题意
方程有两个不相等的实数根，
∴此方程为一元二次方程，且，
当时，方程为一元一次方程，不含有两个不等实数根，②不符合题意
二次函数的对称轴为
当取、（）时，函数值相等，则
当x取时，即，，函数值不一定为0，③不符合题意；
当时，二次函数的图像与轴的公共点的个数是2
当时，二次函数的图像过原点，此时与坐标交点个数为2，
当时，二次函数的图像与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，此时与坐标交点个数为3，④符合题意
正确的个数为2
故答案为：B
【分析】根据真命题的定义，一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可。
10．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．
【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 的算术平方根是3，则 的立方根是　 　 ．
【答案】
【解析】【解答】∵4a+1的算术平方根是3，∴4a+1＝9，∴a＝2，∴a﹣10=－8，－8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据算术平方根定义得出4a+1＝9，求出a＝2，求出a﹣10的值，再根据立方根定义求出即可．
12．若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是为　 　．
【答案】 且
【解析】【解答】∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
∵ 有意义，
∴ ，
∴m的取值范围是 且
故填： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和二次根式的性质判断即可。
13． 的相反数是　 　；
【答案】
【解析】【解答】 2的相反数是2 ．
故答案为2 ．
【分析】利用实数的相反数的定义求解即可。
14．已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式　 　．
【答案】14
【解析】【解答】解：∵x1、x2为方程x2-4x-1=0的两根，
∴x1+x2==4，x1x2==-1，
∴x12+x22-4=(x1+x2)2-2x1x2-4=16+2-4=14.
故答案为：14.
【分析】由根与系数关系得x1+x2==4，x1x2==-1，然后根据x12+x22-4=(x1+x2)2-2x1x2-4进行计算.
15．若关于 、 的二元一次方程组 ，则 的算术平方根为　 　.
【答案】2
【解析】【解答】
①+②，得
代入①，得
∴
∴其算术平方根为2，
故答案为2.
【分析】首先利用消元法解二元一次方程组，然后即可得出 的算术平方根.
16．若实数，满足，则的最大值与最小值之和为　 　 ．
【答案】
【解析】【解答】解：实数，满足
∴2ab2-2ab+a+4=0
∴
即
∴或
解得：
∴的最大值与最小值之和为-8
故答案为：.
【分析】将式子转化为关于b的一元二次方程，根据判别式大于或等于0，列出不等式，求得a的最值，进而即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）利用算术平方根，立方根等计算求解即可；
（2）利用绝对值，二次根式的加减法则计算求解即可。
18．（1）计算：；
（2）因式分解：；
（3）解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解．
【答案】解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∵为非负整数，
∴满足不等式组所有的非负整数解为：或或
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后再算加减法.
（2）先去括号，再合并同类项，然后利用完全平方公式分解因式即可.
（3）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后根据解集求得非负整数解.
19．在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加）
日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化（单位：万人）
（1）七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？
（2）据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示）
【答案】（1）解：万人，
答：七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人；
（2）解：
元，
答：该风景区在这七天假期的旅游总收入约为元．
【解析】【分析】（1）根据题设表格中的数据，利用表格中人数变化最大的数减去最小的数，列出算式，计算求值，即可得到答案；
（2）根据题意，先求出这七天的旅游总人数，利用总人数乘以200，求得旅游总收入，即可得到答案．
（1）解：万人，
答：七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人；
（2）解：
元，
答：该风景区在这七天假期的旅游总收入约为元．
20．刺梨是贵州的特产，有补充维生素、健胃、祛痰、消肿止痛、清热解暑等功效与作用．某刺梨种植基地在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱刺梨的售价为60元时，每天可卖出120箱．由于水果不易储存，该基地决定降价促销，当每箱售价每降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱刺梨的成本为44元．
（1）如果每箱降价x元，那么每天的销量为　 　箱，降价后每箱的利润为　 　元； (用含 x 的式子表示)
（2）若该直播间想每天销售刺梨获利1800元，每箱应降价多少元？
【答案】（1）；
（2）解：由题意得：，
整理得，
解得（舍去）；
答：每箱应降价6元．
【解析】【解答】（1）解：设每箱降价x元，
根据题意，那么每天的销量为箱，降价后每箱的利润为元，
故答案为：，；
【分析】（1）设每箱降价x元，则每天的销量为箱，降价后每箱的利润为元，进而即可求解；
（2）根据题意结合“每天销售刺梨获利1800元”列出方程，进而求出x的值，舍去负数即可求解。
21． 如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为．
（1）若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？
（2）当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？
【答案】（1）解：设AB为x米，则BC为(24-3x)，
∴
解得，，
又∵墙的最大可用长度为，
∴，解得，
舍去，
；
（2）解：根据题意得，
，
，
有最大值，且当时，y随x的增大而减小，
由（1）得，，
当时，有最大值，
∴
【解析】【分析】(1)设AB为x米，则BC为(24-3x)，利用长方体的面积公式列方程，即可求出x即AB的长；
(2)根据题意得y=x(24-3x)，再配方变为顶点式，根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积.
22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a，b，c分别为 三边的长．
（1）如果 是方程的根，则 的形状为 　 　 ；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）等腰三角形
（2）解：（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，
判别式(2b)2-4（a+c）(a-c)=4b2-4a2+4c2=4（b2+c2-a2）=0，
则b2+c2=a2，
则△ABC是直角三角形.
（3）解：因为 是等边三角形，所以a=b=c，
则（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可化为2ax2+2ax=0，解得x=0，或x=-1.
【解析】【解答】解：（1）把x=-1代入方程，得（a+c）×（-1）2-2b+(a-c)=0，则a+c-2b+a-c=0，
即2a-2b=0，a=b.
则△ABC是等腰三角形.
故答案为等腰三角形.
【分析】(1)把x=-1代入方程，化简方程可得a，b，c边之间的关系；（2）一元二次方程的解与判别式相关，有两个相等实数根时，判别式=0，解出a，b，c的关系即可；（3）等边三角形的三边相等，将a=b=c代入方程化简即可.
23．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，若满足|x1-x2|=1，则此类方程叫做“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）下列是“差根方程”的是　 　；（填写序号）
①x2-x=0；②x2-4x-5=0.
（2）已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求a的值；
（3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”.
【答案】（1）①
（2）解：x2+2ax=0
解得：x1=0，
∵关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，
∴
解得：
（3）解：设该“差根方程”为x2+bx+c=0，两根为，且
∴
∵△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，AB，AC长为两根
∴，即
代入数值可得，12+2c=7，解得：c=3
，即b=-
∴这个“差根方程”为
【解析】【解答】解：（1）①x2-x=0
解得：x1=1，x2=0
|x1-x2|=|1-0|=1，是差根方程
②x2-4x-5=0
解得：x1=5，x2=-1
|x1-x2|=|5+1|=6≠1，不是差根方程
故答案为：①
【分析】（1）解方程，再根据“差根方程”的定义进行判断即可求出答案.
（2）解方程，根据差根方程”的定义建立关于a的方程，解方程即可求出答案.
（3）设该“差根方程”为x2+bx+c=0，两根为，且，根据二次方程根与系数的关系可得，根据“差根方程”的定义可得，再根据勾股定理，结合完全平方公式即可求出答案.
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