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苏科版2026—2027学年九年级上册期中复习全优检测卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．一元二次方程二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．2，1 B．3， C．3，1 D．，
2．已知点 A（2 ，3）在 双 曲 线 y=上，则下列哪个点也在改双曲线上（　　）
A．（﹣1，6） B．（6，﹣1）
C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
3．一元二次方程配方后，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题中，真命题有(　　)
①直径是弦，但弦不一定是直径；
②半圆是弧，但弧不一定是半圆；
③半径相等的两个圆是等圆；
④一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若关于的一元二次方程有实数解，则的取值是（　　）
A． B． C． D．
6．用配方法解方程下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图， 正方形四个帖分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支上， 则实数 的值为（　　）
A．-3 B． C． D．3
8．如图，在正八边形中，连结，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（　　）
A．5 B．6 C．2 D．3
10．函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是的内接三角形，若，则　 　．
12．如图，点D是矩形的对称中心，点，，经过点D的反比例函数的图象交于点P，则点P的坐标为　 　．
13．已知整数 ， 若 的边长均满足关于 的方程 ， 则 的周长是　 　.
14．如图，五边形为的内接五边形，对角线为的直径，，，，为五边形的外接圆的三条切线，则　 　．
15．如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了　 　cm.
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．已知一元二次方程
（1） 若该一元二次方程有两个实数根，求m的范围.
（2） 若该一元二次方程有一个根为1，求方程的另一个实数根.
19．（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，．
（1）求半径的长；
（2）求图2中阴影部分的面积．
20．某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元.
（1）求该公司研发投入资金的年平均增长率.
（2）若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元.市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍.当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大 最大收入是多少万元
21．丁荷、丁信中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别 平均数 中位数 众数 方差
小荷组 7 a 6 2.6
小信组 b 7 c S2信
（1）以上成绩统计分析表中a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组 并说明理由.
22．如图，在中，弦的长为6，于点D，点A是上的动点（不与点B，C 重合），且为锐角，连接．
（1）若是的直径，且，求的面积；
（2）若面积的最大值为12，
①求线段的长；
②点E是线段上的一点，连接DE，若，求线段的最大值．
23．已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答：
①连接DE，若，求的值；
②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数．
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苏科版2026—2027学年九年级上册期中复习全优检测卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．一元二次方程二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．2，1 B．3， C．3，1 D．，
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴二次项系数3，一次项系数分别为，
故答案为：B．
【分析】
根据一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是、、为常数，”即可求解．
2．已知点 A（2 ，3）在 双 曲 线 y=上，则下列哪个点也在改双曲线上（　　）
A．（﹣1，6） B．（6，﹣1）
C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 双 曲 线 y=的图象关于原点对称
则A（2 ，3）关于原点对称的点为（-2，-3）
故答案为：C
【分析】根据双曲线图象上的点的坐标特征，结合关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
3．一元二次方程配方后，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C.
【分析】根据移项、添加一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式的形式解答即可.
4．下列命题中，真命题有(　　)
①直径是弦，但弦不一定是直径；
②半圆是弧，但弧不一定是半圆；
③半径相等的两个圆是等圆；
④一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径是弦但弦不一定是直径，故①说法正确，符合题意；
圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，但弧不一定是半圆，故②说法正确，符合题意；
半径决定圆的大小，半径相等的两个圆是等圆，故③说法正确，符合题意；
弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，当一条弦是直径时，直径把圆分成两个半圆，既不是优弧也不是劣弧，故④说法不正确，不符合题意；
综上所述，正确的选项有①②③，正确的个数共3个
故答案为：C .
【分析】据弦和直径的定义可得判断①；根据弧的定义可以判断②；根据等圆的定义可以判断③；根据优弧、劣弧的定义可以判断④.
5．若关于的一元二次方程有实数解，则的取值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+p=0有实数解，
∴△=-4p≥0，
∴p≤0.
故答案为：A.
【分析】由题意可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得p的范围.
6．用配方法解方程下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：x2+4x-3=0，
移项得：x2+4x=3，
配方得：x2+4x+4=3+4，
即（x+2）2=7．
故答案为：A.
【分析】根据配方法的步骤进行计算即可求解.
7．如图， 正方形四个帖分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支上， 则实数 的值为（　　）
A．-3 B． C． D．3
【答案】A
【解析】【解答】解： 连接AC和BD，交点为O，过点A作轴于M，过点D作轴于N，如图所示，
则，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴n=-3，
故答案为：A．
【分析】 连接AC和BD，交点为O，过点A作轴于M，过点D作轴于N，根据AAS证明，得到，根据反比例函数系数k的几何意义求解即可．
8．如图，在正八边形中，连结，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AG、GE、EC，如图所示：
由正八边形的性质得：
AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=AH，
∠B=∠BCD=∠D=∠DEF=∠F∠FGH=∠H=∠HAB=135°，
∴ΔABC≌ΔCDE≌ΔEFG≌ΔGHA，
∴AC=CE=EG=GA，
∴四边形ACEG为菱形，
∵AB=BC，∠ABC=135°，
∴∠BAC=∠BCA=22.5°，
同理：∠HAG=22.5°，
∴∠CAG=180°-∠BAC-∠HAG=180°-22.5°-22.5°=90°，
∴四边形ACEG为正方形，
∴，
故答案为：A.
【分析】连接AG、GE、EC，先利用正多边形的性质可得AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=AH，再证出ΔABC≌ΔCDE≌ΔEFG≌ΔGHA，利用全等三角形的性质可得AC=CE=EG=GA，证出四边形ACEG为菱形，再利用角的运算求出∠BAC=∠BCA=∠HAG=22.5°，再证出四边形ACEG为正方形，最后求出即可.
9．如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（　　）
A．5 B．6 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，
∴AB DH=32O，
∴DH=16，
在Rt△ADH中，AH= =12，
∴HB=AB﹣AH=8，
在Rt△BDH中，BD= =8 ，
设⊙O与AB相切于F，连接AF．
∵AD=AB，OA平分∠DAB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，
∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，
∴△AOF∽△DBH，
∴ = ，
∴ = ，
∴OF=2 ．
故选C．
【分析】如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．利用菱形的面积公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得 = ，延长即可解决问题．
10．函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵是反比函数上的点，
，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，在逐渐增大，而在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时，故②错误；
∵P是的图像上一动点，
∴矩形的面积为4，
∴，故③正确；
连接，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【分析】
因为点都在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义，可以得到，因此结论①正确；只有当点P的横、纵坐标相等时，才会满足，并不是任意情况都成立，因此结论②错误；结合反比例函数系数的几何意义进行推导，可以得出四边形的面积是固定不变的定值，因此结论③正确；连接后，利用“同底的两个三角形，面积之比等于对应高的比”这一性质，即可推导出结论④正确.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是的内接三角形，若，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理可求出的度数，再利用圆周角定理可求出∠A的度数.
12．如图，点D是矩形的对称中心，点，，经过点D的反比例函数的图象交于点P，则点P的坐标为　 　．
【答案】(6，1)
【解析】【解答】解：点D是矩形的对称中心，
点D是矩形的对角线的中点，
又，，
点D的坐标为．
反比例函数的图象经过点D，
，
，
把代入得，，
点P的坐标为．
故答案为：．
【分析】先利用矩形的性质求出点D的坐标，再将点D的坐标代入求出k的值，然后将x=6代入反比例函数解析式可得y的值，从而得到点P的坐标。
13．已知整数 ， 若 的边长均满足关于 的方程 ， 则 的周长是　 　.
【答案】6或12或10
【解析】【解答】解：由题意得：k≥0且（3）2-4×8≥0，
解得：k≥，
∵整数k＜5，
∴k=4，
∴原方程为：x2-6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4，
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2-6x+8=0，
∴△ABC的边长为2，2，2或4，4，4或4，4，2，
∴△ABC的周长为6或12或10.
故答案为：6或12或10.
【分析】由二次根数的双重非负性和一元二次方程的根的判别式可得关于k的不等式组：k≥0且（3）2-4×8≥0，解之并结合题意可求出k的值，代入原方程并解方程，再根据△ABC的边长均满足关于x的方程x2-6x+8=0可得三角形的边长，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解.
14．如图，五边形为的内接五边形，对角线为的直径，，，，为五边形的外接圆的三条切线，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，
，，为五边形的外接圆的三条切线，
，，，
∴，
为的直径，
，
，
，
∵，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接，根据切线性质得到，，，再根据直径所对的圆周角为90°得，再结合“等边对等角”得，进而可得，则，进而得出答案.
15．如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了　 　cm.
【答案】
【解析】【解答】点P旋转的弧长即可重物上升的距离，即为
答案：
【分析】直接求出点P旋转的弧长，即为重物上升的高度.
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是　 　．
【答案】（12， ）
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，
∵点D的坐标为（6，8），
∴OD= =10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
∵点A在反比例函数y= 上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM= = = ，
设EF=4a，BE=3a，
则点F的坐标为：（10+3a，4a），
∵点F在反比例函数y= 上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a2+10a﹣8=0，
解得：a1= ，a2=﹣4（舍去），
∴点F的坐标为：（12， ）．
故答案为：（12， ）．
【分析】首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数y= （x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM= = = ，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
∴x1=3，x2=-3
（2）解：（x-10）（x＋2）＝0，
x-10＝0或x＋2＝0，
，
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：缺一次项，因此可以利用直接开平方法解方程.
（2）观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程.
18．已知一元二次方程
（1） 若该一元二次方程有两个实数根，求m的范围.
（2） 若该一元二次方程有一个根为1，求方程的另一个实数根.
【答案】（1）解：∵该一元二次方程有两个实数根
∴
∴
（2）解：把
得：
∴
【解析】【分析】（1）根据 一元二次方程有两个实数根 ，可知，代入求值即可求出m的值。
（2） 根据一元二次方程有一个根为1 ，代入原方程即可求得 ，再将m的值代入方程，根据因式分解即可求得两个实数根，即可得出答案。
19．（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，．
（1）求半径的长；
（2）求图2中阴影部分的面积．
【答案】（1）解： ∵，，
∴
∵，
∴
∵，由题意得，
∴
在中，，
∴，
即的半径的长为．
（2）解：如图，连接.
，
，
∵ 在中，，
∴为等边三角形，
【解析】【分析】
（1）垂径定理的应用，先根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得，再由矩形的判定与性质可得，再由垂径定理得，最后再根据勾股定理得即可．
（2）由割补法即，再分别计算出矩形、扇形和三角形面积即可．
（1）解： ∵，，
∴
∵，
∴
∵，由题意得，
∴
在中，，
∴，
即的半径的长为．
（2）连接
，
，
∵ 在中，，
∴为等边三角形，
20．某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元.
（1）求该公司研发投入资金的年平均增长率.
（2）若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元.市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍.当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大 最大收入是多少万元
【答案】（1）解：设该公司研发投入资金的年平均增长率为x，
依题意得，
解得x=0.1（负值已舍去），
∴年均增长率为10%，
答：该公司研发投入资金的年平均增长率为10%.
（2）设生产A款装备a台，则生产B款装备（3000-a）台.
根据题意，得a≤2（3000-a），
解得a≤2000.
设销售总收入为W万元，则W=5a+3.5（3000-a）=1.5a+10500，
∵1.5>0，
∴W随a的增大而增大.
∵a≤2000，
∴当a=2000时W值最大，10500=13500（万元）.
答：当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元.
【解析】【分析】（1）求年平均增长率时，设年平均增长率为，根据增长率问题的公式：初始量增长率增长年后的量，代入2023年的初始资金与2025年的资金，列出一元二次方程，求解后舍去负根，即可得到年平均增长率。
（2）求最大收入时，先设生产A款装备的数量为参数，根据总台数表示出B款的数量；再根据“A款数量不多于B款数量的2倍”列出一元一次不等式，求解得到参数的取值范围；接着根据“总收入=A款收入+B款收入”列出总收入关于参数的一次函数表达式，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，在取值范围内找到使函数值最大的参数值，代入计算即可得到最大收入。
21．丁荷、丁信中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别 平均数 中位数 众数 方差
小荷组 7 a 6 2.6
小信组 b 7 c S2信
（1）以上成绩统计分析表中a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组 并说明理由.
【答案】（1）6；7；7
（2）小荷
（3）解：，
两组平均数都是7，平均数相同；方差越小成绩越稳定，因为（小信方差更小），小信组成绩更稳定，
因此应选小信组参加决赛．
【解析】【解答】解：（1）10个数据从小到大排列后，中位数是第5、第6个数的平均数，小荷组第5、6个数都是6，
∴．
小信组总分为，
∴．
小信组中出现次数最多（共4次），
∴众数．
故答案为：6；7；7；
（2）小荷组中位数为，，符合“中游略偏上”，
小信组中位数为，等于中位数，仅为中游，不符合描述，
∴小明是小荷组的学生．
故答案为：小荷；
【分析】（1）根据中位数、众数的定义，平均数的计算公式解答即可．
（2）根据题意得到成绩大于小组的中位数，所以比较7分与两组中位数的大小关系，判断解答即可．
（3）先计算小信组的房产，然后根据方差越小数据越稳定，解答即可．
22．如图，在中，弦的长为6，于点D，点A是上的动点（不与点B，C 重合），且为锐角，连接．
（1）若是的直径，且，求的面积；
（2）若面积的最大值为12，
①求线段的长；
②点E是线段上的一点，连接DE，若，求线段的最大值．
【答案】（1）解：∵是的直径，C点在圆上，
∴，
∴的面积。
（2）解：①如图所示，当点A在延长线上时，的面积最大，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
；
②如图所示，延长交于点F，连接，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵，弦的长为6，
∴
∴
∵
∴当点B，O，E三点共线时，有最大值，即的长度
∴的最大值为4．
【解析】【分析】（1）因为AB为直径，所以AB对应的圆心角为180°，结合圆周角定理即可得到，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）①根据条件和图中信息可知，当点A在延长线上时，的面积最大，连接，由垂径定理得到，然后由三角形面积求出，最后利用勾股定理列示，然后求解即可；
②做辅助线，首先得出，然后由“同弧对应的圆周角相等”得到，接着等量代换得到，得到，进而由得到当点B，O，E三点共线时，有最大值，即的长度，进而求解即可．
（1）解：∵是的直径，
∴，
∴的面积；
（2）解：①如图所示，当点A在延长线上时，的面积最大，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
；
②如图所示，延长交于点F，连接，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵，弦的长为6，
∴
∴
∵
∴当点B，O，E三点共线时，有最大值，即的长度
∴的最大值为4．
23．已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答：
①连接DE，若，求的值；
②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数．
【答案】（1）解：把代入解析式得，因此反比例函数的解析式为；
把代入反比例函数，将代入得B点坐标为；
一次函数过点和代入，得方程组得一次函数的解析式为，解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：①与轴、轴相交于点、点，求得，，
，
，
，
，
连接，
．
，
，．
，点在线段EF外，如图，
．
②由图象可知，点在点上方时，
或，
当时，方程为一元一次方程，
方程有一个实数根．
当时，方程为一元二次方程，
．
当时，，方程有2个实数解，
当，且时，，即，方程有2个实数解，
当时，，即，方程无实数解，
当时，，方程有两个相等实数解，
当时，方程有一个实数解．
【解析】【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，一元二次方程根的判别式等知识．
（1） 先利用已知点 A 的坐标，代入反比例函数解析式求出参数 m，确定反比例函数表达式；再用反比例函数求出点 B 的坐标，最后将 A、B 两点坐标代入一次函数，用待定系数法求出一次函数的解析式。
（2） ① 先求出直线与坐标轴的交点 D、C 的坐标，得到的面积；再设出直线上动点 P 的坐标，结合反比例函数得到 E、F 的坐标，用坐标表示出 PE 的长度，根据面积关系列方程求解，最终得到 的值。
② 先结合图象确定点 P 在点 E 上方时 p 的取值范围，再针对关于 x 的方程，分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论： 观察图象可知，点在点上方时，或，对p的取值进行分类讨论：
a. 当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；
b.当时，方程为一元二次方程；
，再分类讨论即可．
（1）把代入得：，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，
；
把，代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）①与轴、轴相交于点、点，求得，，
，
，
，
，
连接，
．
，
，．
，点在线段EF外，如图，
．
②由图象可知，点在点上方时，
或，
当时，方程为一元一次方程，
方程有一个实数根．
当时，方程为一元二次方程，
．
当时，，方程有2个实数解，
当，且时，，即，方程有2个实数解，
当时，，即，方程无实数解，
当时，，方程有两个相等实数解，
当时，方程有一个实数解．
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