资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2026—2027学年八年级上册期中模拟名师优题卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在中，下列哪组条件不能判定是直角三角形（　　）
A． B．
C． D．
2．能说明命题“”是假命题的一个反例是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，方格纸中的和的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
5．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（　　）
A． B． C． D．
6． 如图， 已知 ， 增加下列条件：
①；
②；
③；
④.
其中能使 的条件有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为(　　)
A． B． C． D．
8．如图，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠ACP＝2∠PCD＝40°，连结AP，若∠BAP=α，∠CAP＝α+β．下列说法中正确的是（　　）
A．当∠P＝60°时，α＝30° B．当∠P＝60°时，β＝40°
C．当β＝20°时，∠P＝90° D．当β＝0°时，∠P＝90°
9．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在中，，，、是的两条角平分线，，是上的一个动点，则线段最小值的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．直角三角形的两直角边长分别为2cm，2cm，则其斜边上的高为　 　cm．
12．如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为　 　．
13．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的实数是　 　．
14．如图，九洞天风景区内的路互相垂直，路的中点与点被经过景区的六冲河隔开．若测得路的长为，则、两点间的距离　 　．
15．已知直线与（其中k为正整数），记与x轴围成的三角形面积为，则　 　．
16．如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③△PCQ为轴对称图形；④DP＝DE；⑤∠AOB＝60°．以上结论正确的是　 　（填序号）.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解不等式（组）：
（1）2（x+1）﹣1＞x；
（2） ．
18． 如图，在中，，过CA的延长线上一点D，作，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，F为AB的中点，求EF和DF的长．
19．为加强学生安全教育，某学校组织了“安全教育”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买3副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需140元；购买2副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需210元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且总费用不超过1100元，求至少购买多少副乒乓球拍．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
21．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的长为5，求的周长．
22．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”．
（1）根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）；
（2）若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围；
（3）若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围．
23． 如图，△ABC 为等边三角形，D，E 分别为线段AC，AB 上一点，AE=CD，CE 与 BD 交于点 F。
（1）求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图1，若 求 EF 的长；
（3）如图2，H为射线BC上一点，连接HF，将线段 HF 绕点 F 逆时针旋转120°得 GF，连接BG，若∠GBD=60°，求证：BG=BF+2CF。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2026—2027学年八年级上册期中模拟名师优题卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在中，下列哪组条件不能判定是直角三角形（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，故是直角三角形，不符合题意；
B、，故是直角三角形，不符合题意；
C、最大角，故不是直角三角形，符合题意；
D、由，，得，即，故是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【分析】A、由内角和定理直接计算即可；
B、应用勾股定理的逆定理验算即可；
C、由内角和定理直接计算即可；
D、由内角和定理直接计算即可．
2．能说明命题“”是假命题的一个反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、当时，，不能说明是假命题，不符合题意；
B、当时，，能说明是假命题，符合题意；
C、当时，，不能说明是假命题，不符合题意；
D、当时，，不能说明是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】命题“”是假命题就是使|a|≤0，再对各选项进行计算，逐一判定即可.
3．如图，方格纸中的和的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，由图可知：，
∴（SAS），
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用SAS证，可推出的关系，再利用邻补角互补即可求解.
4．如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
∴选项符合题意，
故选：．
【分析】
由三角形的外角性质知．，又因为已知，则等量代换得，所以DC=DB，即点D在线段BC的垂直平分线上.
5．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
【分析】两方程求差得到，即可得到，解不等式求出m的取值范围即可．
6． 如图， 已知 ， 增加下列条件：
①；
②；
③；
④.
其中能使 的条件有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵∠C=∠D， AC= AD， AB=AE，
∴△ABC和△AED不一定全等，
故①不符合题意；
②∵∠C=∠D， AC = AD， BC = DE，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
故②符合题意；
③∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB =∠2+∠EAB，
∴∠CAB=∠DAE，
∵∠C=∠D， AC=AD，
∴△ABC≌△AED(ASA)，
故③符合题意；
④∵∠B =∠E， ∠C =∠D， AC = AD，
∴△ABC≌△AED(AAS)，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使△ABC≌△AED的条件有3个，
故答案为： B.
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、AAS、ASA逐一判断即可.
7．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是，
点距离地面的高度为，点距离地面的高度是，
，
，
，
，
又由题意可知，，
，
，，
，
点到的距离为，
故选：D．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，根据题意，利用，证得，得出，，结合的值，即可得到点到的距离，即可得出答案.
8．如图，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠ACP＝2∠PCD＝40°，连结AP，若∠BAP=α，∠CAP＝α+β．下列说法中正确的是（　　）
A．当∠P＝60°时，α＝30° B．当∠P＝60°时，β＝40°
C．当β＝20°时，∠P＝90° D．当β＝0°时，∠P＝90°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ACP＝2∠PCD＝40°，
∴∠PCD=20°，
∴∠ACD=60°．
∵AB//CD，
∴∠CAB=180°-∠ACD=120°．
∵∠BAP=α，∠CAP＝α+β，
∴∠CAB=2α+β，
∴2α+β=120°，
∴α+β=120°-α，β=120°-2α．
∵∠P+∠CAP+∠ACP=180°，
∴∠P=180°-(α+β+40°)=α+20°．
A. 当∠P＝60°时，α=60°-20°＝40°，故错误；
B. ∵当∠P＝60°时，α=40°，∴β=120°-2α＝40°，正确；
C. 当β＝20°时，20°=120°-2α，∴α=50°，∴∠P＝α+20°=70°，故错误；
D. 当β＝0°时，0°=120°-2α，∴α=60°，∴∠P＝α+20°=80°，故错误；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质求出β=120°-2α，∠P=20°+α，然后逐项判断解题即可．
9．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示
则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】证明，即可判断①；利用三角形的外角性质判断 ② ； 作于，于，再推导即可判断④解题即可.
10．如图，在中，，，、是的两条角平分线，，是上的一个动点，则线段最小值的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：
连接，如图所示：
∵，平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值是6，
故答案为：D
【分析】连接，先根据角平分线的性质结合题意得到，进而得到，从而结合题意得到P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，进而根据角平分线的性质结合题意进行运算即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．直角三角形的两直角边长分别为2cm，2cm，则其斜边上的高为　 　cm．
【答案】
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为2cm，2cm，
∴斜边=，
设其斜边上的高为h，
∴，
解得：h=.
故答案为：.
【分析】根据勾股定理先求出斜边的长，设其斜边上的高为h，再利用面积法，可得关于h的方程，解方程即可求解.
12．如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设∠B=x，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=x，
∴∠AEC=∠B+∠ECB=2x，
∵AC=CE，
∴∠A=∠AEC=2x，
∵∠ACE=40°，∠A+∠AEC+∠ACE=180°，
∴2x+2x+40°=180°，
∴x=35°，即∠B=35°.
故答案为：35°.
【分析】设∠B=x，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=CE，由等边对等角得∠ECB=∠B=x，根据三角形外角相等得∠AEC=∠B+∠ECB=2x，再由等边对等角得∠A=∠AEC=2x，最后根据三角形的内角和定理建立方程，求解可得答案.
13．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的实数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形BCDE，
∴DE=BE=1，∠BED=90°，
∴，
∴EA=，
∴点A对应的实数是.
故答案为：
【分析】利用正方形的性质可知DE=BE=1，∠BED=90°，利用勾股定理求出DA的长，可得到AE的长，即可得到点A对应的实数.
14．如图，九洞天风景区内的路互相垂直，路的中点与点被经过景区的六冲河隔开．若测得路的长为，则、两点间的距离　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：在RtABC中，AB是斜边，点P是AB的中点，
∴CP=。
即P、C两点间的距离是50m.
故第1空答案为：50m.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质直接求出答案。
15．已知直线与（其中k为正整数），记与x轴围成的三角形面积为，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：直线I1：y=kx+k+1=k（x+1）+1，则直线I1经过定点（-1，1），与x轴的交点为
直线I2：y=（k+1）x+k+2=（k+1）（x+1）+1，则直线I2经过定点（-1，1）与x轴的交点为
所以无论k取何值时，直线I1与I2的交点均为定点（-1，1）
所以
所以
故答案为
【分析】化简直线解析式得到无论k取何值直线都经过定点（-1，1），求出直线与x轴交点坐标，利用三角形面积公式求出Sk即可求出答案。
16．如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③△PCQ为轴对称图形；④DP＝DE；⑤∠AOB＝60°．以上结论正确的是　 　（填序号）.
【答案】①②③⑤
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACP=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，故②正确；
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∴△PCQ为等腰三角形为轴对称图形，故③正确；
∵DC=DE，∠PCQ=∠CPQ=60°，
∴∠DPC＞60°，
∴DP≠DC，
又∵DC=DE，
∴DP≠DE，故④不正确；
∵∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故⑤正确．
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤.
【分析】①根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60度；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等；即可判断；
②根据全等三角形的对应角相等；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形 ；等边三角形的三个角均是60°； 内错角相等，两直线平行；即可判断；
③根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等；全等三角形的对应边相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形值轴对称图形；即可判断；
④首先根据DC=DE，∠PCQ=∠CPQ=60°，可得∠DPC＞60°，然后判断出DP≠DC，再根据DC=DE，即可判断出DP≠DE．
⑤根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；即可判断.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解不等式（组）：
（1）2（x+1）﹣1＞x；
（2） ．
【答案】（1）解：2x+2-1>x，
2x-x>-1，
解得x>-1.
（2）解：解不等式①得：x＜-2
解不等式②得：x
∴不等式组的解是x＜-2
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质分步求解即可；
(2)先根据不等式的性质分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
18． 如图，在中，，过CA的延长线上一点D，作，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，F为AB的中点，求EF和DF的长．
【答案】（1）证明：∵在中，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：过点A作AH⊥AF，如图：
则DH=FH，
∵△ADF是等腰三角形，F为AB的中点，
∴BF=AF=AD=13，
∵DE⊥BC，
∴，
在△AHF和△BEF中，
∵，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，根据等角的余角相等可得∠BFE=∠D，结合对顶角相等推得∠D=∠DFA，根据等角对等边即可证明；
（2）易得BF=AF=AD=13，由等腰三角形的三线合一得DH=FH，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得EF的值，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等得△AHF≌△BEF，由全等三角形的对应边相等可得HF=EF=12，即可求解.
19．为加强学生安全教育，某学校组织了“安全教育”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买3副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需140元；购买2副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需210元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且总费用不超过1100元，求至少购买多少副乒乓球拍．
【答案】（1）(1)设购买1副乒乓球拍需要x元，购买1副羽毛球拍需要y元，
由题意可得：
解得：
答：购买1副乒乓球拍需要30元，购买1副羽毛球拍需要50元；
（2）(2)设购买a副乒乓球拍，则购买(30-a)副羽毛球拍，
由题意得：30a+50(30-a)≤1100，
∴30a+15-50a ≤1100，
∴a≥20，
∵a取最小整数，
∴a=20，
答：至少要购买20副乒乓球拍.
【解析】【分析】（1）设购买1副乒乓球拍需要x元，购买1副羽毛球拍需要y元，根据题意即可列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买a副乒乓球拍，则购买(30-a)副羽毛球拍，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案。
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∠ABD＋∠BME=90°，
∵∠BME=∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD=90°，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD，
∴△CDM是等腰三角形；
（2）解︰作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB=90°，BD平分∠ABC，
∴DC=DF，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=，
∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，
∴，
即，
解得CD=DF=3，
由（1）知：CM=CD，
∴CM=3，
即CM的长度为3.
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠CBD=∠ABD，由直角三角形的量锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等得∠CDB=∠CMD，由等角对等边得CM=CD，从而可得结论；
（2）作DF⊥AB于点F，如图所示，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DF，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，进而根据S△ABC=S△BCD+S△ADB，结合三角形面积计算公式建立方程可求出CD=DF=3，再结合（1）的结论可得答案.
21．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的长为5，求的周长．
【答案】（1）解：，，
，
垂直平分，
，
，
（2）解：垂直平分，
，
，
，，
周长为12．
【解析】【分析】（1）根据题意得到的大小，再根据垂直平分线的性质得到，，最后求出 的度数；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，最后求出周长即可.
22．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”．
（1）根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）；
（2）若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围；
（3）若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围．
【答案】（1）①
（2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，
∴或．
∴或
（3）解：∵不等式组是的“相容不等式组”
，解得
的整数解为2，3，4，且和的整数解相同，
∴
∴
综上所述：
【解析】【解答】解：（1）不等式组的解集是，不等式组的解集是，
不等式组是不等式组的“相容不等式组”．
故答案为：①．
【分析】（1）先求出两个不等式组的解集，再根据新定义进行判断即可；
（2）先根据定义得到关于a的不等式组，再计算求解即可；
（3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，最后取两个取值范围的公共部分即可．
（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是，
不等式组是不等式组的“相容不等式组”．
故答案为：①．
（2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，
∴或．
∴或
（3）解：∵不等式组是的“相容不等式组”
，
解得
的整数解为2，3，4，且和的整数解相同，
∴
∴
综上所述：
23． 如图，△ABC 为等边三角形，D，E 分别为线段AC，AB 上一点，AE=CD，CE 与 BD 交于点 F。
（1）求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图1，若 求 EF 的长；
（3）如图2，H为射线BC上一点，连接HF，将线段 HF 绕点 F 逆时针旋转120°得 GF，连接BG，若∠GBD=60°，求证：BG=BF+2CF。
【答案】（1）证明：在等边△ABC中，AC=BC，
∠A =∠ACB=∠ABC=60°，
在△AEC和△CDB 中，
∴△AEC≌△CDB(SAS)；
（2）解：过点E作EG⊥BD于点 G，如图1所示，
图1
∵△AEC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD，
设∠ACE=∠CBD=α，
则∠ABD=3∠ACE=3α，
∴4α=60°，解得α=15°，
∴∠EBG=60°-15°=45°，
∴∠BEG=45°。
∵∠BEF=∠A+∠ACE=75°，
∴∠GEF=30°。
在Rt△EFG中，设FG=x，则EF=2x，
解得x=1，则EF=2x=2
（3）解：证明：延长CE 交 BG 于点 J，在 GB 上取 GI=FC，如图2所示，
由(1)知，△AEC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD。
∵∠FCB 是△FCH的一个外角，
∴∠FCB=∠H+∠HFC。
∵将线段 HF 绕点 F 逆时针旋转120°得GF，
∴FH=FC，∠GFH=120°，∠HFC+∠GFE=60°。
∵∠FCB+∠ACE=60°=∠H+∠HFC+∠ACE，∠H+∠G +∠ACE =∠H +∠G +∠CBD =360°-∠CBD-∠GFB-∠BFH=360°-60°-(∠GFB+∠BFH)=360°-60°-(360°-∠GFH)=360°-60°-240°=60°，
∴∠HFC=∠G。
在△HFC 和△FGI中，
∴△HFC≌△FGI(SAS)，
∴∠GFI=∠H，
由∠HFC+∠GFE=60°，知∠HFC+∠GFI+∠JFI=60°，则∠HFC+∠H+∠JFI=60°。
∵∠H+∠HFC+∠ACE=60°，
∴∠JFI=∠ACE，即∠JFI=∠CBD∵∠FJB 是△FJI的一个外角，
∴∠FJB =∠JFI +∠JIF =∠JFI +∠G +∠GFI =∠JFI +∠HFC+∠GFI=60°。
∵∠BFJ是△FBC的一个外角，
∴∠BFJ=∠FCB+∠CBD=∠FCB+∠ACE=60°，
∴△BFJ是等边三角形，则BF=FJ=BJ。
∵∠JIF=∠G+∠GFI，∠FCB=∠H+∠HFC，
∴∠JIF=∠FCB，
在△JFI和△FBC中，
∴△JFI≌△FBC(AAS)，
∴JI=FC，
∴BC=BJ+JI+IG=BF+2CF。
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)过点E作 ，如图所示，根据全等三角形性质得到 设 则 由 解得 由等腰直角三角形及含 的直角三角形性质，设FG=x，则 列方程求解即可得到答案；
(3)延长CE交BG于J，在GB上取GI=FC， 如图所示，根据等边三角形性质、三角形全等的判定与性质，通过构造的 FGI(SAS)、△JFI≌△FBC(AAS)将线段转化到一条线上即可得证.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑