资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期中·50道解答题专练】浙教版数学八年级上册期中复习卷
1．小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．他进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．若小明牵线放风筝手到地面的距离为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
2．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
3．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求∠BED的度数．
4．如图，小方格都是边长为1的正方形
（1）求的长度．
（2）用勾股定理的知识证明：．
5．若关于x，y的方程组 的解，使不等式组 成立，求 的取值范围．
6．小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息：
营业员 A B
月销售件数 300 400
月总收入（元） 3700 4000
假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元．
（1）求、的值．
（2）若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？
（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案）
7．如图，在中，点在边上．
（1）若，求的度数；
（2）若为的中线，的周长比的周长大，求的长．
8．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
9．如图，AE与BD交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=6cm，点P从A出发，沿A→B→A的方向以3 cm/s的速度运动；点Q从D出发，沿D→E的方向以1 cm/s的速度运动．点P，Q同时出发，当点P到达A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）直接写出线段BP的长；（用含t的式子表示）
（2）求DE的长；
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，直接写出t的值．
10．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
11．已知关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围．
12．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B = 30°，∠DAE = 55°，求∠ACD的度数.
13．在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：2，求∠A，∠B和∠C的度数.
14．解不等式组（并把解集表示在数轴上）
15．在中，．
（1）如图①，若平分平分，则___________．
（2）如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________；
（3）如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数．
16．如图，已知点A，D，B，F在一条直线上，，，且.
（1）求证：；
（2）直接写出线段AC和线段EF的关系：　 　.
17．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．
18．图1是郝老师制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，，．求的度数．
19．如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．
（1）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）若AD是BC边上的中线，，求S△AEC．
20．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为边AB 上的高，AF 为∠BAC的平分线，AF 交CD 于点E，交 BC于点F。
（1）如图1，①∠ACD ▲ ∠B（选填“>”“=”或“<”)；
②求证：CE=CF。
（2）如图1，过点E作EG∥AB交BC于点G，若AD=a，△EFG为等腰三角形，求AC的长。（用含a 的代数式表示)
（3）如图2，过BC上一点M，作MN⊥AB于点N，使得MN=ED，试探索BM与CF 之间的数量关系，并说明理由。
21．如图，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，探究图中线段PA，PB，PD之间的数量关系．
解法探究：小慧同学通过思考，得到如下解题思路：将△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，连接PP'．先证明△APP'是等腰直角三角形，再证明△PP'B是直角三角形，从而可得结论．请先写出小慧同学得出的结论，并在小慧的解题思路的提示下，写出所得结论的理由．
22．已知，如图①，在和中，，，
（1）求证：①；②；
（2）如图②，在和中，，，，则AC与BD的等量关系为　 　．的大小为　 　．（直接写出结果，不需要证明）
23．2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时．
（1）求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？
（2）某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？
24．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求、的度数．
25．如图，在中，，垂足为D，， ．
（1）求和的度数．
（2）若是的平分线，求的度数．
26．如图，BE是的角平分线，在AB上取一点，使.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
27．如图，是等边三角形，点在直线的下方，且，连接交于点.
（1）求证：垂直平分；
（2）过点D作，若，，求的长.
28．实数与数轴上的点一 一对应，无理数也可以在数轴上表示出来.请在如图所示的数轴上用尺规作出表示的点A，并说明理由。（保留作图痕迹，不写作法）
29．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角平分线，若∠BFC=114°，求∠BCF的度数．
30． 在中，是边上任意一点，过点分别向引垂线，垂足分别为.
（1）如图①，当点在的什么位置时，？并证明你的结论；
（2）如图②，过点作边上的高，则的长之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
31．在购物节来临之际，某商场计划采购甲、乙两种厨房小家电，已知购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元．
（1）求这两种家电每件的进价分别是多少元．
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？
32．根据下列条件，判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。
（1） a=20，b=21，c=29；
（2） a=5，b=7，c=8；
（3）
33．如图，在中，点是边上的一点，连接．
（1）若，，求的度数；
（2）若平分，，，试说明：．
34．如图，在△ABC中，∠ACB=3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若∠BAC=60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求∠DCE的度数．
35．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
36．在中，，，求该三角形和的度数．
37．如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，F为的中点，求和的长．
38．求不等式组：的所有整数解.
39．如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，，，．试说明：点C是的中点．
40． 如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若AD＝2，AB＝8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？
41．如图，在中，，．求中边上的高是多少？
42．如图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，设杯子底部到杯沿底边高为，杯沿高为．
（1）用代数式表示个叠放在一起的纸杯的总高度用含h的代数式表示．
（2）某型号的纸杯个叠在一起的总高度为．
求h的值．
该型号纸杯有个装、个装、个装共三种包装，均把纸杯叠放成一叠进行包装，图是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是，若要把该型号纸杯按原包装竖直杯口向上放入储藏柜，该储藏柜能放得下这三种包装中哪些包装的纸杯？说明理由．
43．如图，在中，，把沿直线DE折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积．（用含m，n的代数式表示）
44．如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接．
（1）若，的周长为19，则的长为______；
（2）若，求的度数；
（3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
45．用一条长为的细绳围成的一个等腰三角形
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？
46．△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，记∠BAC＝x，∠BOC＝y．
（1）如图1．
①若x＝50°，则y＝ ▲ ；
②请你根据①中计算的心得猜想写出y与x的关系式，并证明你猜想的正确性；
（2）如图2，启智学校内有一个三角形的小花园，花园中有两条小路BD和CE为△ABC的角平分线，交点为点O，在O处建有一个自动浇水器，需要在BC边上取一处接水口F，经过测量得知∠BAC＝120°，OD OE＝12000m2，BC﹣BE﹣CD＝160m，请你求出水管OF至少要多长？
47．如图1，已知，连接AD和BC交于点.
（1）求证：；
（2）如图2，点F，G分别在线段BE，ED上，且，且.
①若，求的度数；
②当　 　时，为定值，此时定值为　 　.
48．已知关于 的不等式组 的所有整数解的和为 ，求 的取值范围
49．若不等式组 的解集是关于x的一元一次不等式 ax>-1的解集的一部分，求a的取值范围.
50．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE平分∠AOD．
（1）若∠COE=20°，则∠BOD=　 　；若∠COE=α，则∠BOD=　 　（用含α的代数式表示）
（2）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期中·50道解答题专练】浙教版数学八年级上册期中复习卷
1．小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．他进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．若小明牵线放风筝手到地面的距离为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
【答案】（1）解：依题意，得，米，
在中，米，米，
（米），
（米），
答：风筝的垂直高度的长为米。
（2）解：风筝沿方向再上升12米，则（米），
由勾股定理得，（米），
（米），
答：他应该再放出8米线．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC=8米，然后结合图中信息，列式米即可得到结论；
（2）先求出AC=20米，然后根据勾股定理求出AB=25米，最后作差即可得到结论．
（1）解：依题意，得，米，
在中，米，米，
（米），
（米），
答：风筝的垂直高度的长为米；
（2）解：风筝沿方向再上升12米，则（米），
由勾股定理得，（米），
（米），
答：他应该再放出8米线．
2．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
【答案】解：（1）△BDC是直角三角形，理由是：
∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠D＝90°，
即△BDC是直角三角形；
（2）设AB＝AC＝xcm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，
即（15﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝，
∴AB＝AC＝（cm），
∵BC＝17cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得△BDC是直角三角形，且∠D=90°；
（2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根据勾股定理建立方程求出AC，由等腰三角形性质得AB=AC，最后根据三角形周长计算公式求出△ABC的周长即可．
3．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求∠BED的度数．
【答案】解：
平分
又
．
【解析】【分析】
根据题目中给出的已知条件，可得到，再根据两直线平行，内错角相等，先计算的度数，再结合三角形内角和定理，即可求出对应角的度数，解决该问题.
4．如图，小方格都是边长为1的正方形
（1）求的长度．
（2）用勾股定理的知识证明：．
【答案】（1）解：如图1，
在Rt△ABE中，AE=3，BE=2，
∴AB= = ，
在Rt△BCF中，BF=3，CF=2，
∴BC= = ；
（2）证明：如图2，连接AC，
在Rt△ACG中，AG=5，CG=1，
∴AC= ，
结合(1)可得 =
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠ABC=90°.
【解析】【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理求得AB，BC的长，即可求解；
（2）勾股定理求得AC，进而勾股定理的逆定理证明ABC是以AC为斜边的直角三角形，即可求解．
5．若关于x，y的方程组 的解，使不等式组 成立，求 的取值范围．
【答案】解： ，
①×4+②，得
11x=22m，
∴x=2m，
把代入①，得
4m-y=5m，
∴y=-m，
∴ ．
把 代入不等式组 ， 得 ，
解①得，m≤5，
解②得，m>-6，
∴ ．
所以 的取值范围是： ．
【解析】【分析】先利用加减消元法求出二元一次方程组的解，在代入不等式组求解即可。
6．小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息：
营业员 A B
月销售件数 300 400
月总收入（元） 3700 4000
假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元．
（1）求、的值．
（2）若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？
（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案）
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得，
则x的值为2800，y的值为3；
（2）解：设小潮当月卖服装m件，
根据题意得：，
解得，
又为正整数，
的最小值为334，
则小潮当月至少要卖服装334件；
（3）170
【解析】【解答】解：（3）设甲服装单价为a元，乙服装单价为b元，丙服装单价为c元，
根据题意得：，
整理得，
即购买甲、乙、丙各一件共需170元．
故答案为：170．
【分析】（1）根据“月总收入基本工资计件奖金”结合表格给出的A、B两个营业员的销售数量及月总收入列出关于字母x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设小潮当月卖服装m件，根据“月总收入=基本工资+计件奖金及小潮某月的总收入不低于3800元”列出关于字母m的一元一次不等式，再求出该不等式的最小整数解即可；
（3）设甲服装单价为a元，乙服装单价为b元，丙服装单价为c元，根据“ 购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元及购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元 ”列出方程组，然后将方程组中的两个方程相加整理得出a+b+c=170，从而即可得出答案.
（1）根据题意得：，
解得，
则x的值为2800，y的值为3；
（2）设小潮当月卖服装m件，
根据题意得：，
解得，
又为正整数，
的最小值为334，
则小潮当月至少要卖服装334件；
（3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元，
根据题意得：，
整理得，
即购买甲、乙、丙各一件共需170元．
故答案为170．
7．如图，在中，点在边上．
（1）若，求的度数；
（2）若为的中线，的周长比的周长大，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵为的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】(1)由三角形外角的性质得：∠3=∠4=∠1+∠2=70°，接着再根据三角形内角和定理即可求解；
(2)由三角形中线的定义得BD=CD，根据的周长比的周长大，再结合三角形周长公式推出AB-AC=3，再由AB=9，从而可得答案.
8．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】解：两方程相加，得：，
即，
，即，
，
，
解得．
【解析】【分析】将两方程相加可得，由得，即得，从而得出5+k＞0，解之即可.
9．如图，AE与BD交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=6cm，点P从A出发，沿A→B→A的方向以3 cm/s的速度运动；点Q从D出发，沿D→E的方向以1 cm/s的速度运动．点P，Q同时出发，当点P到达A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）直接写出线段BP的长；（用含t的式子表示）
（2）求DE的长；
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：BP=(6-3t)cm或(3t-6)cm
（2）解：在△ACB和△ECD中，
AC=EC，∠ACB=∠ECD，BC=DC，
∴△ACB≌△ECD．
∴AB=ED．
∵AB =6 cm，
∴DE =6 cm
（3）解：t的值为1.5s或3s
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
当0≤t≤2时，BP=(6-3t)cm
当2故答案为：BP=(6-3t)cm或(3t-6)cm
（3）由（1）得：
在△ACP和△ECQ中
∴△ACP≌△ECQ（ASA）
∴AP=EQ
当0≤t≤2时，3t=6-t，解得：t=1.5
当2故答案为：t的值为1.5s或3s
【分析】（1）当点P由A向B运动时，BP=(6-3t)cm，当点P由B向A运动时，BP=(3t-6)cm，即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
10．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
【答案】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m，
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【解析】【分析】设秋千支柱AD的高为xm，根据秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m得AB＝(x－0.5)m，根据右图得AE＝(x－1)m，在Rt△AEB中利用勾股定理列方程求出x的值即可．
11．已知关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围．
【答案】解：解方程组，
得：，
∵x＞0，y＞0，
∴，
解得：，
∴-1＜a＜2．
【解析】【分析】先利用加减消元法求出x、y的值，再根据“，”列出不等式组，再求出a的取值范围即可.
12．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B = 30°，∠DAE = 55°，求∠ACD的度数.
【答案】解：∵∠DAE=55°，AD平分∠CAE，
∴∠CAE=110°，
∵∠CAE是△ABC的外角，∠B=30°，
∴∠ACB=∠CAE-∠B，
∴∠ACB=110°-30°=80°，
∵∠ACD=180°-∠ACB，
∴∠ACD=180°-80°=100°．
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠CAE=110°，再利用三角形外角的性质求出∠ACB=110°-30°=80°，最后利用角的运算求出∠ACD的度数即可.
13．在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：2，求∠A，∠B和∠C的度数.
【答案】解： 的度数之比为4：3：2，
∴总份数为44+3+2=9(份)，
的度数为 的度数为 的度数为
答： 的度数为 的度数为的度数为
【解析】【分析】根据三角形的内角和求出各角度数即可.
14．解不等式组（并把解集表示在数轴上）
【答案】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
故该不等式组的解集为： ；
∴原不等式组的解集在数轴上表示为：
【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可.
15．在中，．
（1）如图①，若平分平分，则___________．
（2）如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________；
（3）如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）解：，
而平分平分，
，
，
，
即．
当时，．
【解析】【解答】解：（1），
，
∵平分平分，
，
，
，
，
，
当时，；
故答案为：；
（2），
∵平分平分，
，
，
∵，
，
∵，
，
即．
当时，，
故答案为：70；
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理以及外角性质得到，求解即可；
（3）先根据角平分线的定义得，再根据三角形外角的性质得到，最后根据角的关系求解即可；
（1）解：，
，
∵平分平分，
，
，
，
，
，
当时，；
故答案为：；
（2）解：，
∵平分平分，
，
，
∵，
，
∵，
，
即．
当时，，
故答案为：70；
（3）解：，
而平分平分，
，
，
，
即．
当时，．
16．如图，已知点A，D，B，F在一条直线上，，，且.
（1）求证：；
（2）直接写出线段AC和线段EF的关系：　 　.
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2），
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，，
∴
【分析】（1）先根据题意得到，进而根据平行线的性质得到，再结合题意运用三角形全等的判定即可求解；
（2）根据三角形全等的性质结合平行线的判定即可求解。
17．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．
【答案】解：（1）由题意得：是直角三角形，
∴由勾股定理，得．
∵米，，
∴．
∵，
∴米．
即A，B两点间的距离是40米．
（2）过点B作于点D
因为，
所以．
所以（米），
即点B到直线AC的距离是24米．
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC利用勾股定理，即可得到答案；（2）根据三角形面积公式解答即可．
18．图1是郝老师制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，，．求的度数．
【答案】解：在和中，
，
，
，
，
∴．
【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法证明 ，再求出∠B=∠C，最后计算求解即可。
19．如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．
（1）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）若AD是BC边上的中线，，求S△AEC．
【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝85°，
∵AE是边BC上的高，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝5°
（2）解：∵AD是BC边上的中线，，
∴S△ABD＝S△ACD＝6cm2，
∵，S△ACD＝S△ADE+S△AEC，
∴S△AEC＝4cm2
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和，可知，角平分线的性质，平分可知，的值，是边上的高，，可求出；
（2）根据直角三角形斜边中线性质可得，是边上的中线，根据图形可知，可知.
20．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为边AB 上的高，AF 为∠BAC的平分线，AF 交CD 于点E，交 BC于点F。
（1）如图1，①∠ACD ▲ ∠B（选填“>”“=”或“<”)；
②求证：CE=CF。
（2）如图1，过点E作EG∥AB交BC于点G，若AD=a，△EFG为等腰三角形，求AC的长。（用含a 的代数式表示)
（3）如图2，过BC上一点M，作MN⊥AB于点N，使得MN=ED，试探索BM与CF 之间的数量关系，并说明理由。
【答案】（1）解：①=②证明：∵AF为∠BAC的平分线，
∴∠CAF=∠BAF。
∵∠CFA=∠B+∠BAF，∠CEF=∠ACD+∠CAF，∠B=∠ACD，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF。
（2）解：∵△EFG是等腰三角形，
∴∠FEG=∠FGE。
∵EG∥AB，
∴∠FEG=∠BAF，∠FGE=∠B。
∵∠B=∠ACD，∠CAF=∠BAF，
∴∠ACD=∠CAF=∠BAF。
∵∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴3∠ACD=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AC=2AD=2a。
（3）解：BM=CF。理由如下：如图，过点 E 作 EH ⊥AC于点 H。
∵AF平分∠CAB，CD⊥AB，
∴EH=ED=MN。
∵EH⊥AC，MN⊥AB，
∴∠CHE=∠BNM=90°。
在△CHE和△BNM中
∴△CHE≌△BNM(AAS)，
∴BM=CE。
∵CE=CF，
∴CF=BM。
【解析】【解答】解：（1）①∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠B。
【分析】
（1）①利用同角的余角相等证明∠ACD=∠B；②利用三角形外角性质及角平分线定义证明
∠CEF=∠CFE，从而得出 CE=CF。
（2）利用平行线的性质和等腰三角形的性质，结合角平分线定义，推导出∠ACD=∠CAF—
∠BAF，进而求出∠ACD=30°，利用含30°角的直角三角形性质求解。
（3）过点E作EHAC，利用角平分线性质得EH=ED=MN，再证明△CHE△BNM，得出CE=BM，结合(1)中结论即可得证.
21．如图，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，探究图中线段PA，PB，PD之间的数量关系．
解法探究：小慧同学通过思考，得到如下解题思路：将△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，连接PP'．先证明△APP'是等腰直角三角形，再证明△PP'B是直角三角形，从而可得结论．请先写出小慧同学得出的结论，并在小慧的解题思路的提示下，写出所得结论的理由．
【答案】解：结论：2PA2+PD2＝PB2．
理由如下：如图，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，连接PP'，则P'B＝PD，P'A＝PA，∠PAP'＝90°，
∴△APP'是等腰直角三角形，
由勾股定理PP'2＝PA2+P'A2＝2PA2，∠PP'A＝45°．
∵∠APD＝135°，
∴∠AP'B＝∠APD＝135°，
∴∠PP'B＝135°﹣45°＝90°．
在Rt△PP'B中，由勾股定理得，PP'2+P'B2＝PB2，
∴2PA2+PD2＝PB2．
【解析】【分析】先求出 △APP'是等腰直角三角形， 再求出 ∠PP'B＝135°﹣45°＝90° ，最后利用勾股定理求解即可。
22．已知，如图①，在和中，，，
（1）求证：①；②；
（2）如图②，在和中，，，，则AC与BD的等量关系为　 　．的大小为　 　．（直接写出结果，不需要证明）
【答案】（1）解：∵，∴，
在和中，
∴，∴，，
根据三角形内角和可知，
∴．
（2）；
【解析】【解答】解：（2）AC=BD，理由为：
即
故，，
【分析】（1）① 根据已知角相等可得 ，结合已知条件可理由SAS证明； ② 利用三角形全等的性质以及三角形内角和定理、等量代换即可求证；
（2）AC=BD，先证明利用三角形全等的性质的性质即可得到，再利用三角形全等的性质以及等量代换关系可得到.
23．2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时．
（1）求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？
（2）某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？
【答案】（1）解：设一名熟练采摘工人每小时采摘千克小番茄，则一台小番茄采摘机器人每小时采摘千克小番茄，
根据题意列方程得，
解得，
检验：当时，，所以是原方程的解，符合题意．
答：一名熟练采摘工人每小时采摘20千克小番茄；
（2）解：设该果园需要台小番茄采摘机器人，则熟练采摘工人数量为名，
由（1）得，一台采摘机器人每小时采摘量为（千克），
根据题意列不等式得 ，
解得，
因为为正整数，所以的最小值为3．
答：该果园至少需要3台小番茄采摘机器人．
【解析】【分析】（1）先设熟练采摘工人每小时的采摘量为未知数，再根据“同样采摘600千克，机器人和工人完成工作的时间差”这一条件，列出分式方程，求解后即可得到结果；
（2）设小番茄采摘机器人的数量为未知数，结合安排的工人数量，根据所有采摘设备4小时的总采摘量不低于920千克列出一元一次不等式，结合机器人的数量必须是正整数，就可以求出机器人的最小数量．
（1）解：设一名熟练采摘工人每小时采摘千克小番茄，则一台小番茄采摘机器人每小时采摘千克小番茄，
根据题意列方程得，
解得，
检验：当时，，所以是原方程的解，符合题意．
答：一名熟练采摘工人每小时采摘20千克小番茄；
（2）解：设该果园需要台小番茄采摘机器人，则熟练采摘工人数量为名，
由（1）得，一台采摘机器人每小时采摘量为（千克），
根据题意列不等式得 ，
解得，
因为为正整数，所以的最小值为3．
答：该果园至少需要3台小番茄采摘机器人．
24．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求、的度数．
【答案】解：中，，
∴．
中，
∵是角平分线，
∴，．
∴．
【解析】【分析】利用直角三角形两锐角互余可求出∠DAC=20°，再利用三角形内角和定理求出∠ABC=50°，由角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求解.
25．如图，在中，，垂足为D，， ．
（1）求和的度数．
（2）若是的平分线，求的度数．
【答案】（1）解：，，
；
，
，
；
（2）解：是的平分线，
，
．
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质可得∠DAC=90°-∠ACB，即可求得；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可求得．
（1）解：，，
；
，
，
，
；
（2）解：是的平分线，
，
．
26．如图，BE是的角平分线，在AB上取一点，使.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）解：∵ BE是的角平分线， ∴，又∵，∴，故，∴.
（2）解：∵，∴，又∵在中，，∴，
又∵BE是的角平分线，∴.
【解析】【分析】（1）根据题意可得：，再根据等腰三角形的性质可得：，进而即可得到：，再根据定理内错角相等，两直线平行即可证明结论；
（2）根据（1）的结论结合平行线的性质及三角形的内角和定理即可求得：，进而即可求得答案.
27．如图，是等边三角形，点在直线的下方，且，连接交于点.
（1）求证：垂直平分；
（2）过点D作，若，，求的长.
【答案】（1）证明：是等边三角形，
.
点在线段的垂直平分线上.
，
点在线段的垂直平分线上.
垂直平分.
（2）解：是等边三角形，垂直平分，
，
，
，
.
，
.
【解析】【分析】（1）根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得点A在线段BC的垂直平分线上，点D在线段BC的垂直平分线上，进而根据经过两点有且只有一条直线即可证明；
（2）根据等边三角形三线合一及平行线的性质得出∠ADF=∠CAD=30°，由等角对等边得，再由线段的和差关系即可解答.
28．实数与数轴上的点一 一对应，无理数也可以在数轴上表示出来.请在如图所示的数轴上用尺规作出表示的点A，并说明理由。（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示，点A即为所作.
理由：可以看作点1向左移动个单位长度，由可知，从表示1的点出发构造直角边分别为2和3的直角三角形，斜边即为。
【解析】【分析】在数轴上取的直角三角形，点C所表示的数是1，以C为圆心，为半径画圆，交数轴于A点（A点在C点左侧），即可得到答案．
29．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角平分线，若∠BFC=114°，求∠BCF的度数．
【答案】解：∵CD是AB边上高，∠BFC=114°，
∴∠BDF=90°，
∴∠ABE=∠BFC-∠BDF=114°-90°=24°，
∵BE为角平分线，
∴∠CBF=∠ABE=24°，
∴∠BCF=180°-∠BFC-∠CBF=180°-114°-24°=42°．
【解析】【分析】根据三角形的外角的性质求出 根据角平分线的定义求出根据三角形内角和定理计算即可.
30． 在中，是边上任意一点，过点分别向引垂线，垂足分别为.
（1）如图①，当点在的什么位置时，？并证明你的结论；
（2）如图②，过点作边上的高，则的长之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
【答案】（1）解：当D为BC的中点时，DE=DF，证明如下：
连接，
为的中点，
平分.
；
（2）解：.
证明：连接，
，
【解析】【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质可知当D为BC中点时，AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质可得到DE=DF；
(2)连接AD，根据三角形ABC的面积等于△ABD和△ACD面积的和，结合三角形的面积公式可推导出CG=DE+DF.
31．在购物节来临之际，某商场计划采购甲、乙两种厨房小家电，已知购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元．
（1）求这两种家电每件的进价分别是多少元．
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？
【答案】（1）解：设甲种家电每件的进价是x元，乙种家电每件的进价是y元，
由题意得，
解得，
答：甲种家电每件的进价是500元，乙种家电每件的进价是600元；
（2）解：设该商场购进甲种家电m件，则购进乙种家电件，
由题意得，，
解得，
答：该商场至少购进甲种家电60件．
【解析】【分析】（1）购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，和购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元，列出方程组即可；
（2）设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，根据总金额不超过54000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）解：设甲种家电每件的进价是x元，乙种家电每件的进价是y元，
由题意得，
解得，
答：甲种家电每件的进价是500元，乙种家电每件的进价是600元；
（2）解：设该商场购进甲种家电m件，则购进乙种家电件，
由题意得，，
解得，
答：该商场至少购进甲种家电60件．
32．根据下列条件，判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。
（1） a=20，b=21，c=29；
（2） a=5，b=7，c=8；
（3）
【答案】（1）解：
∴a，b，c为边的三角形是直角三角形.
（2）解：
∴a，b，c为边的三角形不是直角三角形.
（3）解：
∴a，b，c为边的三角形是直角三角形.
【解析】【分析】（1）（2）（3）根据勾股定理的逆定理，判断两个较小边的平方和与较大边的平方解答即可.
33．如图，在中，点是边上的一点，连接．
（1）若，，求的度数；
（2）若平分，，，试说明：．
【答案】（1）解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据，，可得，再求出即可；
（2）利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出，可得.
34．如图，在△ABC中，∠ACB=3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若∠BAC=60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求∠DCE的度数．
【答案】（1）解：∵∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB+∠B＝120°，
∵∠ACB＝3∠B，
∴∠B＝30°，∠ACB＝90°
（2）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝90°-∠CAD＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB-∠ACE＝30°．
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求得 ∠ACB+∠B＝120° ，再由 ∠ACB＝3∠B 求解；
（2）根据角平分线定义求得∠CAD，由三角形内角和定理求得∠ACE，进而由角的和差计算．
35．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：
则不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示：
【解析】【分析】利用不等式的性质先求出 不等式组的解集为， 再作答即可。
36．在中，，，求该三角形和的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠B和∠C的度数即可.
37．如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，F为的中点，求和的长．
【答案】（1）证明：在中，，
，
，
∴∠FEB=∠DEC=90°
，，
，
又，
，
是等腰三角形
（2）解：过点A作于点H，
F为的中点，
，
是等腰三角形，
∴AF=AD
，
，
，
；
∴在和中
，
∴，
∴，
∵AD=AF，AH⊥DF
∴．
【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相关定理进行推论是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质：等边对对角可知：，再利用和垂直的定义可知：∠FEB=∠DEC=90°，再由直角三角形两锐角互余可知：∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°，结合∠B=∠C和等角的补角相等可知：∠BFE=∠D，由对顶角相等可知：∠BFE=∠AFD，等量代换可知：∠D=∠AFD，最后由等腰三角形的判定：等角对等边可知：AD=AF，即△ADF为等腰三角形，即可得出结论；
（2）由中点的定义和等腰三角形的性质可知：，再根据勾股定理可知：在Rt△BEF中，；作于点H，由三角形全等的判定方法AAS可证得，再由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知：，由等腰三角形性质推论：三线合一定理可得：，即可得出答案．
（1）证明：在中，，
，
，
，，
，
又，
，
是等腰三角形；
（2）解：F为的中点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
；
如图所示，作于点H，
在和中
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
38．求不等式组：的所有整数解.
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
∴不等式组的所有整数解为：0，1，2，3
【解析】【分析】先解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小打中间找，大大小小找不到”得到它们的公共部分，然后找出所有整数解解答即可．
39．如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，，，．试说明：点C是的中点．
【答案】证明：，
，
在和中，
，
．
∴，即点C是的中点．
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠A = ∠ECB，再根据全等三角形的判定定理ASA证明△ACD≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得AC=CB，从而即可得出结论.
40． 如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若AD＝2，AB＝8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？
【答案】（1）解：证明：∵AD∥BC，
∴∠F＝∠DAE．
又∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ECF＝∠ADE，
∵E为CD中点，
∴CE＝DE，
在△FEC与△AED中，
∵，
∴△FEC≌△AED（ASA），
∴CF＝AD；
（2）解：当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上，
其理由是：
∵BC＝6，AD＝2，AB＝8，
∴AB＝BC+AD，
又∵CF＝AD，BC+CF＝BF，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等腰三角形，
∴点B在AF的垂直平分线上．
【解析】【分析】（1）先证出 ∠ECF＝∠ADE， CE=DE，再利用“ASA”证出△FEC≌△AED，可得CF=AD；
（2）当BC＝6时，求出AB=BF，可证出△ABF是等腰三角形，即可得到点B在AF的垂直平分线上．
41．如图，在中，，．求中边上的高是多少？
【答案】解：过点A作于点D，
∵，
∴，，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
故高．
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设AD=DC=x，利用勾股定理求出BD，根据BC=BD+DC进行计算即可。
42．如图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，设杯子底部到杯沿底边高为，杯沿高为．
（1）用代数式表示个叠放在一起的纸杯的总高度用含h的代数式表示．
（2）某型号的纸杯个叠在一起的总高度为．
求h的值．
该型号纸杯有个装、个装、个装共三种包装，均把纸杯叠放成一叠进行包装，图是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是，若要把该型号纸杯按原包装竖直杯口向上放入储藏柜，该储藏柜能放得下这三种包装中哪些包装的纸杯？说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，当多个杯子叠放时，上面的杯子底部到杯沿底部的部分完全重合，
则个叠放在一起的总高度为．
答：个叠放在一起的纸杯总高度为．
（2）解：由知，
解得，，
答：的值为．
“个装”的总高度为，
，
“个装”的总高度“个装”的总高度，
则“个装”和“个装”的纸杯都可以竖直放入储藏柜．
“个装“的总高度为，
则“个装”的纸杯不可以竖直放入储藏柜．
答：该储藏柜能放得下个装和个装包装规格的纸杯．
【解析】【分析】(1)根据杯子叠放状态” n个杯子总高度=杯身 杯沿“列式化简即可.
(2)①结合 (1)列一元一次方程求解.②根据40个装<50个装<60个装的总高度，先求出50个装的总高度，若50个装的纸杯可以放进储藏柜，则40个装的纸杯也可以放进储藏柜，再求出60个装纸杯的总高度进行判断.
43．如图，在中，，把沿直线DE折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积．（用含m，n的代数式表示）
【答案】解：由折叠可知，
∵的周长，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∵，∴．
【解析】【分析】利用三角形的周长公式可得BC+AC=m，再求出，结合AB=n，求出，再利用三角形的面积公式求出即可.
44．如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接．
（1）若，的周长为19，则的长为______；
（2）若，求的度数；
（3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】（1）11
（2）解：∵，∴，
又∵，
∴．
（3）解：点P在边的垂直平分线上，理由如下：连接、，
∵直线l垂直平分边，点P在直线l上，
∴，
∵点P在边的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴点P在边的垂直平分线上．
【解析】【解答】（1）解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，
∴，
∴，
∵的周长为19，
∴，
∵，
∴，
即；
故答案为：11；
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质与判定，以及等腰三角形的性质。
（1）根据直线l垂直平分BC，由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得DB=DC，因此AC=AD+DC=AD+DB；结合△ABD的周长等于AB+AD+DB，代入AB的长度即可求出AC的长；
（2）由DB=DC可知△DBC是等腰三角形，结合∠ADB=90°可得∠BDC=90°，即△DBC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的底角相等，即可求出∠ACB的度数；
（3）要判断点P是否在AB的垂直平分线上，只需证明PA=PB即可。连接PA、PB、PC，根据点P在BC的垂直平分线上，可得PB=PC；又点P在AC的垂直平分线上，可得PA=PC；通过等量代换得到PA=PB，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可得出结论。
（1）解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，
∴，
∴，
∵的周长为19，
∴，
∵，
∴，
即；
故答案为：11；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：点P在边的垂直平分线上，理由如下：
连接、，
∵直线l垂直平分边，点P在直线l上，
∴，
∵点P在边的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴点P在边的垂直平分线上．
45．用一条长为的细绳围成的一个等腰三角形
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？
【答案】（1）解：设三角形底边为xcm，则腰长为3xcm；
由题意可得 x+3x+3x=28
解得 x=4；
∴3x=12；
∴等腰三角形的底边为3cm，腰长为12cm.
（2）解：当底边的长度为7cm时，腰长为：（cm），满足三角形三边关系；
当腰长为7cm时，底边为：（cm），不满足三角形三边关系，舍去；
所以能围成三边分别为7cm、10.5cm、10.5cm的等腰三角形.
【解析】【分析】（1）根据腰长是底边长的3倍以及周长为28，列方程求解即可；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形的三边关系求解即可；当底边的长度为7cm时，求得腰长为：10.5cm，满足三角形三边关系；当腰长为7cm时，底边为14cm，不满足三角形三边关系，舍去.
46．△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，记∠BAC＝x，∠BOC＝y．
（1）如图1．
①若x＝50°，则y＝ ▲ ；
②请你根据①中计算的心得猜想写出y与x的关系式，并证明你猜想的正确性；
（2）如图2，启智学校内有一个三角形的小花园，花园中有两条小路BD和CE为△ABC的角平分线，交点为点O，在O处建有一个自动浇水器，需要在BC边上取一处接水口F，经过测量得知∠BAC＝120°，OD OE＝12000m2，BC﹣BE﹣CD＝160m，请你求出水管OF至少要多长？
【答案】（1）解：①115°；
②，
理由如下：∵∠BAC=x，
∴∠ABC+∠ACB=180°-x，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴.
（2）解：如图2，在BC上分别取点G和H，使BG=BE，CH=CD，连接OG、OH，
∵BD和CE为△ABC的角平分线，
∴∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，
在△EBO和△GBO中，
，
∴△EBO≌△GBO（SAS），
∴OE=OG，∠EOB=∠GOB，
同理可证：△DCO≌△HCO（SAS），
∴OD=OH，∠DOC=∠HOC，
∵∠BAC=120°，
∴，
则∠BOE=180°-∠BOC=180°-150°=30°，
∴∠DOC=∠BOE=30°，
∴∠BOE=∠BOG=∠DOC=∠HOC=30°，
∴∠GOH=∠BOC-∠BOG-∠HOC=150°-30°-30°=90°，
∵OD·OE=12000m2，
∴，
∵BC-BE-CD=160m，
即GH=BC-BG-CH=160m，
即GH=160m；
当OF⊥BC时，OF最小，
则，
∴OF=75，
故出水管OF至少要75m.
【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=180°-50°=130°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-65°=115°，
∴y=115°，
故答案为：115°.
【分析】 （1）①根据三角形的内角和是180°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠DBC+∠ECB=65°，结合三角形的内角和是180°，即可得到答案；
②根据三角形的内角和是180°可得∠ABC+∠ACB=180°-x，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得，结合三角形的内角和是180°，即可得到答案；
（2）在BC上分别取点G和H，使BG=BE，CH=CD，连接OG、OH，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形、全等三角形的对应边相等、对应角相等可得OE=OG，∠EOB=∠GOB，OD=OH，∠DOC=∠HOC，结合（1）中结论可得∠BOC=150°，推得∠BOE=∠BOG=∠DOC=∠HOC=30°，即可求得∠GOH=90°，结合题意和三角形的面积公式即可求解.
47．如图1，已知，连接AD和BC交于点.
（1）求证：；
（2）如图2，点F，G分别在线段BE，ED上，且，且.
①若，求的度数；
②当　 　时，为定值，此时定值为　 　.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠AEC是△ABE的一个外角，
∴∠AEC=∠DAB+∠ABC=∠BAD+∠BCD；
（2）2；175°
【解析】【解答】解：（2）①设∠BAF=x°，∠ECG=y°，
∵∠EAF=2∠BAF，∠DCG=2∠ECG，
∴∠EAF=2x°，∠DCG=2y°，
∴∠BAD=3x°，∠BCD=3y°，
由（1）知∠AEC=∠BAD+∠BCD，
又∠AEC=75°，
∴3x°+3y°=75°，
∴x+y=25①，
∵∠AEC是△AFE的一个外角，
∴∠AEC=∠AFE+∠EAF=∠AFE+2x°，
∵∠AEC是△EGC的一个外角，
∴∠AEC=∠ECG+∠EGC=y°+∠EGC，
∴∠AFE+2x°=y°+∠EGC，
∴2x°-y°=∠EGC-∠AFE，
又∠EGC-∠AFE=5°，
∴2x-y=5②，
联立①②求解可得x=10，y=15，
∴∠BCD=3y°=45°；
②由①可得x+y=25，
∴y=25-x，
∵∠AEC=∠AFE+2x°，∠AEC=∠EGC+y°，
∴∠AFE=∠AEC-2x°=75°-2x°，∠EGC=∠AEC-y°=75°-y°=75°-（25-x）°=50+x°，
∴∠AFE+k∠EGC=75°-2x°+k(50+x°)=（k-2）x°+75°+50°k，
∵（∠AFE+k∠EGC）是定值，
∴k-2=0，
∴k=2，
∴∠AFE+k∠EGC=75°+50°×2=175°，
当k=2时，（∠AFE+k∠EGC）是定值，此时这个定值为175°.
故答案为：2，175°.
【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠ABC=∠BCD，进而根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠AEC=∠DAB+∠ABC，最后等量代换即可得出答案；
（2）①设∠BAF=x°，∠ECG=y°，则∠EAF=2x°，∠DCG=2y°，∠BAD=3x°，∠BCD=3y°，由（1）的结论可得x+y=25①，然后利用三角形外角性质及已知可得2x-y=5②，联立①②求解可得x、y的值，从而此题得解；
②由①可得y=25-x，∠AFE=75°-2x°，∠EGC=50+x°，则∠AFE+k∠EGC=75°-2x°+k(50+x°)=（k-2）x°+75°+50°k，根据（∠AFE+k∠EGC）是定值，可得k-2=0，从而求解即可解决此题.
48．已知关于 的不等式组 的所有整数解的和为 ，求 的取值范围
【答案】解： ，
∵解不等式①得：x＞ ，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为 ＜x≤4，
∵关于x的不等式组 的所有整数解的和为7，
∴当 ＞0时，这两个整数解一定是3和4，
∴2≤ ＜3，
∴7≤a＜9，
当 ＜0时，-3≤ ＜ 2，
∴-3≤a＜-1，
∴a的取值范围是7≤a＜9或-3≤a＜-1．
故答案为：7≤a＜9或-3≤a＜-1．
【解析】【分析】先将a当作常数利用不等式组的加解法求出不等式组的解集，再根据“所有整数解的和为”求出a的取值范围。
49．若不等式组 的解集是关于x的一元一次不等式 ax>-1的解集的一部分，求a的取值范围.
【答案】解：
解不等式①，得x>-1，
解不等式②，得-2≤x≤3，
∴原不等式组的解集为-1∵ax>-1，
∴当a>0时， 当a<0时，
∵不等式组 的解集是关于x的一元一次不等式 ax>-1的解集的一部分，∴当a>0时， 解得0【解析】【分析】根据解不等式组的方法可以求得题目中的不等式组的解集，再根据不等式组的解集是关于x的一元一次不等式ax>-1解集的一部分，从而可以求得a的取值范围.
50．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE平分∠AOD．
（1）若∠COE=20°，则∠BOD=　 　；若∠COE=α，则∠BOD=　 　（用含α的代数式表示）
（2）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）40°；2α
（2）解：如图2，∠BOD=2∠COE，理由是：
设∠BOD=β，则∠AOD=180°﹣β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD= ∠AOD= =90°﹣ ，
∵∠COD=90°，
∴∠COE=90°﹣（90°﹣ ）= ，
即∠BOD=2∠COE．
【解析】【解答】（1）若∠COE=20°，
∵∠COD=90°，
∴∠EOD=90°﹣20°=70°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD=140°，
∴∠BOD=180°﹣140°=40°；
若∠COE=α，
∴∠EOD=90﹣α，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD=2（90﹣α）=180﹣2α，
∴∠BOD=180°﹣（180﹣2α）=2α；
故答案为：40°；2α；
【分析】（1）△COD为直角三角形，∠COD=90°，由题意求∠EOD得度数，又因OE为∠AOD角平分线，以此求出∠AOD、∠BOD；若∠COE=α，同理可得∠BOD的的度数。（2）设∠BOD=β，通过角平分线以及直角关系，可证∠BOD=2∠COE。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑