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相似三角形 单元巩固提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，下列式子错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．不为0的四个实数a、b，c、d满足ab=cd，改写成比例式错误的是（　　）
A．= B．= C．= D．=
3．如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（　　）
A．AO：AA'＝1：2
B．点A，O，A'三点在同一条直线上
C．S△ABC：S△A′B′C′＝1：4
D．BC∥B'C'
4．和是两个等边三角形，，则与的面积比是(　　)
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．
5．与图中的三角形相似的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在 中，点 在 边上，连接 点 在 边上，过点 作 交 于点 ，过点 作 ，交 于点 则下列式子一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． ＝
C． ＝ D． ＝
8．如图，是以点О为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．4：9
9． 如图，在 中，点 在 边上， ， 与边 交于点 ， 连接 ， 记 的面积分别为 ，（　　）
A．若 ， 则 B．若 ， 则
C．若 ， 则 D．若 ， 则
10．如图，四边形 是边长为1的正方形， 是等边三角形，连接 并延长交 的延长线于点H，连接 交 于点Q，下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中符合题意的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点G是等腰直角三角形的重心，，那么AG的长为　 　．
12．如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为　 　 Pa．
13．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△BEF的面积是3，则△ABC的面积是　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，且，将沿轴向右平移得到，与交于点．若：：，则点的坐标为 　 　．
15．如图，四边形ABCD中，，如果，则的长是　 　．
16．如图，在正方形中，延长至点E，以边向下画正方形，连接交于点H，，连接，若的面积为30，则的长为 　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连接AG交DE 于点F，
（1）求 的值；
（2）当DE=6时，求 BC 的长度.
18．一道习题及其不完整的解答过程如下：
已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步
（1）第一步的①处应填________，第二步的②处应填________；
（2）模仿上述解答过程，已知，求的值．
19．已知a，b，c是△ABC的三边长，且。
（1）求的值；
（2）若△ABC的周长为91，求各边的长。
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=1，DB=4，求AC的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．
（1）以原点为位似中心，在轴的左侧，画一个，使它与位似，相似比是2；
（2）请直接写出点的坐标：（　 　）（　 　）．
22．如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
23．如图，一张矩形张贴广告的印刷面积是32平方分米，上下空白各1分米，两边空白各0.5分米．设印刷部分从上到下的长(A'B')为x分米，四周空白处的面积为S平方分米．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）当要求四周空白处的面积为18平方分米时，用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？
（3）在第(2)题的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？
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相似三角形 单元巩固提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，下列式子错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A.2x=3y，则，所以A选项不符合题意；
B.2x=3y，则，所以B选项不符合题意；
C.2x=3y，则y：x=2：3，所以C选项符合题意；
D.2x=3y，则，所以，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质对每个选项一一判断即可。
2．不为0的四个实数a、b，c、d满足ab=cd，改写成比例式错误的是（　　）
A．= B．= C．= D．=
【答案】D
【解析】【解答】解：A、= ab=cd，故A正确；
B、= ab=cd，故B正确；
C、= ab=cd，故C正确；
D、= ad=bc，故D错误；
故选：D．
【分析】根据比的性质，可得答案．　
3．如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（　　）
A．AO：AA'＝1：2
B．点A，O，A'三点在同一条直线上
C．S△ABC：S△A′B′C′＝1：4
D．BC∥B'C'
【答案】A
【解析】【解答】解：A：把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，所以AO：A'O＝1：2 ，所以AO：AA'＝1：3 ，所以A说法错误；
B： 点A，O，A'三点在同一条直线上 ，所以B说法正确；
C：因为与的相似比为1：2，所以S△ABC：S△A′B′C′＝1：4 ，所以C说法正确；
D：由位似图形的性质可得 BC∥B'C' 所以D说法真确。
故答案为：A。
【分析】根据位似三角形的性质进行推导，即可得出答案。
4．和是两个等边三角形，，则与的面积比是(　　)
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质将目标三角形面积比转换为对应边之比的平方即可.
5．与图中的三角形相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为 ，2 ，．
A、三角形三边2， ，3 ，与给出的三角形的各边不成比例，故选项A错误；
B、三角形三边2，4，2 ，与给出的三角形的各边成正比例，故选项B正确；
C、三角形三边2，3， ，与给出的三角形的各边不成比例，故选项C错误；
D、三角形三边 ，4， ，与给出的三角形的各边不成比例，故选项D错误．
故选B．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．
6．如图，在 中，点 在 边上，连接 点 在 边上，过点 作 交 于点 ，过点 作 ，交 于点 则下列式子一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A．∵ ，∴根据平行线分线段成比例的性质得 ，∵ ，∴A选项不符合题意；
B．∵ ，∴根据平行线分线段成比例的性质得 ，同理 ，∴根据平行线分线段成比例的性质得 ，∵ ，∴B选项不符合题意；
C．∵ ，∴根据平行线分线段成比例的性质得 ，同理 ，∴根据平行线分线段成比例的性质得 ，∵ ，∴C选项不符合题意；
D．∵ ，∴根据平行线分线段成比例的性质得 ，同理 ，∴根据平行线分线段成比例的性质得 ，∴ ，∴D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质对每个选项一一判断即可。
7．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． ＝
C． ＝ D． ＝
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ = ，
∴A符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：。
8．如图，是以点О为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．4：9
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴∥，，
∴，
∴△A'B'C'的周长与△ABC的周长比为1：3，
故答案为：B.
【分析】根据题意求出OA'∶OA=1∶3，根据位似图形的性质得出△A'B'C'∽△ABC，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的性质求周长比即可.
9． 如图，在 中，点 在 边上， ， 与边 交于点 ， 连接 ， 记 的面积分别为 ，（　　）
A．若 ， 则 B．若 ， 则
C．若 ， 则 D．若 ， 则
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：过D作DF⊥BC，垂足为F，
设DE与BC之间的距离DF=x，则
S BDE=12·x·DE，S2=12·x·BC
∵DE＜BC
∴12·x·DE＜12·x·BC
即S BDE＜S2，
∴S2+S△BDE＜2S2
在△ABC中，DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
(1)若2AD＞AB时，ADAB＞12，
即S1S1+S2+S△BDC＞14
∴4S1＞S1+S2+S△BDE
∴3S1＞S2+S△BDE
又∵3S1＞S2+S△BDE， S2+S△BDE＜2S2
∴3S1与2S2无法比较大小.
∴选项A、B无法确定.
(2)若2AD＜AB时，ADAB＜12，
即：S1S1+S2+S△BDC＜14
∴4S1＜S1+S2+S△BDE
∴3S1＜S2+S△BDE
又∵3S1＜S2+S△BDE， S2+S△BDE＜2S2，
∴3S1＜2S2
∴选项C是错误的，选项D是正确的.
综合上述：答案为D.
【分析】先用同高不同底的两个三角形的面积比较，可得到S2+S△BDE＜2S2；再运用相似三角形判定定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似，得到△ADE∽△ABC；再运用相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得； 再运用不等式性质，可得3S1与2S2无法比较大小.或3S1＜2S2.；选项A、B无法确定，选项C是错误的，选项D是正确的.
10．如图，四边形 是边长为1的正方形， 是等边三角形，连接 并延长交 的延长线于点H，连接 交 于点Q，下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中符合题意的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 是等边三角形，四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
则 ，故①符合题意；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故②符合题意；
如图，过点Q作 于E，
设 ，则 ， ，
∴ ，
由 知 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，故③不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质，可得∠BPC=60°，∠PCD=30°，PC=DC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，可求出∠CPD=∠CDP的度数，从而求出∠BPD的度数，据此判断①；
根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△BDP∽△HDB，据此判断②；如图，过点Q作QE⊥CD于E，设 ，则 ， ，由CE+DE=CD，求出x的值，分别求出DQ、BQ的长，然后求出比值，据此判断③；根据等角对等边可求出DP=DQ=，根据S△BDP=BD·PDsin∠BDP求解，据此判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点G是等腰直角三角形的重心，，那么AG的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接并延长交于点D，
∴是等腰直角三角形斜边的中线
∴
∵点是等腰直角三角形的重心，
∴，且
在中，根据勾股定理得：
【分析】连接并延长交于点D，根据三角形重心的性质可得，且，再利用勾股定理求出AG的长即可。
12．如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为　 　 Pa．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一块砖的三个面的面积比是5：3：1，
∴设三个面的面积为，
∵面向下放在地上，地面所受压强为，
∴，
∴，
∴面向下放在地上，地面所受压强为，
故答案为：.
【分析】设三个面的面积为，由压强公式（其中为压强，为压力，为受力面积），求出的值，即可求解.
13．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△BEF的面积是3，则△ABC的面积是　 　．
【答案】18
【解析】【解答】解：∵△ABC的中线BD、CE相交于点F，则点F为△ABC的重心，
由重心的性质可得：，
∵△BEF与△BCF等高，S△BEF=3，
∴S△BFC=6，
则S△BEC=S△BEF+S△BFC=3+6=9，
又E为AB中点，
∴S△ABC=2S△BEC=2×9=18.
故答案为：18.
【分析】由题意可得点F为△ABC的重心，根据重心的性质可得，结合三角形的面积公式可得
S△BFC=6，则S△BEC=S△BEF+S△BFC=9，易得S△ABC=2S△BEC，据此计算.
14．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，且，将沿轴向右平移得到，与交于点．若：：，则点的坐标为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作轴于点，
，
，
，
，
，
由平移得，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】作轴于点，根据点的位置可得，则B(8，0)，根据平移性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．如图，四边形ABCD中，，如果，则的长是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，将数据代入求出，最后利用线段的和差求出CF的长即可。
16．如图，在正方形中，延长至点E，以边向下画正方形，连接交于点H，，连接，若的面积为30，则的长为 　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：设正方形、正方形的边长分别为a、b，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为30，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设正方形和正方形的边长分别为a、b，根据题意可得，再根据边之间的关系可得，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据三角形面积可得，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连接AG交DE 于点F，
（1）求 的值；
（2）当DE=6时，求 BC 的长度.
【答案】（1）∵DE∥BC，＝，
∴＝＝
（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝.
∵DE＝6，
∴BC＝15
【解析】【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理，由DE||BC可直接得到，结合已知线段比值求出 的值；
(2) 由DE||BC证出△ADE ∽ △ABC，利用相似三角形对应边之比等于建立等式，代入DE的长度计算得到BC的长。
18．一道习题及其不完整的解答过程如下：
已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步
（1）第一步的①处应填________，第二步的②处应填________；
（2）模仿上述解答过程，已知，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：设，
，
．

【解析】【解答】
（1）解：第一步的①处应填，第二步的②处应填；
故答案为：，；
【分析】
（1）直接利用比例的基本性质就可以求出结果，得到对应答案；
（2）可以先设，这样就可以得到，之后再把这个关系代入式子进行计算，就可以得到最终答案.
（1）解：第一步的①处应填，第二步的②处应填；
故答案为：，；
（2）解：设，
，
．
19．已知a，b，c是△ABC的三边长，且。
（1）求的值；
（2）若△ABC的周长为91，求各边的长。
【答案】（1）解：设， 则a=5k-1，b=4k+2，c=6k，
∴.
（2）解：5k-1+4k+2+6k=91，
15k=90，k=6，
∴a=29，b=26，c=36.
【解析】【分析】（1）设， 则a=5k-1，b=4k+2，c=6k，然后代入分式计算即可；
（2）根据△ABC的周长列关于k的方程求出k的值解答即可.
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=1，DB=4，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB．
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴，即AC2=AD·AB．
∵AD=1，DB=4，
∴AB=AD+DB=5．
∴AC2=1×5=5，
∴．
【解析】【分析】（1）根据垂直得到∠ADC=∠ACB，然后根据两角对应相等即可得到两三角形相似解答即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．
（1）以原点为位似中心，在轴的左侧，画一个，使它与位似，相似比是2；
（2）请直接写出点的坐标：（　 　）（　 　）．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）；
【解析】【解答】解：（2）根据图得，．
【分析】（1）根据位似图形的画法，即可得出；（2）根据平面直角坐标系，即可得出．
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：根据图得，．
22．如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，BD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
在△DAP与△DCP中，
，
∴△DAP＝△DCP（SAS），
∴∠DCP＝∠DAP；
（2）解：由（1）得：△DAP≌△DCP，
∴∠DCP＝∠DAP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，
又∵∠FPA＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴，
∴PA2＝PE PF，
∵△ADP≌△CDP，
∴PA＝PC，
∴PC2＝PE PF，
∵PE＝4，EF＝7，
∴PF=PE+EF=4+7＝11，
∴PC2=PE PF=4×11=44，
∴．
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质和角平分线的概念，可证得AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，利用SAS可证得△DAP≌△DCP，然后利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可知△APE∽△FPA，利用相似三角形的对应边成比例可推出∴PA2＝PE PF；由（1）可知△DAP≌△DCP可证得PA＝PC，由此可得到PC2＝PE PF，代入计算可求出CP的长.
23．如图，一张矩形张贴广告的印刷面积是32平方分米，上下空白各1分米，两边空白各0.5分米．设印刷部分从上到下的长(A'B')为x分米，四周空白处的面积为S平方分米．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）当要求四周空白处的面积为18平方分米时，用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？
（3）在第(2)题的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？
【答案】（1）解：因为印刷部分的面积是32平方分米， 印刷部分从上到下的长A'B'是x分米，
则印刷部分从左到右的宽B'C'是分米，
故，
整理得：.
（2）解：当S=18，即，
整理得：x2-16x+64=0，
解得：x1=x2=8．
经检验x=8是原方程的解，
故印刷部分从左到右的宽是分米；
所以用来印刷这张广告的纸张的长为8+2=10分米，宽为4+1=5分米．
（3）解：内外两个矩形是位似图形．理由如下：
∵，，
∴，
所以内外两个矩形是相似图形，
又∵两矩形的中心重合，
∴内外两个矩形是位似图形．
【解析】【分析】（1）根据题意表示出B'C'的值，根据矩形的总面积=印刷面积+空白部分面积即可列出关系式，即可求解；
（2）让（1）的式子等于18即可求得印刷部分的长，进而就能求出这张广告的纸张的长和宽；
（3）先结合题意求得，结合对应角为直角，可得内外两个矩形是相似图形，根据两矩形的中心重合，可判断内外两个矩形是位似图形．
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