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浙教版2026—2027学年九年级上册期中模拟临考冲刺卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若点是线段的黄金分割点，且，则等于（　　）
A． B． C． D．或
2．抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的函数关系式为（　　）
A． B．
C． D．
3． 如图，在一个残缺的圆形工件上量得弦，的中点到弦的距离，则这个圆形工件的半径是（　　）
A． B． C． D．
4． 如图，二次函数的图象过点，对称轴是直线．下列判断正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．若点是图象上的任意一点，则
5．如图，的平径为，与为的两条平行弦.若，，则弦的长为（　　）
A． B． C． D．
6．已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（　　）
A． B． C． D．
7．若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（　　）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定
8．如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是3，则四边形的面积是（　　）
A．9 B．12 C．27 D．48
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接，若平分，则（　　）
A． B． C． D．
10．对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．把1m的线段进行黄金分割，则分成较短的线段长为 　 　．
12．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如表：
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
则一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝-8的解为 　 　．
13．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点，，，格点，的连线交于点，则的长为　 　．
14．为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾” 蓝色垃圾桶 、“有害垃圾” 红色垃圾桶 、“可回收物” 绿色垃圾桶 和“其他垃圾” 黑色垃圾桶 这四类标准将垃圾分类处理.爷爷把两袋垃圾随意丢入两个垃圾桶，恰巧被爷爷扔对的概率是　 　.
15．如图，A、B、C均为正十二边形的顶点，则∠ACB＝　 　°
16．如图，等腰内接于，点为劣弧上一点，，若，则四边形的面积为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．现有三张正面分别写有2，3，5的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，求抽取写有5的卡片的概率；
（2）从中先抽取一张卡片，记下数字后放回，搅拌均匀后再抽取一张，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法加以说明．
18．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D．
（1）若，求的度数；
（2）若D是的中点，，求阴影部分的面积；
19．如图，四边形内接于．
（1）求点O到的距离；
（2）直接写出弦所对的圆周角的度数．
20．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)(30≤x<60)存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x(元/千克) 50 40
日销售量y(千克) 100 200
（1）试求出y关于x的函数表达式；
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大，并求出最大的日销售利润是多少元.
21．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），，
（1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；
（2）现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
22．如图，等腰直角中，将边绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，过点C作交于E，连接．
（1）依题意补全图1；
（2）求的度数；
（3）作点A关于直线的对称点M，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
23．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求点，，的坐标；
（2）根据图象直接回答：当取何值时，；
（3）连接、，若点在抛物线上，且，求点的坐标．
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浙教版2026—2027学年九年级上册期中模拟临考冲刺卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若点是线段的黄金分割点，且，则等于（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】【解答】∵点是线段的黄金分割点，AC>BC，
∴，
∵AB=1，
∴AC=×1=，
故答案为：C.
【分析】利用黄金分割点的定义可得，再结合AB的长求出AC的长即可.
2．抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的函数关系式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的函数关系式为，
整理得，
故答案为：A.
【分析】上加下减，左加右减，根据这一平移规律写出关系式即可。
3． 如图，在一个残缺的圆形工件上量得弦，的中点到弦的距离，则这个圆形工件的半径是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：DE=2，BC=8，OD⊥BC，
设圆形的半径为r，则OE=r-2，
在Rt△COE中，CE2+EO2=CO2，
∴42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
故答案为：B.
【分析】设圆形的半径为r，则OE=r-2，利用勾股定理可得42+（r-2）2=r2，再求出r的值即可.
4． 如图，二次函数的图象过点，对称轴是直线．下列判断正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．若点是图象上的任意一点，则
【答案】D
【解析】【解答】A、根据抛物线的图象可得：a<0，b<0，c>0，∴abc>0，∴A不正确；
B、∵抛物线的对称轴是直线，∴，∴b=2a，∵a≠0，∴b+2a=4a≠0，∴B不正确；
C、∵抛物线与x轴有两个交点，∴△>0，∴b2-4ac>0，∴b2>4ac，∴C不正确；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=-1且抛物线的开口向下，∴当x=-1时，函数值y=a-b+c有最大值，∴抛物线上任意点（m，n）代入可得，∴，∴D正确，
故答案为：D.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
5．如图，的平径为，与为的两条平行弦.若，，则弦的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 连接OC， OE， BC， CE，过点C作CH⊥BE于H，
因为ABIICD，
所以BC=AD，
因为AD=2，
所以BC= AD= 2，
因为∠COE=2∠CDE，∠CDE=45° ，所以∠COE=90° ，
因为OC= OE， ，
所以， .
因为CH⊥BE，
所以
所以∠CBE=∠CDE=45°
所以
因为
所以，
故答案为：C.
【分析】连接OC，OE，BC，CE，过点C作BE的垂线，由AB//CD可得BC的长，由∠CDE=45°，可得相关圆周角和圆心角的度数，推出△OCE是等腰直角三角形，从而求出CE的长，再用两次勾股定理可求出BE的长.
6．已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，当时，
，，
MN∥BC，
当时，不能确定△AMN与△ABC相似，
∴不能确定∠ANM与∠C相等，
∴不能够判断MN∥BC，
∴A，B，C都不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可.
7．若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（　　）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，
∴点A在圆内，
故答案为：C.
【分析】利用点与圆的位置关系：点到圆心的距离为d，圆的半径为r，①若dr时，点在圆外，再分析求解即可.
8．如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是3，则四边形的面积是（　　）
A．9 B．12 C．27 D．48
【答案】D
【解析】【解答】∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形∽四边形，
∵，
∴OA：OA'=1：4，
∴S四边形ABCD：S四边形A'B'C'D'=1：16，
∵S四边形ABCD=3，
∴S四边形A'B'C'D'=16S四边形ABCD=16×3=48，
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的性质可得S四边形ABCD：S四边形A'B'C'D'=1：16，再结合S四边形ABCD=3，求出S四边形A'B'C'D'=16S四边形ABCD=16×3=48即可.
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接，若平分，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
则，则，
即，
设，
∴，即，
解得或（舍），
经检验是原方程的解，
∴．
故答案为：C.
【分析】先证明，由此可以得到，接着再证明。
设，，结合相似三角形的对应边成比例的性质，能够推导出。
设，对等式整理后可得，解这个一元二次方程可以得到，最后就可以根据这个结果求出题目所需答案.
10．对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 是 的两个不相等的零点
即 是 的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程 有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴ <0
∴
∵ ，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当m=3时， 无意义；
当 时， ，
∴ 取值范围不确定，
故答案为：B．
【分析】根据根与系数的关系可以求出 ， 的值，用作差法比较 的大小关系， 的大小关系，根据 可求出m的取值范围，结合 的大小关系， 的大小关系从而得出选项．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．把1m的线段进行黄金分割，则分成较短的线段长为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设较短的线段长为xm，则较长的线段长为m，根据黄金分割的性质可得：
，
解得：，（舍去），
∴分成较短的线段长为，
故答案为：．
【分析】设较短的线段长为xm，则较长的线段长为m，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
12．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如表：
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
则一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝-8的解为 　 　．
【答案】x1＝- ，x2＝-1
【解析】【解答】解：对于二次函数y＝ax2+bx+c，
∵x＝-3时，y＝7；x＝5时，y＝7，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，
∵x＝0时，y＝-8，
∴x＝2时，y＝-8，
即方程一元二次方程ax2+bx+c＝-8的两根为x1＝0，x2＝2，
把一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝-8看作关于（3x+5）的一元二次方程，
∴3x+5＝0或3x+5＝2，
解得x1＝- ，x2＝-1．
故答案为：x1＝- ，x2＝-1.
【分析】由表格中的数据可得x＝-3与x＝5对应的函数值相等，则对称轴为直线x=1，结合对称性可得x=2时，y＝-8，则方程a(3x+5)2+b(3x+5)+c＝-8的解为3x+5=0或2，求解可得x的值.
13．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点，，，格点，的连线交于点，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：连接AE、AC、AD，
，
是直径，
，
根据网格图形可知：，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
∴所对的圆心角是，
∴的长为以AC为直径的圆周长的，
即的长为：．
故答案为：.
【分析】连接AE、AC、AD，易知AC为直径，由圆周角定理可得∠ABC=∠AEC=90°，根据网格图形可知AC=AD=，CD=，则AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理得△ACD为等腰直角三角形，且∠CAD=90°，∠ACE=45°，则∠EAC=45°，可得所对的圆心角是90°，推出的长为以AC为直径的圆周长的，然后结合圆的周长公式进行计算.
14．为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾” 蓝色垃圾桶 、“有害垃圾” 红色垃圾桶 、“可回收物” 绿色垃圾桶 和“其他垃圾” 黑色垃圾桶 这四类标准将垃圾分类处理.爷爷把两袋垃圾随意丢入两个垃圾桶，恰巧被爷爷扔对的概率是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：将“厨余垃圾” ( 蓝色垃圾桶 ) 、“有害垃圾” (红色垃圾桶 )、“可回收物”(绿色垃圾桶 ) 和“其他垃圾” ( 黑色垃圾桶 )分别记作 A 、 B 、 C 、 D ，
列表如下：
　
　
　
　
　
由表可知共有12种等可能结果，其中恰巧被爷爷扔对的只有1种结果，
所以恰巧被爷爷扔对的概率为 .
故答案为：.
【分析】将“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”分别记作A、B、C、D，列出表格，找出总情况数以及恰巧被爷爷扔对的情况数，然后根据概率公式进行计算.
15．如图，A、B、C均为正十二边形的顶点，则∠ACB＝　 　°
【答案】30
【解析】【解答】解：如图，
∵上图是正十二边形，
∴正十边形内角＝150°，即∠M＝∠MBF＝∠E＝∠F＝150°，
根据题意，得四边形BCEF内角和为360°，且∠ECB＝∠FBC，
∴∠ECB＝∠FBC＝＝30°，
根据题意，得六边形AMBFEC内角和为720°，且∠ACE＝∠CAM，
∴∠ACE＝∠CAM＝＝60°，
∴∠ACB＝∠ACE﹣∠ECB＝60°﹣30°＝30°.
故答案为：30.
【分析】对图形进行点标注，根据正多边形的性质可得∠M＝∠MBF＝∠E＝∠F＝150°，根据四边形BCEF内角和为360°，且∠ECB＝∠FBC可得∠ECB＝∠FBC＝30°，根据六边形AMBFEC内角和为720°，且∠ACE＝∠CAM可得∠ACE＝∠CAM＝60°，然后根据∠ACB＝∠ACE﹣∠ECB进行计算.
16．如图，等腰内接于，点为劣弧上一点，，若，则四边形的面积为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过点作的延长线于点，
，
又，
∴为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
在中，，，
根据勾股定理得：，
等边三角形的面积，
四边形的面积的面积等边三角形的面积．
四边形的面积为．
故答案为：．
【分析】过点作的延长线于点，先求出的面积和等边三角形的面积，再利用割补法求出四边形的面积的面积等边三角形的面积即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．现有三张正面分别写有2，3，5的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，求抽取写有5的卡片的概率；
（2）从中先抽取一张卡片，记下数字后放回，搅拌均匀后再抽取一张，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法加以说明．
【答案】（1）解：P（抽取写有5的卡片）
（2）解：
P（两张卡片上的数字之和为偶数）
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
18．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D．
（1）若，求的度数；
（2）若D是的中点，，求阴影部分的面积；
【答案】（1）解：连接，如图，
，
，
，
，
（2）解：D是的中点，且，
，
，
为等边三角形，
，
阴影部分的面积为
【解析】【分析】（1）连接，根据，求出，由得到，进而可得；
（2）由 D是的中点，， 可得，又由，得到为等边三角形，从而得到，根据扇形面积公式求出阴影部分的面积即可．
（1）解：连接，如图，
，
，
，
，
，
（2）D是的中点，且，
，
，
为等边三角形，
，
阴影部分的面积为．
19．如图，四边形内接于．
（1）求点O到的距离；
（2）直接写出弦所对的圆周角的度数．
【答案】（1）解：过点O作于点E，
则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴点O到到的距离为；
（2）解：连接，
由（1）知，在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弦所对的圆周角的度数为或．
【解析】【分析】本题考查垂径定理，勾股定理.（1）过点O作于点E，先利用垂径定理可求出，再利用勾股定理可得：，再代入数据进行计算可求出答案；
（2）连接，根据（1）知，在中，，利用等腰三角形的性质可得：，再根据，利用等边对等角可得：，据此可得，再利用圆周角定理可求出，再利用圆内接四边形的性质可求出．
（1）解：过点O作于点E，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴点O到到的距离为；
（2）解：连接，
由（1）知，在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弦所对的圆周角的度数为或．
20．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)(30≤x<60)存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x(元/千克) 50 40
日销售量y(千克) 100 200
（1）试求出y关于x的函数表达式；
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大，并求出最大的日销售利润是多少元.
【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
将x=50，y=100和x=40，y=200分别代入，
得解得
∴y关于x的函数表达式是y=-10x+600(30≤x<60).
（2）解：W=(x-30)(-10x+600)=-10x2+900x-18000=-10(x-45)2+2250，
∴当x=45时，在30≤x<60的范围内，W取得最大值，最大值是2250.
答：当销售价格为45元/千克时，日销售利润最大，最大的日销售利润是2250元.
【解析】【分析】(1)设y与x之间的函数关系式为 由表中数据即可得出结论；
(2)根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可；
21．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），，
（1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；
（2）现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
【答案】（1）解：连接，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米．
（2）解：∵米，，
∴米，
构造如图所示矩形，连接，
当时，
∵，
∴，
∴米，
根据勾股定理可得：米，
∴（米），
∵，
∴此货船不能顺利通过这座桥．
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，设，进而根据勾股定理即可求解；
（2）先根据题意求出OD，构造如图所示矩形，连接，根据勾股定理结合垂径定理即可求解。
（1）解：连接，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米．
（2）解：∵米，，
∴米，
构造如图所示矩形，连接，
当时，
∵，
∴，
∴米，
根据勾股定理可得：米，
∴（米），
∵，
∴此货船不能顺利通过这座桥．
22．如图，等腰直角中，将边绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，过点C作交于E，连接．
（1）依题意补全图1；
（2）求的度数；
（3）作点A关于直线的对称点M，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：∵旋转，
∴，
又，
∴，
∴点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，
理由：
过M作交的延长线于N，
∵A、M关于对称，
∴，，，
又，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，即，
∴．
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据旋转性质可得，根据题意可得点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（3）过M作交的延长线于N，根据对称性质可得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据勾股定理可得NE，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（1）解：如图，
（2）解：∵旋转，
∴，
又，
∴，
∴点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，
理由：
过M作交的延长线于N，
∵A、M关于对称，
∴，，，
又，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，即，
∴．
23．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求点，，的坐标；
（2）根据图象直接回答：当取何值时，；
（3）连接、，若点在抛物线上，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：令，则，
解得：，，
点在点左侧，
，，
令，则，
，
点，，的坐标分别为，，；
（2）解：由（1）得抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
∴由函数图象可知：当或时，；
（3）解：设点的坐标为，
，，，
，，
，
，
，
∴，
整理得：，
∴，
当时，有，
∴，
该方程无实数根；
当时，有，
解得：，，
∴点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）令，从而得关于x的一元二次方程，解方程即可求出A、B的坐标；令，求函数值，即可求出点C的坐标；
（2）由函数图象及抛物线与轴的交点坐标即可直接得出答案；
（3）设点的坐标为，先求出AB、OC的值，从而利用三角面积公式得的面积，进而由可得，接下来分两种情况讨论：①当时；②当时；分别解一元二次方程，即可求得点的坐标．
（1）解：令，则，
解得：，，
点在点左侧，
，，
令，则，
，
点，，的坐标分别为，，；
（2）解：由函数图象及其与轴的交点坐标可知：
当或时，；
（3）解：设点的坐标为，
，，，
，
，
，
，
，
即：，
整理，得：，
当时，
整理，得：，
，
该方程无实数根；
当时，
整理，得：，
解得：，，
此时点的坐标为或；
综上，点的坐标为或．
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