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吉安市四所省重点中学 2025—2026 学年上学期
高二第一次联考数学试卷
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
一、单选题：每小题 5 分，共 40 分．
1．直线 的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．直线 （）倾斜角的范围是（　　）
A． B． C． D．
3．若直线 与 的交点在第二象限，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．已知直线 ： 与 ：，则“”是“”的（　　）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知直线 ： 与 ： 平行，则两直线间的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．已知两点 ，，直线 ： 与线段 相交，则直线 的斜率的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．若直线 （，）过点 ，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．过定点 的直线 与过定点 的直线 交于点 （ 与 、 不重合），则 面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：每小题 6 分，共 18 分；每小题全选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分．
9．下列结论正确的有（　　）
A．倾斜角为 的直线 的一个方向向量是
B．直线 恒过定点
C．不论 为何实数，直线 ： 与直线 ： 互相垂直
D．在 ， 轴上的截距为 ， 的直线可表示为
10．已知直线 ：，下列说法正确的是：（　　）
A．点 关于 的对称点的坐标是 ；
B．直线 关于 的对称直线的方程是 ；
C．直线 关于点 的对称直线的方程是 ；
D．过点 ，垂直于直线 的直线的方程是
11．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则（　　）
A． B． 的最大值是 5
C． 的取值范围是 D． 的最大值是
三、填空题：每小题 5 分，共 15 分．
12．直线 过点 ，且原点到直线 距离为 2，则直线 的方程为__________．
13．已知 ，，直线 和 垂直，则 的最小值为__________．
14．数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”．已知 的顶点 、，其“欧拉线”的直线方程为 ，则 的顶点 的坐标__________．
四、解答题：共 77 分；第 15 题 13 分，第 16、17 题各 15 分，第 18、19 题各 17 分．
15． 的三个顶点是 ，，，求
（1）边 上的中线所在直线的方程；
（2）边 上的高所在直线的方程；
（3）边 上的垂直平分线所在直线的方程；
16．已知三条直线 ：，：，：．
（1）若 ，， 交于一点，求实数 的值；
（2）若 ，， 可以围成一个三角形，求实数 的取值范围．
17．已知三条直线 ：（），：，：，且 与 间的距离是 ．
（1）求 的值；
（2）求过直线 与 的交点，且垂直于 的直线方程；
（3）求与 平行且到 ， 距离相等的直线 的方程．
18．已知直线 ：．
（1）求证：直线 过定点；
（2）若 到直线 的距离最大，求 的值；
（3）若直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 的方程．
19．已知光线经过已知直线 ： 和 ： 的交点 ，且射到 轴上一点 后被 轴反射．
（1）求点 关于 轴的对称点 的坐标；
（2）求反射光线所在的直线 的方程．
（3）求与 距离为 的直线方程．
高二第一次联考数学试卷答案及解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C D D C D AC ABC
题号 11
答案 BCD
12． 或 13． 14．
15．（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由已知，得 的中点 的坐标为 ，又因为 上的中线过 ，所以直线 的方程为 ，即 ．
（2） 边所在直线的斜率 ，
因为 边上的高与 垂直，所以 边上的高所在直线的斜率为 ，
又 边上的高经过点 ，所以 边上的高所在的直线方程为 ，
即 ．
（3）由已知，得直线 的斜率为 ， 的中点 的坐标为 ，
所以边 上的垂直平分线所在直线斜率为 ，所以边 上的垂直平分线所在直线方程为
，
即 ．
16．（1）
（2）
【详解】（1）联立 与 的方程，得 解得
即 与 的交点坐标为 ，
由题意知点 在 上，所以 ，
解得 ．
（2）由（1）知 ，
当 时，，所以 ，
当 时，，所以 ，
当 ，， 三条直线可以围成三角形，则 且 且 ，
故 的取值范围为 ．
17．（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为 ：，：（），
所以 与 间的距离为 ，
即 ，因为 ，所以 ，解得 ；
（2）由直线 与 的方程联立方程组 ，解得
即两直线的交点坐标为 ，
设所求直线方程为 ，代入 得
解得 ，
故所求的直线方程为 ，即 ．
（3）直线 ：，：，
由题可设所求直线 方程为 ，则有 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
故所求的直线方程为 ，即 ．
18．（1）证明：由直线 ： 整理可得：
，即 ，
则由 ，即 ，
故直线 过定点 ；
（2）
（3）
【详解】（1）略
（2）当动直线 满足定点 与直线外点 的连线垂直于 时，
到直线 的距离最大，
因为 ，则 ；
因为 ：，故 ，解得 ；
（3）由 ： 可得：
当 时，；当 时，；
因为直线与坐标轴交于正半轴，故
，解得 ；
此时三角形面积为 ，
要使面积取最小值，只需取 的最小值即可；
由 可知，
当 时， 取最小值 ，此时面积取最小值 ，
此时直线方程为 ，即 ．
19．（1）；（2）；（3） 或 ．
【详解】解：（1）由 得 ，∴ ．
所以点 关于 轴的对称点 的坐标 ．
（2）解法一：
因为入射角等于反射角，
直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜角 ．
，所以直线 的斜率 ．
故反射光线所在的直线 的方程为：．
即 ．
解法二：
因为入射角等于反射角，
所以反射光线所在的直线 的方程就是直线 的方程．
直线 的方程为：，
整理得：．
故反射光线所在的直线 的方程为 ．
（3）设与 平行的直线为 ，
根据两平行线之间的距离公式得：，
解得 ，或 ，
所以与 距离为 的直线方程为：
或 ．

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