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湘教版2026年九年级数学上册第3章一元二次方程 单元检测卷
满分：120分 时间：120分
一．选择题（30分）
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+y﹣2＝0 B．x+4＝5 C． D．x2+2x＝3
2．将一元二次方程3x2＝5x﹣1化为ax2+bx+c＝0的形式，若a＝3，则b，c的值分别为（　　）
A．5，1 B．﹣5，﹣1 C．5，﹣1 D．﹣5，1
3．方程x2﹣8x+9＝0配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝25 B．（x﹣4）2＝7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
4．已知关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0，则下列关于这个方程根的判别式正确的是（　　）
A．Δ＝﹣a2﹣8 B．Δ＝a2﹣8 C．Δ＝﹣a2+8 D．Δ＝a2+8
5．对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝3的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（　　）
A．2x2﹣6x+4＝0 B．4x2﹣6x+4＝0
C．4x2+6x+1＝0 D．2x2+6x+1＝0
7．若二次三项式x2+mx﹣n可以分解为（x+2）（x﹣8），则方程x2+mx﹣n＝0的根为（　　）
A．﹣2或8 B．﹣2或﹣8 C．2或﹣8 D．2或8
8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（　　）
A．1+x+x2＝73 B．（1+x）2＝73
C．x+x2＝73 D．1+（1+x）+（1+x）2＝73
9．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则3x1+3x2的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．15 D．﹣15
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（　　）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
二．填空题（18分）
11．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 _______ ．
12．方程x2﹣3x＝0的根为______________ ．
13．若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有实根，则k的取值范围是____________ ．
14．某地一家制造业企业营收稳步增长，企业纳税额逐年递增．该企业2024年缴纳税款50万元，2026年缴纳税款60.5万元，该企业这两年缴税的年平均增长率为________ ．
15．设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣19x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为________ ．
16．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则a2﹣3b﹣5+ab的值为_____ ．
三．解答题（72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣x+3＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2x+10＝0．
（1）若方程不含x的一次项，求k的值；
（2）当k＝﹣5时，所得方程两根为等腰三角形的边长，求此等腰三角形的周长．
19．（8分）数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问．
例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：①当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（舍去）；
②当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣2．
∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2．
（1）我们在解方程x2﹣|x|﹣2＝0时用到的数学思想方法是_____ ．
A．数形结合的思想 B．整体的思想 C．分类讨论的思想 D．特殊到一般的思想
（2）解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若原方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值．
21．（8分）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以128万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）下列方程中是“差根方程”的是_______ ．（填写序号）
①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0；③x2﹣7x+12＝0．
（2）已知关于x的方程x2+4ax＝0是“差根方程”，求a的值．
（3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．
23．（10分）2026年一款名为“哇库库（WAKUKU）”的玩偶，凭借其软萌毛绒质感与搞怪、叛逆小野孩气质融合一体的造型，在一众常规“萌系”玩偶中脱颖而出，其平价毛绒盲盒与展会限量大娃拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买哇库库盲盒进行销售．该老板以30元/个的成本购进一批哇库库盲盒，现按65元/个进行销售，平均每天可销售20个．在每个降价幅度不超过15元的情况下，若每个降价1元，则平均每天可多售出2个．
（1）如果平均每天要盈利900元，那么每个盲盒的售价应定为多少元？
（2）平均每天盈利可以达到1100元吗？若可以，求出每个盲盒的售价；若不可以，请说明理由．
24．（12分）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：
（1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ；
（2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的；
（3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）．湘教版2026年九年级数学上册第3章一元二次方程 单元检测卷
答案卷
一、选择题
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+y﹣2＝0 B．x+4＝5 C． D．x2+2x＝3
【解答】解：x2+y﹣2＝0含有两个未知数x、y，不是一元二次方程，故A不符合；
x+4＝5是一元一次方程，故B不符合；
是分式方程，不是一元二次方程，故C不符合；
x2+2x＝3只含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，故D符合，
故选：D．
2．将一元二次方程3x2＝5x﹣1化为ax2+bx+c＝0的形式，若a＝3，则b，c的值分别为（　　）
A．5，1 B．﹣5，﹣1 C．5，﹣1 D．﹣5，1
【解答】解：3x2＝5x﹣1，
3x2﹣5x+1＝0，
∴b＝﹣5，c＝1，
故选：D．
3．方程x2﹣8x+9＝0配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝25 B．（x﹣4）2＝7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
【解答】解：x2﹣8x+9＝0，
x2﹣8x＝﹣9，
x2﹣8x+16＝﹣9+16，
（x﹣4）2＝7，
故选：B．
4．已知关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0，则下列关于这个方程根的判别式正确的是（　　）
A．Δ＝﹣a2﹣8 B．Δ＝a2﹣8 C．Δ＝﹣a2+8 D．Δ＝a2+8
【解答】解：在x2﹣ax﹣2＝0中，Δ＝a2+8，
故选：D．
5．对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝3的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：由题知，
因为2☆x＝3，
所以2x2﹣2x＝3，
整理得，2x2﹣2x﹣3＝0，
则Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＝28＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（　　）
A．2x2﹣6x+4＝0 B．4x2﹣6x+4＝0
C．4x2+6x+1＝0 D．2x2+6x+1＝0
【解答】解：题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得：
2a＝2×4，故a＝4；
﹣b＝﹣6，故b＝6；
4ac＝4×4×1，故c＝1．
因此，该一元二次方程为4x2+6x+1＝0；
故选：C．
7．若二次三项式x2+mx﹣n可以分解为（x+2）（x﹣8），则方程x2+mx﹣n＝0的根为（　　）
A．﹣2或8 B．﹣2或﹣8 C．2或﹣8 D．2或8
【解答】解：由题知，
因为二次三项式x2+mx﹣n可以分解为（x+2）（x﹣8），
所以由x2+mx﹣n＝0得，
（x+2）（x﹣8）＝0，
则x+2＝0或x﹣8＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝8，
即该方程的根为﹣2或8．
故选：A．
8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（　　）
A．1+x+x2＝73 B．（1+x）2＝73
C．x+x2＝73 D．1+（1+x）+（1+x）2＝73
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则
1+x+x2＝73，
故选：A．
9．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则3x1+3x2的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．15 D．﹣15
【解答】解：由题知，
因为x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，
所以，
则3x1+3x2＝3（x1+x2）＝3×2＝6．
故选：A．
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（　　）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0或x0
∴2ax0+b或2ax0+b
∴
故④正确．
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立；
∵由am2+bm+c＝an2+bn+c，
∴a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝0，
∴a（m﹣n）（m+n）+b（m﹣n）＝0，
即（m﹣n）[a（m+n）+b]＝0，
∵m≠n，
∴a（m+n）+b＝0，
∴当a≠0时，存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立；
故⑤正确．
故选：B．
二、填空题
11．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　﹣1　 ．
【解答】解：由题意可知，m﹣3≠0且|m﹣1|＝2，
解得：m≠3，且m＝3或m＝﹣1，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．方程x2﹣3x＝0的根为x1＝0，x2＝3　 ．
【解答】解：由题知，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
13．若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有实根，则k的取值范围是k≤2且k≠1　 ．
【解答】解：∵a＝1﹣k，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴由题意得：Δ＝（﹣2）2﹣4（1﹣k）×（﹣1）＝4+4（1﹣k）＝8﹣4k≥0，
解得 k≤2．
∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有实根，
∴1﹣k≠0，即 k≠1，
∴k的取值范围是k≤2且k≠1，
故答案为：k≤2且k≠1．
14．某地一家制造业企业营收稳步增长，企业纳税额逐年递增．该企业2024年缴纳税款50万元，2026年缴纳税款60.5万元，该企业这两年缴税的年平均增长率为　10%　 ．
【解答】解：设平均增长率为x，企业2024年缴纳税款50万元，2026年缴纳税款60.5万元，由题意得：
50（1+x）2＝60.5，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：年平均增长率为10%．
15．设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣19x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为　﹣39　 ．
【解答】解：由题意可得 a+b＝﹣20，ab＝1，c+d＝19，cd＝1
则（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）
＝[ab+（a+b）c+c2][ab﹣（a+b）d+d2]
＝（1﹣20c+c2）（1+20d+d2）
＝1+20d+d2﹣20c﹣400﹣20d+c2+20c+1
＝d2+c2+2﹣400
＝（c+d）2﹣400
＝192﹣400
＝﹣39，
故答案为：﹣39．
16．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则a2﹣3b﹣5+ab的值为　4　 ．
【解答】解：由条件可得：a2+3a﹣5＝0，
整理得a2＝﹣3a+5，
∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，
∴根据根与系数的关系可得a+b＝﹣3，ab＝﹣5，
将a2＝﹣3a+5代入所求代数式a2﹣3b﹣5+ab得：
原式＝（﹣3a+5）﹣3b﹣5+ab
＝﹣3（a+b）+ab
＝﹣3×（﹣3）+（﹣5）
＝4．
故答案为：4．
三、解答题
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣x+3＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【解答】解：（1）2x2﹣x+3＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×3＝﹣23＜0，
∴原方程无实数根；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2x+10＝0．
（1）若方程不含x的一次项，求k的值；
（2）当k＝﹣5时，所得方程两根为等腰三角形的边长，求此等腰三角形的周长．
【解答】解：（1）将原方程x2+kx﹣2x+10＝0整理得，x2+（k﹣2）x+10＝0，
∵方程x2+kx﹣2x+10＝0不含x的一次项，
∴k﹣2＝0，
解得：k＝2；
（2）当k＝﹣5时，原方程化为x2﹣5x﹣2x+10＝0，
∴x2﹣7x+10＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
∵2与5是等腰三角形的两边长，且2+2＜5，
∴等腰三角形的腰为5，底边为2，
∴等腰三角形的周长为5+5+2＝12．
19．（8分）数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问．
例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：①当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（舍去）；
②当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣2．
∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2．
（1）我们在解方程x2﹣|x|﹣2＝0时用到的数学思想方法是C ．
A．数形结合的思想
B．整体的思想
C．分类讨论的思想
D．特殊到一般的思想
（2）解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
【解答】解：（1）解方程x2﹣|x|﹣2＝0时，按x≥0和x＜0两类情况分别去掉绝对值求解，用到的数学思想方法是分类讨论的思想，
故选：C；
（2）①当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，
整理得x2﹣x＝0，
解得x1＝1，x2＝0（舍去），②当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程化为x2﹣（1﹣x）﹣1＝0，
整理得x2+x﹣2＝0，
解得x1＝1（舍去），x2＝﹣2，所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣2．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若原方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣1）
＝m2+4m+4﹣4m+4
＝m2+8．
∵m2≥0，即m2+8＞0，
∴Δ＞0，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵，，
∴
＝（m+2）2﹣（m﹣1）
＝m2+4m+4﹣m+1
＝m2+3m+5．
∵，
∴m2+3m+5＝3，
整理得：m2+3m+2＝0，
（m+1）（m+2）＝0，
m+1＝0或m+2＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣2，
∴m的值为﹣1或﹣2．
21．（8分）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以128万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【解答】解：（1）设小路的宽度为xm，根据题意得：
（20+2x）（16+2x）＝480，
整理得：x2+18x﹣40＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣20（舍去），
答：小路的宽度为2m；
（2）设每次降价的百分率为y，
根据题意，得：200（1﹣y）2＝128，
解得：y1＝0.2，y2＝1.8（不合题意，舍去），
0.2＝20%，
答：每次降价的百分率为20%．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）下列方程中是“差根方程”的是　①③　 ．（填写序号）
①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0；③x2﹣7x+12＝0．
（2）已知关于x的方程x2+4ax＝0是“差根方程”，求a的值．
（3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．
【解答】解：（1）①∵x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
∵|x1﹣x2|＝|0﹣1|＝|﹣1|＝1，
∴方程x2﹣x＝0是“差根方程”；
②∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x+1）（x﹣5）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝5，
∵|x1﹣x2|＝|﹣1﹣5|＝|﹣6|＝6≠1，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是“差根方程”；
③∵x2﹣7x+12＝0，
∴（x﹣4）（x﹣3）＝0，
∴x1＝4，x2＝3，
∵|x1﹣x2|＝|4﹣3|＝|1|＝1，
∴方程x2﹣7x+12＝0是“差根方程”；
综上所述，是“差根方程”的有①③．
故答案为：①③；
（2）∵x2+4ax＝0，
∴x（x+4a）＝0，
∴x1＝﹣4a，x2＝0，
∵关于x的方程x2+4ax＝0是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝|﹣4a﹣0|＝|﹣4a|＝1，
∴；
（3）设AB＝s，AC＝t，
∵△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，
∴AB2+AC2＝BC2，即，
∵△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，
∴|s﹣t|＝1，即s﹣t＝±1，
∴（s﹣t）2＝（±1）2＝1，
∴s2﹣2st+t2＝1，
∴st＝5，
∴（s+t）2＝s2+2st+t2＝21，
∵s＞0，t＞0，
∴s+t＞0，
∴，
设这个“差根方程”为x2+mx+n＝0，
由根与系数的关系可得，
∴，
∴这个“差根方程”为．
23．（10分）2026年一款名为“哇库库（WAKUKU）”的玩偶，凭借其软萌毛绒质感与搞怪、叛逆小野孩气质融合一体的造型，在一众常规“萌系”玩偶中脱颖而出，其平价毛绒盲盒与展会限量大娃拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买哇库库盲盒进行销售．该老板以30元/个的成本购进一批哇库库盲盒，现按65元/个进行销售，平均每天可销售20个．在每个降价幅度不超过15元的情况下，若每个降价1元，则平均每天可多售出2个．
（1）如果平均每天要盈利900元，那么每个盲盒的售价应定为多少元？
（2）平均每天盈利可以达到1100元吗？若可以，求出每个盲盒的售价；若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1）设每个盲盒的售价定为x元，则每个盲盒的销售利润为（x﹣30）元，平均每天可售出20+2（65﹣x）＝（150﹣2x）个，
根据题意得：（x﹣30）（150﹣2x）＝900，
整理得：x2﹣105x+2700＝0，
解得：x1＝45，x2＝60，
当x＝45时，65﹣x＝65﹣45＝20＞15，不符合题意，舍去；
当x＝60时，65﹣x＝65﹣60＝5＜15，符合题意．
答：每个盲盒的售价应定为60元；
（2）平均每天盈利不可以达到1100元，理由如下：
假设平均每天盈利可以达到1100元，设每个盲盒的售价定为y元，则每个盲盒的销售利润为（y﹣30）元，平均每天可售出（150﹣2y）个，
根据题意得：（y﹣30）（150﹣2y）＝1100，
整理得：y2﹣105y+2800＝0，
∵Δ＝（﹣105）2﹣4×1×2800＝﹣175＜0，
∴原方程无实数根，
∴假设不成立，即平均每天盈利不可以达到1100元．
24．（12分）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：
（1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ；
（2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的；
（3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）．
【解答】解：（1）设两动点经过t秒时，使得BP＝CQ．
则16﹣2t＝t，
解得 t．
答：两动点经过秒时，使得BP＝CQ；
（2）设两动点经过x秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的．则
（CQ+BP） BCAB AD，即（x+16﹣2x）×616×6，
解得 x．
答：两动点经过秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的；
（3）两动点经过k（0≤k≤8）秒，使得△BQP是等腰三角形
①当BP＝QP时，过点Q作QH⊥BP于点H．
则PQ，
所以 16﹣2k，
整理 得5k2﹣32k+36＝0，
解得 k1，k2；
②当BP＝BQ时，BQ．
则16﹣2k，
整理 得3k2﹣64k+220＝0．
解得k或（舍）；
③当QP＝BQ时，，即，
整理 得，（16﹣3k）2＝k2，
解得 k3＝4，k4＝8（与点B重合，舍去）．
综上所述，当两动点经过秒或秒或4秒或k时，使得△BQP是等腰三角形

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