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浙江省杭州市2026年期中考试热题精选卷浙教版2026—2027学年九年级数学上册
（测试范围：第1章二次函数—第3章圆的基本性质，全卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．水中捞月
2．某校九（8）班计划举办手抄报展览，确定①教师节、②国庆节、③中秋节三个主题，若小聪和小慧每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．将抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线(　　)
A． B．
C． D．
5．正六边形的一个内角度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点在中，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．当前，二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚现将二维码打印在面积为200 cm2 的正方形纸上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为(　　).
A． B． C． D．
8．如图，在直角中，为斜边上的中线，以点为圆心，以为直径作，则点与的位置关系为（　　）
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定
9．某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A． B．
C． D．
10．新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示：
方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．
根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（　　）
A．图1解析式： B．图2解析式：
C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是　 　．
12．某班级进行名山介绍会，该班的小娟计划在．太白山、．华山、．终南山、．翠华山四座山中随机选择一座介绍后，再在剩下的三座山中随机选择一座进行介绍，已知小娟选择每座山的可能性相同，则小娟选择．华山和．终南山的概率为　 　．
13． 如图， 四边形ABCD 是半圆O的内接四边形，AB 是直径，CD=DA.若∠BCD=120°， 则∠ABC的度数为　 　.
14．如图，AB为半圆O的直径，将半圆绕点B顺时针旋转36°，使点A 恰好旋转到点C的位置.若OA=5，则图中阴影部分的面积为　 　 .
15．抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4．
（1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离　 　；
（2）若满足条件的P点恰好有3个，则　 　．
16．如图，二次函数 的图象与x轴交于(-1，0)， (x1，0)， 其中 结合图象给出下列结论：①ab>0；②a-b=-2；③关于x的一元二次方程 的另一个根是 ④b的取值范围为 其中结论正确的是　 　.
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下：
10元消费券 谢谢参与 10元消费券
20元消费券 洗牌 谢谢参与
10元消费券 谢谢参与 谢谢参与
摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条．
翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品．
（1）先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是　 　．
（2）若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数．
（3）若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由．
18．一个不透明的布袋里装有2个白球、1个黑球和若干个红球，它们除颜色不同外其余都相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率为
（1）布袋里红球有多少个
（2）先从布袋中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，请用列表法或画树状图法求出两次摸到的球都是白球的概率.
19．某商品的进价为每件 40元，当售价为每件 50元时，每个月可卖出 210件，如果每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 10件(每件售价不能低于 50元且不得高于 65元)，设每件商品的售价上涨x元，(x为正整数)每个月的销售量为y件.
（1） y与x的函数关系式为： 　 　；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润 最大的月利润是多少元
（3）若在销售过程中每一件商品都有a(a>0)元的其它费用，商家发现当售价每件不低于 58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，求a的取值范围.
20． 在平面直角坐标系中，抛物线(m为常数)．
（1）求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）若抛物线经过点(2，-4)，求抛物线的顶点坐标．
（3）若点 在抛物线上，且当 时，始终满足 求m的取值范围．
21．如图，三角形是等腰直角三角形，，以为直径画半圆交于点，以点为圆心，为半径画弧．
（1）求弧的长度；
（2）求图中阴影部分的面积结果保留
22．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为．
（1）如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度．
（2）如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到）
23．对于平面直角坐标系中的一动点，能否根据其坐标特点来描述该点的运动轨迹亦或是函数关系呢？
解：可以令，，将代入中可得：，此时我们可以发现，该点的横、纵坐标构成了一次函数的关系，因此我们说动点在一次函数的图象上，其运动轨迹是的这条直线；
（1）关于的二次函数的顶点坐标为　 　（用的代数式表示），顶点轨迹所对应的解析式为　 　；
（2）已知动点的轨迹是一条抛物线，试求出该抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点的轨迹所对应的函数图象上有两点，，若对于任意的，恒成立，试探讨与应满足的数量关系．
24． 如图1， 直径. 弦BC于点 D.
（1）BC=6，AD=4.
①求半径长；
②如图2， 点F在弧AB上运动(点F不与点A和点B重合)， 连接BF，CF， AF， AC.当线段CF过圆心O时，求 的面积；
（2） 点F在弧AB上运动(点F不与点A和点B重合) ， 连接BF， CF， AF， AC.当 时，求 的面积.
参考答案
1．【答案】A
【解析】【解答】解： A、旭日东升，是必然事件，A符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，B不符合题意；
C、大海捞针，是随机事件，C不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，D不符合题意；
故答案为：A .
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
【解析】【解答】解：正六边形的内角和为，
∴正六边形的一个内角度数为.
故答案为：C.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：C.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为200×0.6=120
故选： D.
8．【答案】C
【解析】【解答】∵△ABC是直角三角形，∠C=90 ，CD是斜边AB中线，
∴CD=AB，
∵⊙D以D为圆心、AB为直径，
∴圆半径r=；
可得CD=r，即点C到圆心D的距离等于圆的半径，因此点C在⊙D上.
故答案为：C.
9．【答案】B
10．【答案】C
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为5个小正方形的面积，
∴小球停在阴影部分的概率是
故答案为：.
12．【答案】
13．【答案】
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是半圆的内接四边形，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．【答案】10π
【解析】【解答】解：如图：旋转可知，
则S①+S②=S③+S②，
∴S①=S③，
∴阴影部分的面积可转化为扇形BAC的面积.
∵AB=10，∠ABC=36°
∴扇形BAC的面积为：，即阴影部分的面积为10π，
故选：D.
15．【答案】（1）4
（2）
16．【答案】②③④
【解析】【解答】解：由图可得：，对称轴，
，
，①错误；
由图得，图象经过点，将代入可得，
，②正确；
该函数图象与轴的交点为，
关于的一元二次方程的一个根为，另一个根为，
由根与系数的关系得，
，即关于的一元二次方程的另一个根是，
③正确；
，即，
解得，
，即，
，
，
④正确．
综上，②③④正确．
故答案为：②③④．
17．【答案】（1）
（2）
（3）选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高．
18．【答案】（1）解：设红球的个数为x.
由题意可得，
解得x=1，经检验x=1是方程的根，
即红球的个数为1.
（2）画树状图如图所示.
∴P（两次摸到的球都是白球）
19．【答案】（1）y=210-10x(0（2）解：设月利润为 W，由题意得
∵a=-10<0，
∴当x=5.5时， W有最大值 2402.5，
∵0∴当x=5时， 50+x=55， W=2400；
当x=6时， 50+x=56， W=2400；
∴当售价定为每件 55或 56元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400元；
（3）解：由题意得， W=(210-10x)(50+x-40-a)=-10(x-21)(x+10-a)，
∴抛物线对称轴为直线
∵售价每件不低于 58元，0∴8≤x≤15时，每月的销售利润随x的增大而减小，
解得520．【答案】（1）证明：由题意得：
0
所以无论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）解：把(2，-4)代入解析式， 得：
整理得： 解得：
所以m =1时抛物线的解析式为： ，则顶点坐标为： (1，-5)；
所以m =3时抛物线的解析式为： ， 则顶点坐标为： (3，-5)；
（3）解：
，
由题意当t≥1时， 恒成立，
即t+1-m≥0，
m≤t+1对任意t≥1恒成立，
∴ m≤2．
21．【答案】（1）解：
（2）解：
22．【答案】（1）解：如图，秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧，
设该圆弧所在圆的半径为，
依题意，得，在中，
，
垂直平分．
．
在中，，
即，
解得或（负值舍去）．
即秋千的长度为．
（2）解：设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点．
射线与，分别相交于点，，则．
又，
与均为等腰直角三角形．
，．
当时，，
连接，又，，
又，，
．
．
而，
．
从而应向右平移的最大值．
应将挡光板沿方向向右最多平移约．
23．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴动点的横坐标为，
解得，
把代入纵坐标得：
所以，顶点轨迹所对应的解析式为
（3）解：∵，
∴对称轴为，开口向上，
∵，
∴点A在对称轴左侧，到对称轴距离为，
∴点B在对称轴右侧，到对称轴距离为，
∵开口向上时，离对称轴越远函数值越大，
又恒成立，
∴，即，
∴，
故与应满足的数量关系为
24．【答案】（1）解：①如图， 连接OB，
∵直径 弦BC于点D，
设⊙O的半径长为x，则(OD=4-x，
在 中，
解得
∴⊙O的半径长为
②当线段CF过圆心O时，如图，则CF为⊙O的直径，
（2）解：如图，连接AB，在CF上取 过点A作 于H，则
∵直径AE⊥弦BC于点D，
∴AE垂直平分BC，
【解析】【分析】(1)①连接OB，由垂径定理得 =3，设⊙O的半径长为x，则OD=4-x，再利用勾股定理解答即可求解；
②当线段CF过圆心O时，如图，则CF为⊙O的直径，可得 利用勾股定理求出AC进而求出AF即可求解；
(2)连接AB， 在CF上取 过点A作. 于H，可得FG=FC-CG= 由垂径定理可得.AB=AC，进而可证 得到AF=AG，即得G 得到CH=CG+G 再利用勾股定理求出AH即可求解.
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