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浙江省杭州市2026年期中考试常考题型精选卷浙教版2026—2027学年九年级数学上册
（测试范围：第1章二次函数—第3章圆的基本性质，全卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．确定性事件 D．随机事件
2．现有一个质地均匀的正方体，六个面分别标有图案“●”“▲”“▲”“★”“★”“★”.卓玛投掷一次正方体，出现“★”的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．下列与抛物线形状相同的抛物线是（　　）
A． B． C． D．
4． 抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器.图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度CD=3cm，液面所在的弦AB=12cm，则其截面圆的半径为（　　）
A．6.5cm B．7cm C．7.2cm D．7.5cm
7．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共50个，这些球除颜色外其余都相同，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.7左右，则袋子中红球的个数可能是（　　）.
A．30 B．35 C．40 D．45
8．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（　　）
A． B． C． D．
10． 如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是　 　．
12．已知二次函数 y=x2+4x+5，当 -3≤x≤0 时，y 的取值范围为　 　．
13．学校组织研学，安排给九年级三辆车，小泉与小元都可以从这三辆车中任选一辆搭乘。小泉与小元同车的概率为　 　。
14．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是矩形ABCD的两边AD，BC上的点，且EF∥AB，M，N是EF上的任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是　 　.
15．如图，AB是⊙O的直径，且AB=8，C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB，交AB于点 D，交⊙O 于点 E.若D为OB 中点，则 CE 的长为　 　.
16． 如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB， BC分别与⊙O相交于D， E两点，连结AE.若点D为AB的中点，则 的值为　 　.
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两名学生是该校一年级新生，开学初，学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到A班”的概率是　 　；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名新生分到同一个班的概率．
18．某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成个扇形商场规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券。
（1）“转动一次转盘获得元的购物券”是　 　；选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”
（2）计算：转动一次转盘获得元购物券的概率是多少？
（3）如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？
19．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）求该抛物线与y轴的交点坐标．
（2）若时，求t的值．
（3）若时，求t的取值范围．
20．综合与实践
如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园．现有可用的篱笆总长为．设边长为，请列方程解决下列问题．
（1）若矩形菜园的面积为，求的长；
（2）矩形菜园的面积有可能是吗？若有，求的值；若无，说明理由；
（3）当取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积．
21．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F.
（1）求证：AC=BD.
（2）若CD=8，EF=2，求⊙O的半径.
22．如图①，是某海底世界时空隧道的截面图，上半部分可近似看一条作抛物线，下半部分可近似看作矩形AOCB.如图②所示，以点O为坐标原点，地面OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.已知矩形长OC=5m，宽OA=1m，隧道最高点距离地面
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为清洁隧道玻璃，工人师傅设计了一个清洁设备，OG是一条滑轨（点G在抛物线对称轴右侧的抛物线上)，GH是高度为3米的竖直支撑杆，PM为竖直的伸缩清洁臂，当点P在OG上滑动时，伸缩清洁臂 PM可清洁隧道玻璃.若0≤PM≤2.5，请问：伸缩清洁臂能否彻底清洁OG上方的玻璃 请说明理由.
23．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点．
（1）将沿y轴正方向平移t个单位得到，当抛物线与有且仅有一个公共点时，求t的取值．
（2）当时，抛物线恒在直线的上方，求的取值范围．
（3）将此抛物线在A，B之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为G，在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）是否存在有且只有8个？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
24． 如图， AB是⊙O的直径， P为AB上一点(点P不与A、B重合)， CD与EF是过点P的两条弦，且CD=EF ， CD⊥EF，OH⊥EF 于点 H，ON⊥CD 于点 N.
（1） 求证： PB平分∠FPD；
（2） 若 PE=3， PF=5， 求AB的长；
（3）求证：当点 P在 AB 上运动时， 的值不变，并求出这个定值.
参考答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件，
故选：D．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：
故选：C
3．【答案】C
【解析】【解答】解：对于二次函数的一般形式，抛物线的开口形状仅由二次项系数的绝对值决定，当两条抛物线的相等时，它们的形状完全相同。
题干中抛物线的二次项系数为，其绝对值为。
逐一计算各选项的二次项系数绝对值：
A选项二次项系数为，，与题干不相等；
B选项二次项系数为，，与题干不相等；
C选项二次项系数为，，与题干相等；
D选项二次项系数为，，与题干不相等。
故答案为：C
4．【答案】C
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，则，
是的直径，
，
，
故答案为：D ．
6．【答案】D
【解析】【解答】设截面圆的半径为r cm，则OA=OD=r cm.
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=×12=6 cm，
∵CD=3 cm，
∴OC=OD CD=(r 3) cm.
在Rt△OAC中，
由勾股定理得：OA2=AC2+OC2，
代入得：r2=62+(r 3)2
展开化简：r2=36+r2 6r+9，
6r=45，
r=7.5.
∴ 截面圆的半径为7.5 cm，
故答案为：D.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：设袋中红球有 个，
根据题意，可得 ，
解得： ，
则红球的个数为35个.
故选： .
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限，
∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，，
故选：D．
9．【答案】C
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴，∠ADC=∠ABC=90°，
∴
∴OA=OB=OC=2，
设过点B、O、C三点的圆的圆心为M，半径为R，连接MO交BC雨点E，连接BM、PM，连接AM交圆M于点P'，
∴点M在线段BC的垂直平分线上，
∴，
在Rt△BOE中，，
∴EM=R-1；
在Rt△BME中，BM2=ME2+BE2即R2=+（R-1）2
解之：R=2，
∴ME=1，
过点M作MG⊥AB交AB的延长线于点G，
∴∠GBC=180°-90°=90°，
∴∠GBC=∠G=∠BEM=90°，
∴四边形BGME是矩形，
∴BG=ME=1，GM=BE=，
∴AG=AB+BG=3，
在Rt△AGM中，
∵AP+PM≥AM，
∴当点A、P、M三点共线时，AP取最小值，此时点P在点P'的位置，
∴AP的最小值=AM-R=；
∵，
∴AM2+MC2=AC2，
∴△AMC是直角三角形，∠AMC=90°，
∴弧CP的长为：
故答案为：D.
11．【答案】，
【解析】【解答】抛物线（为常数)的对称轴为直线，x=-=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
所以关于x的一元二次方程的两个实数根是，=3.
故答案为，=3
12．【答案】1≤y≤5
【解析】【解答】解：
当x=-2时，有最小值1，
又∵抛物线开口向上，离对称轴远的点的函数值大，
∴当x=0时，有最大值5，
故当 时，二次函数 的最小值是1，最大值是5.
综上所述， y 的取值范围为 1≤y≤5.
故答案为：1≤y≤5.
13．【答案】
【解析】【解答】解：将这三辆车分别记为A，B，C，列表如下：
A B C
A (A， A) (A， B) (A， C)
B (B， A) (B， B) (B， C)
C (C， A) (C， B) (C， C)
共有9种等可能的结果，其中小泉与小元同车的结果有3种，
∴小泉与小元同车的概率为
故答案为：
14．【答案】
15．【答案】
【解析】【解答】 连接OC，
∵AB是⊙O的直径，且AB=8，CD⊥AB，
∴OA=OB=OC=4，CE=2CD，
∵D为OB中点，
∴DO=
根据勾股定理，得CD=，
∴CE=2CD=，
故答案为： .
16．【答案】
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形，
设AD=2a，则AG=4a
∵OG⊥BC，OF⊥AB，
∴CE=2CG，AD=2AF，∠OCG=∠OAF，
又∵OABC是菱形，
∴∠C=∠A，OA=OC=AB=BC=4a，
∴△OGC≌△OFA，
∴CG=AF，
∴CE=AD=2a，OH=CG=AF=a，
∴HA=3a，EH=OG=，
∴，
∴，
故答案为：.
17．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C
A (A，A) (A，B) (A，C)
B (B，A) (B，B) (B，C)
C (C，A) (C，B) (C，C)
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分到同一个班的结果有3种，
∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为
18．【答案】（1）不可能事件
（2）解：，
答：转动一次转盘获得20元购物券的概率是；
（3）解：得到购物券的概率为，
未得到购物券的概率为，
∵，
∴未得到购物券的概率比得到购物券的概率大．
19．【答案】（1）
（2）2
（3）
20．【答案】（1）的长为或
（2）矩形菜园的面积不可能是，理由如下：
根据题意得，，
整理得，，
∴，
∴方程无实数解，
∴矩形菜园的面积不可能是；
（3）当时，矩形菜园的面积最大，最大面积为
21．【答案】（1）证明：，OE为半径，
.
，，。
，。
（2）解：设的半径为r，如图，连接OC.
，，，
，
，，
的半径为5.
22．【答案】（1）解：由题意可得，矩形AOCB中， OA=1m， OC=5m， ∴A（0， 1)， B（5， 1)，∵点A、点B都在抛物线上，且两点纵坐标相等（抛物线上纵坐标相同的点关于对称轴对称)，
∴抛物线对称轴为直线 ∵隧道最高点距离地面
∴抛物线顶点坐标为 设抛物线顶点解析式为 将A （0，1)代入解析式（代入已知点坐标求未知参数)，
解得
（2）解：∵GH为高度3m的竖直支撑杆，∴点G的纵坐标为3，
令y=3，代入抛物线解析式，得 整理得
因式分解得（x-1)（x-4) =0，解得x1=1， x2=4，
∵点G在对称轴直线 右侧， ∴x=4， ∴G（4， 3)，设直线OG解析式为y= kx，将G（4， 3)代入解析式3=4k，解得 ∴直线OG解析式为 设P、M横坐标为x，x可取0到4之间的任意实数，∵PM为竖直线段，∴PM长度等于上方点纵坐标减去下方点纵坐标
化简得 ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线
∴当 时，PM可以取得整个变化过程的最大值，将 代入式子，
∴清洁臂最大伸出长度超出2.5米的伸缩上限，
∴伸缩清洁臂不能彻底清洁OG上方的玻璃
23．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
由题意可得：当抛物线与有且仅有一个公共点时即过顶点，
∴；
（2）解：∵时，抛物线恒在直线的上方，
∴恒成立，
即当时，恒成立，
当时，；当时，，
即，
解得；
（3）解：结合（1）可知，抛物线顶点坐标为，
令，得，
设，
∵在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）有且只有8个，
∴且，
解得．
即．
24．【答案】（1）证明：如图：连接，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：∵平分，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：的值不变，且值为，理由，
如图：连接，设圆O的半径为r，
由（2）知，是等腰直角三角形，
∴、，
在中，，
∴，
∵，
∴．
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