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2026年期中考试强化抢分训练卷浙教版2026—2027学年九年级数学上册（浙江省专用）
（测试范围：第1章二次函数—第3章圆的基本性质，全卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列事件是必然事件的是（　　）
A．任意一个三角形，它的内角和等于
B．掷一枚硬币，正面朝上
C．明天早上会下雨
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等
2．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，是的直径，是的弦，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列各点中，是抛物线的顶点是（　　）
A． B． C． D．
7．某商场开业设置游戏规则如下：在10个商标牌中，有4个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，无奖金．有包含甲、乙两名幸运顾客在内的10名顾客参与这个游戏，并有如下两种游戏方式．方式一：10名顾客轮流取走10个商标牌（不用放回），其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．方式二：10名顾客轮流上台取一个商标牌，每位顾客登记结果后放回商标卡，其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．下列对甲、乙获得奖金的概率表述正确的是（　　）
A．在方式一中，甲获得奖金的概率大于乙获得奖金的概率
B．甲在方式一中获得奖金的概率大于在方式二中获得奖金的概率
C．甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的
D．甲、乙在两种方式中获得奖金的概率不确定，与另外8名顾客有关
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，延长AD与BC相交于点E，连接OD，若AB=BC，∠COD=42°，则∠DCE 的度数为（　　）
A．24° B．38° C．42° D．66°
9．如图，倒放在地面MN上的靠背椅ABCDE，其中四边形ABCD为正方形，边长为1，点C，D，E在同一直线上，∠BAN=30°.现将其绕点A顺时针旋转后，使得AB与地面MN重合，则点E旋转路径的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11． 已知某扇形的半径为 6厘米，弧长为 4π厘米，则该扇形的面积是　 　平方厘米（结果保留π).
12．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是　 　．
13．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为　 　.
14．如图，在中，直径弦，E是垂足，若，，则　 　．
15．如图是正方形网络，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成黑色，则使整个涂黑部分为轴对称图形的概率是　 　．
16．如图，矩形中，，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点，若的度数为，则直径长为　 　．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为40000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．
（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率
（2）请你估计袋中白球接近多少个？
18．春季防流感，人人有责，勤洗手，加强个人卫生可以更好的防范病菌。小王和小李计划每人购买一瓶某品牌免洗洗手液，该品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）.上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
（1）小王随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是　 　．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小王和小李选择同一种型号免洗洗手液的概率．
19．如图，弦，相交于点P，．
（1）求证：；
（2）若连接恰是的直径，且，则 ．
20．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE=CE
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由
（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．
21．首届“湘超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销.
（1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A 品牌的单件进价比 B 品牌的单件进价高20 元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B 品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价；
（2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足m=-2a+400，请你帮忙计算单件售价a为多少元时，该店销售A品牌足球的利润最大
22．如图，已知二次函数y=x2-4 x+m的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）且x1＜x2，与y轴交于点C．
（1）求m的取值范围．
（2）当OC=6时，求抛物线的顶点坐标．
（3）设抛物线的顶点为D，当△ABD为等边三角形时，求m的值．
23．我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”．
（1）直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；
（2）对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值．
24．如图，线段为内一条弦，点A为弦上方圆弧上一点，延长到D，连接交于点F，过点D作，交直线于点E．
（1）如图，若，为直径，求的度数．
（2）如图，当经过圆心O，求证：．
（3）如图，若的半径等于2，，且点C为的中点，求的最大值．
参考答案
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意；
B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意；
D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
12．【答案】B
3．【答案】C
【解析】【解答】解：连接，
是的直径，
，
，
，
与都是所对的圆周角，
．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，是的直径，
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
故答案巍峨：B．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：将函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为．
故选：C．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴抛物线的顶点坐标为．
故选：D．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：在方式一中，甲和乙获得奖金的概率都是，故选项A错误；
在方式二中，甲和乙获得奖金的概率都是，故选项B错误；
即甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的，C选项正确，D选项错误；
故答案为：C．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：，则，
是的直径，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
．
故答案为：D.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ABCD为正方形，点C，D，E在同一直线上
∴EC//AB，∠CDA=∠EDA=90°
∴∠CEA=∠BAN=30°
∵AD=1
∴AE=2AD=2.
根据题意可知点E的旋转路径是以点A为圆心，AE长为半径，旋转角度为30°的弧长
∴
故答案为：B.
10．【答案】C
【解析】【解答】①由二次函数的图象开口向上，可知，
与轴交于负半轴，
，，故①正确；
②二次函数的图象，与x轴交于、点，
方程的根是；故②正确
③二次函数的图象，与x轴交于，
由图象可知，当时，故③错误；
④观察图象可知，对称轴为，
在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
即当时，y随x的增大而增大．
所以正确的有①②④3个．
故答案为：C．
11．【答案】12π
【解析】【解答】解：.
故答案为：12π.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，，解得（不合题意舍去），
∴此运动员将铅球推出的距离是.
故答案为：.
13．【答案】x1=-2，x2=1
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
∴方程组的解为，，
即关于的方程的解为，.
故答案为：x1=-2，x2=1.
14．【答案】8
【解析】【解答】解：连接．
，，
，
∴，，
∵直径弦，
∴，
∴．
故答案为：8．
15．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可得，符合条件的小方格有3个，如图所示，
∴使整个涂黑部分为轴对称图形的概率为；
故答案是：．
【分析】本题以网格中涂色构造轴对称图形为背景，考查了轴对称图形的定义及概率的计算。先找出使整个涂黑部分成为轴对称图形的白色小方格个数，共3个；再根据概率公式，用符合条件的方格数除以白色方格总数13，得概率为。
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵是直径，
∴，
∵的度数为，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
17．【答案】（1）解：1000÷4000=，
∴参加一次这种活动得到的福娃玩具的频率为；
（2）解：∵试验次数很大，大数次试验时，频率接近于理论概率，∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为．设袋中白球有x个，根据题意得=解得x=18，经检x=18是方程的解
∴估计袋中白球接近18个．
18．【答案】（1）
（2）列表如下：
A B C
A (A，A) (B，A) (C，A)
B (A，B) (B，B) (C，B)
C (A，C) (B，C) (C，C)
由表可知，共有9种等可能结果，其中王和小李选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小王和小李选择同一种型号免洗洗手液的概率为 =
19．【答案】（1）证明：在与中，
，
∴；
（2）如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
20．【答案】（1）证明：∵AD是直径，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BE=CE
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB=AC，
∴AD⊥BC，BE=CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中
∴△BED≌△CEF，
∴CF=BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴四边形BFCD是菱形
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，
∴CE2=DE AE，
设DE=x，
∵BC=8，AD=10，
∴42=x（10﹣x），
解得：x=2或x=8（舍去）
在Rt△CED中，
21．【答案】（1）解：设B品牌足球的单件进价为x元，则A品牌足球的单件进价为(x+20)元，由题意得
解得x=80，
经检验，x=80是原方程的解.
∴x+20=100.
答：A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元.
（2）解：设销售A品牌足球的利润为W元，
则W=(a-100)(-2a+400)
因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当a=150元时，W取得最大值.
答：当单件售价a=150元时，该店销售A品牌足球的利润最大.
22．【答案】（1）解：∵二次函数y=x2-4 x+m的图象与x轴相交于不同的两点，
∴△=（-4 ）2-4×1×m＞0，
解得：m＜12
（2）解：∵OC=6，
∴m=6，
∴二次函数解析式为y=x2-4 x+6，
∴抛物线的顶点坐标为（- ， ），即（2 ，-6）．
（3）解：∵二次函数y=x2-4 x+m的图象与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），
∴x1+x2=4 ，x1x2=m，
∴AB=x2-x1= ．
设对称轴与x轴的交点为H，如图所示．
∵二次函数解析式为y=x2-4 x+m，
∴点D的坐标为（- ， -），即（2 ，m-12），
∴DH=12-m．
∵△ABD为等边三角形，
∴DH= AB= ，
∴12-m= ，
解得：m1=12（不合题意，舍去），m2=9．
∴当△ABD为等边三角形时，m的值为9．
23．【答案】（1）解：，
即，
解得，；
（2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
∵函数与互为“轮转对称函数”，
，
函数的图象的对称轴为；
②，
令，
解得，，
函数的图象过定点，．
（3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，
且，
，
同号，
又且，
，
设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
，
当时，，
即的最大值为6．
24．【答案】（1）解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵∠FAB+∠FCB=180°，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（2）证明：∵，且经过圆心O，
∴，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）.
（3）解：∵点C为的中点，，
∴，
过点O作交BC于点M，交于点N，
∴，
∵，
∵，
∴∠OMC=90°，
∴，
∴，
∴时的垂直平分线，
∴OC=CN，
∴，
∴是等边三角形，
同理可证是等边三角形，
∴
∴，
∴；
取的中点H，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点C为的中点，H为BE的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴当为直径时，有最大值，即此时的值最大，
∴的最大值为．
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