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第五章 一元函数的导数及其应用
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 掌握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质，并解决一些实际问题
命题情境点 生活实践情境：2、12题 探索创新情境：8、19题 课程学习情境：3、5题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设函数f(x)=3x，则=
A.0
B.1
C.2
D.3
2.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组上线新成昆铁路和达成铁路.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)的关系为v=1.6t+0.4t2，t∈[0，12]，则当t=10 s时，“高原版”复兴号动车的加速度为
A.8 m/s2
B.16 m/s2
C.9.6 m/s2
D.10.8 m/s2
3.若函数f(x)=acos x+sin 5x在x=处有最值，则a=
A.1
B.2
C.0
D.-1
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e-x(x-3)，若x1，x2是f(x)的两个极值点，则f(x1)+f(x2)=
A.0
B.1
C.-1
D.2
5.已知函数f(x)=2x2+kx+ln x在区间(1，+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是
A.[-5，+∞)
B.(-∞，-5)
C.[-5，5)
D.(-5，+∞)
6.已知函数f(x)=x3-2mx2+mx+7在R上无极值，则实数m的取值范围为
A.(-∞，0]∪
B.
C.
D.[0，1]
7.若实数x，y满足ex+x-ln y-e2y=2，则xln y的最小值为
A.-
B.0
C.-
D.-1
8.已知f(x)=，g(x)=ex+-1，若 x>0，g(x)的图象始终在f(x)的图象的上方，则实数a的取值范围为
A.(-∞，3)
B.(0，3)
C.[-3，1)
D.(1，3)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，这是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象，则下列结论正确的是
A.f(x)在(-3，1)上单调递增
B.f(x)在(1，2)上单调递增
C.当x=2时，f(x)取得极大值
D.当x=4时，f(x)取得极小值
10.从点P(2，t)可向曲线y=x-x3引三条不同的切线，则t的取值可以为
A.1
B.0
C.2
D.-4
11.设函数f(x)=(x+2)2(x-3)，则下列结论正确的是
A.x=-2是f(x)的极小值点
B.当0C.当-3D.曲线g(x)=f(x)-x2+8x+10有且只有一个对称中心，且该对称中心的坐标为(0，-2)
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加2元，种植x万千克莲藕的销售额(单位：万元)是f(x)=-x3+x2+2x，则要使利润最大，每年需种植莲藕　　　　万千克.
13.若函数f(x)=2x2-ax+ln x是增函数，则a的取值范围是　　　　.
14.已知函数f(x)=，g(x)=ebx-b(a，b∈R)，若 b∈R，f(x)≤g(x)恒成立，则函数f(x)的最大值为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=x3-3ax-2在x=1处取得极值.
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)在[-3，2]上的单调区间.
16.(15分)已知函数f(x)=(a-x)ex，a∈R.
(1)若a=2，求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；
(2)若不等式f(x)>1-x没有整数解，求实数a的最大值.
17.(15分)已知函数f(x)=(x2-2x-8)ex.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若g(x)=f(x)-a(a∈R)，讨论函数g(x)的零点个数.
18.(17分)已知函数f(x)=-mx-1.
(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线斜率；
(2)当m=-2时，求函数f(x)在[3，5]上的最小值；
(3)若f(x)在(0，+∞)上存在零点，求实数m的取值范围.
19.(17分)洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数F(x)，G(x)，当F(x0)=0，G(x0)=0时，=.已知函数f(x)=ax3+sin x-x，h(x)=3sin x-xcos x-3x.
(1)证明：h(x)在区间[0，2π]上单调递减.
(2)对于x∈[0，2π]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
(3) n∈N*，证明：cos+cos+…+cos>n-(附：e≈2.718 ，e2≈7.389 ).
【参考答案】
1.D　解析：=f'(1)=3.
2.C　解析：由题意可得“高原版”复兴号动车的加速度a=v'=1.6+0.8t，将t=10 s代入上式，可得a=1.6+0.8×10=9.6 m/s2.
3.D　解析：函数f(x)=acos x+sin 5x的定义域为R，因为f(x)在x=处有最值，所以x=是函数f(x)的极值点，又因为f'(x)=-asin x+cos 5x，所以f'=-asin+cos=0，解得a=-1，经检验，满足极值条件.
4.A　解析：当x>0时，f(x)=e-x(x-3)，此时f'(x)=-e-x(x-3)+e-x=e-x(4-x)，
故当00，f(x)单调递增，当x>4时，f'(x)<0，f(x)单调递减，故当x=4时，f(x)取极大值.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x=-4时，f(x)取极小值，故f(4)+f(-4)=0.
5.A　解析：由于函数f(x)=2x2+kx+ln x在区间(1，+∞)上单调递增，所以f'(x)=4x+k+≥0在(1，+∞)上恒成立，即4x+≥-k恒成立.因为y=4x+在(1，+∞)上单调递增，所以4x+>4+1=5，故-k≤5，解得k≥-5，所以实数k的取值范围为[-5，+∞).
6.B　解析：由f(x)=x3-2mx2+mx+7得f'(x)=x2-4mx+m，因为函数f(x)=x3-2mx2+mx+7在R上无极值，所以f'(x)=x2-4mx+m在R上无变号零点，
所以Δ=(-4m)2-4m≤0，解得0≤m≤，即实数m的取值范围为.
7.D　解析：构造函数f(x)=ex+x，则f'(x)=ex+1>0恒成立，所以f(x)在(-∞，+∞)上单调递增.因为ex+x-ln y-e2y=2，所以ex+x=2+ln y+e2y=+ln(e2y)，即f(x)=f(ln(e2y))，所以x=ln(e2y)，即e2y=ex，故y=ex-2，所以xln y=x(x-2)=(x-1)2-1.因为x=1∈(0，+∞)，所以当x=1时，(xln y)min=-1.
8.A　解析：由题意可得ex+-1->0，即xex+2-x-ln x-a>0恒成立，即a0恒成立，所以h'(x)=(x+1)ex-1-在(0，+∞)上单调递增，易知h'(0.1)=(0.1+1)e0.1-1-10<0，h'(1)=2e-1-1>0，所以存在唯一的x0，使得h'(x0)=0，且(x0+1)-1-=0，即(x0+1)=，所以=，左右两边同时取对数可得x0=-ln x0，所以当x∈(0，x0)时，h'(x)<0，当x∈(x0，+∞)时，h'(x)>0，所以h(x)=xex+2-x-ln x在x∈(0，x0)上单调递减，在x∈(x0，+∞)上单调递增，所以h(x)min=x0+2-x0-ln x0=1+2=3，所以a<3.所以实数a的取值范围为(-∞，3).
9.BCD解析：对于选项A，由图知，当x∈(-3，1)时，f'(x)的符号有正有负，f(x)不是单调函数，所以选项A错误；对于选项B，由图知，当x∈(1，2)时，f'(x)>0，f(x)是增函数，所以选项B正确；对于选项C，由图知f'(2)=0，且在x=2左侧附近，f'(x)>0，在x=2右侧附近，f'(x)<0，所以x=2是极大值点，f(x)在x=2处取到极大值，所以选项C正确；对于选项D，由图知f'(4)=0，且在x=4左侧附近，f'(x)<0，在x=4右侧附近，f'(x)>0，所以x=4是极小值点，f(x)在x=4处取到极小值，所以选项D正确.
10.ABD解析：设切点为Q(x0，x0-)，其中x0≠2，由y=x-x3求导得y'=1-3x2，则kPQ==1-3，依题意，方程2-6+2-t=0有三个不同的解.
设f(x)=2x3-6x2+2-t，则该函数有三个不同的零点.
由题意得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2，令f'(x)>0，得x<0或x>2，令f'(x)<0，得0所以函数f(x)在区间(0，2)上单调递减，在区间(-∞，0)，(2，+∞)上单调递增，
当x→-∞时，f(x)→-∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，则函数f(x)在x=0时取得极大值f(0)=2-t，在x=2时取得极小值f(2)=-6-t，如图所示.
由图知，函数f(x)=2x3-6x2+2-t有三个不同的零点等价于解得-611.BCD　解析：因为函数f(x)=(x+2)2(x-3)，所以f'(x)=2(x+2)(x-3)+(x+2)2=(x+2)(3x-4)=3(x+2)，结合导函数的图象可知，f(x)在(-∞，-2)和上单调递增，在上单调递减，可知x=-2是f(x)的极大值点，A错误；因为012.5　解析：种植x万千克莲藕的销售额是f(x)=-x3+x2+2x，成本为(3+2x)万元，则利润g(x)=f(x)-2x-3=-x3+x2-3，x∈(0，10]，g'(x)=-x2+x=-x(x-5).当x∈(0，5)时，g'(x)>0，函数g(x)在(0，5)上单调递增；当x∈(5，10)时，g'(x)<0，函数g(x)在(5，10)上单调递减.所以当x=5时，g(x)取得最大值，即当利润最大时，每年需种植莲藕5万千克.
13.(-∞，4]　解析：由题意知函数f(x)=2x2-ax+ln x的定义域为(0，+∞)，f'(x)=4x-a+.因为f(x)是增函数，所以4x-a+≥0，即a≤4x+对任意的x>0恒成立，所以a≤.又x>0时，4x+≥2=4，当且仅当4x=(x>0)，即x=时取等号，所以a≤4，故实数a的取值范围是(-∞，4].
14.1　解析：因为f(x)≤g(x)，所以≤ebx-b，即xebx-bx-ln x-a=ebx+ln x-(bx+ln x)-a≥0.令h(x)=ex-x，其中x∈R，则h'(x)=ex-1，由h'(x)<0可得x<0，由h'(x)>0可得x>0，所以数h(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)，所以h(x)≥h(0)=1，即ex≥x+1，所以a≤1.又函数f(x)=的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=，由f'(x)>0可得0e1-a，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1-a)，单调递减区间为(e1-a，+∞)，故f(x)max=f(e1-a)=≤1.
15.解析：(1)f'(x)=3x2-3a，∵函数f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)=3-3a=0，即a=1，即f'(x)=3x2-3=3(x2-1)，当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，符合题意，∴a=1.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x-2，则f'(x)=3x2-3.令f'(x)=3x2-3>0，解得x<-1或x>1；令f'(x)=3x2-3<0，解得-116.解析：(1)当a=2时，f(x)=(2-x)ex，则f'(x)=(1-x)ex=1，即1-x=e-x，
令φ(x)=e-x+x-1，则φ'(x)=-e-x+1=，令φ'(x)>0，得x>0，令φ'(x)<0，得x<0，
所以φ(x)min=φ(0)=0，故有且仅有x=0，f'(0)=1，此时f(0)=2，所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程为f(x)在x=0处的切线方程，该切线方程为y=x+2.
(2)由f(x)=(a-x)ex>1-x得aex>xex-x+1，即a>x-，所以a>x-没有整数解，设h(x)=x-，h'(x)=1-=，设t(x)=ex+x-2，t'(x)=ex+1>0，所以t(x)单调递增，且t(0)=-1<0，t(1)=e-2>0，所以存在唯一的x0∈(0，1)，使t(x0)=+x0-2=0，即h'(x0)=0，当x∈(-∞，x0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(x0，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，又h(0)=h(1)=1，所以当x∈Z时，h(x)≥1，
所以当a≤1时，a>h(x)没有整数解，即f(x)>1-x没有整数解，故实数a的最大值为1.
17.解析：(1)f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x-8)ex=(x2-10)ex，x∈R，令f'(x)=0 x=±.
所以当x∈(-，)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(-∞，-)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的极大值为f(-)=(2+2)，极小值为f()=(2-2).
(2)g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点个数即为y=f(x)与y=a图象的交点个数，由f(x)=(x2-2x-8)ex，可得f(-2)=0，f(4)=0，所以当x<-2时，f(x)>0；当-24时，f(x)>0.结合(1)可作出f(x)的图象(图略)，所以当a<(2-2)时，函数g(x)无零点；当a=(2-2)或a>(2+2)，函数g(x)有一个零点；当(2-2)18.解析：(1)当m=1时，f(x)=-x-1，f'(x)=-1，∴曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线斜率k=f'(2)=-1.
(2)当m=-2时，f(x)=+2x-1，f'(x)=+2，令g(x)=f'(x)=+2，g'(x)=，令g'(x)=0，得x=3，∴当x∈(-∞，3)时，g'(x)>0，∴g(x)在(-∞，3)上单调递增，即f'(x)在(-∞，3)上单调递增.∴x∈(3，+∞)时，g'(x)<0，∴g(x)在(3，+∞)上单调递减，即f'(x)在(3，+∞)上单调递减.∵f'(0)=0，且x>0时，f'(x)>0恒成立，∴f(x)在[3，5]上的最小值为f(3)=5-.
(3)f(x)=-mx-1，∵x∈(0，+∞)时，1-x<1，ex>1，∴-1<0，若m≥0，则f(x)<0恒成立，∵f(x)在(0，+∞)上存在零点，∴m<0；f'(x)=-m，由(2)可知f'(x)在(-∞，3)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减.∴f'(x)max=f'(3)=-m，∵m<0，∴f'(3)>0.
①若f'(0)≥0，即-2-m≥0，m≤-2时，x∈(0，3)，f'(x)>f'(0)≥0，x∈(3，+∞)，f'(x)=-m>0，∴x∈(0，+∞)，f'(x)>0，∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)=0，∴f(x)无零点.
②若f'(0)<0，即-2-m<0，-20， x0∈(0，3)使得f'(x0)=0，当x>3时，f'(x)>0，∴x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (-∞，x0) x0 (x0，+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
∴f(x)在(0，x0)上单调递减，∴f(x0)0，h(t)单调递增，∴h(t)>h(1)>e>0，∴et-t+1>0，et-t+1>0，>-1，∴>-1，∴f>0，∴f(x0)f<0，∴f(x)在(x0，+∞)上存在零点.综上所述，若f(x)在(0，+∞)上存在零点，实数m的取值范围为(-2，0).
19.解析：证明：(1)h(x)=3sin x-xcos x-3x，∴h'(x)=2cos x+xsin x-3，令m(x)=2cos x+xsin x-3，则m'(x)=-sin x+xcos x，令n(x)=-sin x+xcos x，则n'(x)=-xsin x，若x∈[0，π]，则n'(x)≤0，∴n(x)单调递减，n(x)≤n(0)=0，∴m(x)单调递减，m(x)≤m(0)=0，∴h(x)在[0，π]上单调递减.若x∈(π，2π]，则n'(x)≥0，∴n(x)单调递增，∴n(π)0，m(x)单调递增，且m(π)=-6<0，m(2π)=0，∴m(x)≤0，
∴h(x)在区间(π，2π]上单调递减，且h(x)在[0，2π]上连续.综上，h(x)在区间[0，2π]上单调递减.
(2)当x=0时，f(0)=0，成立.当0令g(x)=，∴g'(x)==，由(1)可知h(x)≤h(0)=0，∴g'(x)≤0，∴g(x)在(0，2π]上单调递减，g(x)< g(x).
由洛必达法则：g(x)=====，∴a≥，∴a≥2.
(3)当a=2且x≥0时，f'(x)=x2+cos x-1，令G(x)=x2+cos x-1，则G'(x)=x-sin x，令H(x)=x-sin x，则H'(x)=1-cos x≥0，∴G'(x)在[0，+∞)上单调递增，∴G'(x)≥G'(0)=0，
即G(x)在[0，+∞)上单调递增，G(x)≥G(0)=0，∴cos x≥1-x2(当x=0时取等号)，
∴cos>1-，∴cos+cos+…+cos>n-=n-·=n-.
∵<<，∴n->n-，即cos+cos+…+cos>n-.

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