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导数的概念及意义
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 了解导数的几何意义，掌握导数的四则运算
命题情境点 生活实践情境：5、8题 探索创新情境：11、19题 课程学习情境：1、9题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若函数f(x)=ax4-2x2+3满足f'(-1)=0，则a=
A.1
B.-2
C.2
D.0
2.已知f(x)在x=6处可导，且f(6)=1，f'(6)=3，则=
A.48
B.24
C.6
D.3
3.函数f(x)=ex(sin x+cos x)在x=处的切线的斜率为
A.1
B.2
C.3
D.0
4.已知直线y=k(x+1)与曲线y=ex相切，则切点的横坐标为
A.0
B.1
C.2
D.-1
5.已知y=f(x)是可导函数，如图，直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=，g'(x)是g(x)的导函数，则g'(3)=
A.0
B.
C.-
D.
6.过点且与曲线y=相切的切线的斜率为
A.
B.
C.0
D.e
7.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)=f'sin x-cos x，则f'=
A.-
B.
C.0
D.-
8.已知函数f(x)=(e为自然对数的底数)，则函数F(x)=f(f(x))-f(x)-1的零点个数为
A.6
B.5
C.4
D.3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的是
A.若f'(1)=2，则=2
B.若f'(x0)=-3，则=-12
C.若y=xln(2x+5)，则y'=ln(2x+5)+
D.若y=102x+3，则y'=102x+3ln 10
10.已知点P是曲线y=x2-ln x上任意一点，则
A.y'=2x+
B.曲线不与直线y=0相切
C.直线y=x+1与该曲线相切
D.点P到直线y=x-2的距离的最小值为
11.已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g'(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g'(x)-5=0，f(x)-g'(4-x)-5=0，若g(x)为偶函数，则下列结论正确的是
A.g'(x)是奇函数
B.f(2)=5
C.g(0)=0
D.f(-1)+f(1)=10
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足=，则导函数f'(x)<0的解是　　　　.
13.已知函数f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=x2+ln(-x)，则曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为　　　　.
14.已知直线y=-x-2a与曲线y=eex，y=分别交于点A，B，则当|AB|取最小值时，直线AB的方程为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=-x2+x.
(1)求函数f(x)在[2，2+Δx](Δx>0)上的平均变化率，当Δx→0时，求该平均变化率的值；
(2)若函数f(x)在[2，2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于-5，求Δx的取值范围.
16.(15分)已知函数f(x)=ax+sinx.
(1)若a=2，求导函数f'的值；
(2)若函数y=f(x)的图象存在两条相互垂直的切线，求实数a的值.
17.(15分)已知函数f(x)=(x+a+1)ex.
(1)求函数f(x)的导函数f'(x)；
(2)若曲线y=f(x)没有过坐标原点的切线，求a的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=|ln x-1|，0(1)求x1x2的值；
(2)若这两条切线分别与y轴交于P，Q两点，求的取值范围.
19.(17分)对于函数f(x)与g(x)的定义域D上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f(x)≤kx+b和g(x)≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f(x)与g(x)的“分界线”.
(1)若函数f(x)=-x2+2x，g(x)=x2+2x，D=R，求函数f(x)和g(x)的“分界线”.
(2)已知函数f(x)=x2-3ln x满足对任意的x∈(0，+∞)，f(x)≥-x+a恒成立.
①求实数a的取值范围；
②若点(x，y)在函数f(x)的图象上，求(m∈R)的最小值.
【参考答案】
1.A　解析：f'(x)=4ax3-4x，由f'(-1)=-4a+4=0，得a=1.
2.C　解析：∵f'(6)=3，∴=3，∴==[f(6)+f(6)]·f'(6)=(1+1)×3=6.
3.D　解析：因为函数f(x)=ex(sin x+cos x)，所以f'(x)=ex(sin x+cos x+cos x-sin x)=2excos x，所以f'=0.
4.A　解析：设切点为(x0，y0)，∵y'=ex，∴k=，又∵y0=，y0=k(x0+1)，∴=(x0+1)，解得x0=0.
5.C　解析：由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线的斜率等于-，∴f'(3)=-.
∵g(x)=，∴g'(x)=，∴g'(3)==-.
6.C　解析：因为y=，所以y'=，设切点为，则y'=，
所以切线方程为y-=(x-x0).又切线过点，所以-=·(-x0)，解得x0=e，所以切线的斜率k==0.
7.B　解析：因为f(x)=f'sin x-cos x，所以f'(x)=f'cos x+sin x，
所以f'=f'cos+sin，即f'=1，所以f(x)=sin x-cos x，
f'(x)=cos x+sin x.故f'=cos+sin=.
8.A　解析：设t=f(x)，由F(x)=0，得f(t)=t+1.作出函数y=f(x)，y=x+1的图象，如图所示.
直线y=k1x+1与曲线y=e-x相交于点(0，1)，设直线y=k2x+1与曲线y=ln x相切，切点为(x1，y1)，则解得x1=e2，k2=，故直线y=t+1与f(t)的图象有3个交点.不妨设交点的横坐标分别为t1，t2，t3，且t19.BC　解析：对于A项，==f'(1)=1，A项错误；对于B项，根据f'(x0)=，
得=4=4f'(x0)=-12，B项正确；对于C项，y'=[xln(2x+5)]'=x'ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]'=ln(2x+5)+x··(2x+5)'=ln(2x+5)+，C项正确；对于D项，令u=2x+3，则y=10u，∴y'x=y'u·u'x=10u·ln 10·(2x+3)'=2×102x+3ln 10，D项错误.
10.BD　解析：易知y'=2x-，故A项错误；
由题意知y=x2-ln x的定义域为(0，+∞)，根据幂函数与对数函数增长率的关系，可知x2>ln x，故曲线不与直线y=0相切，故B项正确；
令y'=1，解得x=1，故与该曲线相切的斜率为1的切线方程为y=x，故C项错误；
易知当点P的坐标为(1，1)时，点P到直线y=x-2的距离的最小值dmin==，故D项正确.
11.ABD解析：g(x)是偶函数，则g(-x)=g(x)，两边求导得-g'(-x)=g'(x)，所以g'(x)是奇函数，A项正确；由f(x)+g'(x)-5=0，f(x)-g'(4-x)-5=0，得f(x)-5=-g'(x)=g'(4-x)，即g'(-x)=g'(-x+4)，所以g'(x)是周期函数，且周期为4，由周期性得g'(-2)=g'(-2+4)=g'(2)，由奇函数的性质得g'(-2)=-g'(2)，故g'(2)=0，则f(2)=5+g'(2)=5，B项正确；无法求得g(0)的值，C项错误；根据等式f(x)=5-g'(x)=5+g'(-x)，g'(-x)是奇函数，得f(x)关于点(0，5)对称，故f(-1)+f(1)=10，D项正确.
12.(1，2)　解析：由已知可得f(x)的导函数f'(x)=，由f'(x)<0，解得113.9x-2y-10+2ln 2=0　解析：若x>0，则-x<0，由f(x)是偶函数，得f(-x)=ln x+x2=f(x)，∴当x=2时，f(2)=4+ln 2，此时f'(x)=2x+，则f'(2)=，
∴曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y-4-ln 2=(x-2)，即9x-2y-10+2ln 2=0.
14.x+y=0　解析：设与直线y=-x-2a垂直，且与y=eex相切的直线为l1，与直线y=-x-2a垂直，且与y=相切的直线为l2，所以==1.设直线l1与曲线y=eex的切点为M(x1，y1)，因为y'=eex+1，所以=1，解得x1=-，y1=，即M.设直线l2与曲线y=的切点为N(x2，y2)，因为y'=，所以=1，解得x2=，y2=-，即N.故kMN=-1，当直线y=-x-2a与直线MN重合时，|AB|最小，此时直线AB的方程为x+y=0.
15.解析：
(1)函数y=f(x)在[2，2+Δx]上的平均变化率为===-3-Δx，则当Δx→0时，函数f(x)的平均变化率为-3.
(2)由-3-Δx≤-5，得Δx≥2，又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是[2，+∞).
16.解析：(1)由题意可知f'(x)=2+cos x，故f'=2.
(2)因为f(x)=ax+sin x，所以f'(x)=a+cos x.因为函数f(x)=ax+sin x的图象存在两条相互垂直的切线，所以不妨设函数f(x)=ax+sin x在x=x1和x=x2处的切线互相垂直，则有(a+cos x1)(a+cos x2)=-1，即a2+a(cos x2+cos x1)+1+cos x2cos x1=0　①.
因为a一定存在，所以方程①一定有解，所以Δ=(cos x2+cos x1)2-4(1+cos x2cos x1)≥0，即(cos x1-cos x2)2≥4，解得cos x1-cos x2≥2或cos x1-cos x2≤-2.
又|cos x|≤1，所以cos x1=1，cos x2=-1或cos x1=-1，cos x2=1，Δ=0，
所以方程①变为a2=0，所以a=0.
17.解析：(1)f'(x)=ex+(x+a+1)ex=(x+2+a)ex.
(2)设切点为(x0，y0)，则y0=(x0+a+1)，切线的斜率k=(x0+2+a)，∴切线方程为y-(x0+a+1)=(x0+2+a)(x-x0).若切线过原点，则-(x0+a+1)=(x0+2+a)(-x0)，整理得+(a+1)x0-(a+1)=0，∵曲线y=(x+a+1)ex没有过坐标原点的切线，∴Δ=(a+1)2+4(a+1)<0，解得-518.解析：(1)当0由两条切线互相垂直，得-=-1，则x1x2=1.
(2)由(1)可知|OP|=2-ln x1，|OQ|=2-ln x2，==，令t=ln x2，t∈(1，2)，设g(t)==-1∈(3，+∞)，即∈(3，+∞).
19.解析：(1)令f(x)≤kx+b≤g(x)，取x=0，则b=0，进而有-x2+2x≤kx≤x2+2x，即x2+(k-2)x≥0且x2+(2-k)x≥0，解得k=2，故函数f(x)和g(x)的“分界线”为y=2x.
(2)①根据函数的图象(图略)可知，当曲线y=x2-3ln x的切线与直线y=-x平行时，f(x)≥-x+a恒成立.令y'=2x-=-1，解得x=1或x=-(舍去)，当x=1时，f(1)=1，故切线方程为y=-x+2，即a的取值范围为(-∞，2].
②=，求的最小值，即求曲线y=x2-3ln x上一点到点的距离的最小值，又因为点在直线y=-x上，所以当曲线的切线与直线y=-x平行时，切点(1，1)到直线x+y=0的距离为=，即最小值为.

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