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2026年秋高河中学高二第一次学情检测数学试题 8．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，若椭圆上总存在点 ，使得
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
一、单选题（每小题 5分）
1 A． B． C． D．．过点 且与直线 垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D． 二、多选题（每小题 6分）
2．如图，已知平行六面体 ，E，F分别是棱 ， 的中点，记 9．在两坐标轴上截距相等，且与点 的距离为 的直线方程可以是（ ）
，则 （ ） A． B． C． D．x-2y-3=0
A． B． 10．已知左、右焦点分别为 ， 的椭圆 上有一动点 （异于长轴端点 ，
C． D． ），则下列说法正确的是（ ）
3 A． 的取值范围为．若点 到直线 ： 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B． C． 或 9 D．1或 B．射线 与椭圆交于点 ，则 的最小值为
4．圆 和圆 的交点为 A，B，则有（ ） C. 椭圆上存在 4个不同的点 ，使得 为直角三角形
A．公共弦 AB所在直线的方程为
D．直线 ， 的斜率之积为
B．公共弦 AB所在直线的方程为
11．如图 1，《卢卡 帕乔利肖像》是意大利画
C．公共弦 AB的长为
师的作品.图 1中左上方悬着的是一个水晶多
D．P为圆 上一动点，则 P到直线 AB距离的最大值不是 面体，其表面由 18个全等的正方形和 8个全
等的正三角形构成，该水晶多面体的所有顶点
5．已知 F为椭圆 的右焦点，A为 C的右顶点，B为 C上的点， 都在同一个正方体的表面上，如图 2.若
，则（ ）
且 垂直于 x轴．若直线 AB的斜率为 ，则椭圆 C的离心率为（ ） A．
A． B． C． D． B．该水晶多面体外接球的表面积为
6．已知二面角 的平面角为 ， ，若 C．直线 与平面 所成角的正弦值为
，则 长为（ ）
A．4 B．2 C． D． D．点 到平面 的距离为
7．已知线段 是圆 的一条动弦，且 ，若点 P为直线 三、填空题（每小题 5分）
上的任意一点，则 的最小值为（ ） 12．一条沿直线传播的光线经过点 和 ，然后被 轴反射，则反射光
A．4 B．3 C．2 D．1 线所在直线的方程是______________
13．设椭圆的标准方程为 ，若焦距为 2，则 的值等于____________________
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14．棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E,F分别为 A1B1，BC的中点，P为线
段 BD1上的动点，则△PEF面积的最小值为__________________
四、解答题
15．（13分）已知圆 C的圆心在直线 x+ y﹣2＝0上，且经过点 A（4，0），B（2，2）． 18．（5+5+7=17分）可以证明：当 是圆 O： 上一点，则圆 O的过点
(1)求圆 C的方程；（6分）
的切线方程为 ；当 是圆 O： 外一点，过 作圆 O的两条
(2)若直线 l过点 P（3，4）与圆交于 M，N两点，且弦长 ，求直线 l的方程．
切线，切点分别为 ，则方程 表示直线 AB的方程，即切点弦所在直线方
（7分）
程.
请利用上述结论解决以下问题：
已知圆 C的圆心在 x轴非负半轴上，半径为 3，且与直线 相切，点 在直线
上，过点 作圆 C的两条切线，切点分别为 .
(1) 求圆 C的方程；
(2)当 时，求线段 AB的长；
(3)当点 在直线 上运动时，求线段 AB长度的最小值.
16.（15分）平面直角坐标系 中，点 ， ，
，点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程（7分）
(2)若 ，求 的面积．（8分）
19．（5+5+7=17分）如图 1，在平面五边形 ABCDE中，四边形 ABCD是边长为 1的菱
形，∠BCD=60°，AD⊥AE，AE= ．将△ADE沿 AD翻折至△ADP，如图 2．点M
在线段 PD上运动．
(1)若 PM=MD，证明：PB∥ 平面MAC；
(2)若 AM⊥CD，且 ，证明：平面 PAD⊥平面 PCD；
17．（7+8=15分）如图，直三棱柱 的所有棱长都是 2， 分别是 的
. (3)求二面角 P-CD-A的余弦值的最小值中点
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
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高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D A B B C D ABC AC BCD
12． 13．7或 5 14.
15．(1) (2) x﹣3＝0或 15x﹣8y﹣13＝0
【详解】（1）由题意可得： ，AB中点坐标为 M（3，1），
则直线 AB的垂直平分线方程为 y﹣1＝x﹣3，
与直线 x+y﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），
圆的半径 r＝4﹣2＝2， 圆的方程为： ．
（2）设圆心到直线的距离为 d，则 ，解得 d＝1，很明显直线斜率不存在时，直线 x﹣3
＝0满足题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为：y﹣4＝k（x﹣3），即 kx﹣y﹣3k+4＝0， 17．第（1）题几何法只需证明 AE⊥A1 D ，AE⊥BD即可
从而有： ，解得 ，则直线方程为 ，即 15x﹣8y﹣13＝0， 下面给出向量法
(1)证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ，
综上可得，直线方程为 x﹣3＝0或 15x﹣8y﹣13＝0．
的所有棱长都是 2，
16 (1) (2) 由直三棱柱 是 中点，
所以 ，又平面 平面 ，平面 平面
平面 ，
所以 平面 ， 由 分别为 的中点，可得
，可得 两两垂直.
以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
可得 ， ， ，
， ， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 .
（2）由（1）可得 平面 ，则 ，即为平面 的一个法向量，又由
，
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设直线 与平面 所成的角为 ，
可得 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为
.
18．（1）由题，设圆 C的标准方程为 ，
则 ，解得 . 故圆 C方程为 ；
（2）根据题意可知，直线 的方程为 ，即 ，
圆心 C到直线 的距离为 ，故弦长 ；
（3）设 ，则 ，又直线 方程为： ，故直线 过定点 Q ，
设圆心 C到直线 的距离为 ，则 ，
故当 最大时， 最短，而 ，故 与 垂直时 最大，
此时 ， ， ∴线段 长度的最小值 4.
19．(1)如图，作出符合题意的图形，
连接 ， 相交于点 ，连接 ，四边形 为菱形，所以 为
中点，
又 为 中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
(2)如图，作出符合题意的图形，
因为 ，有 ，所以
，得 ，有 是 靠近 的三等分
点，则 ，
又 ， ， ，所以
，
， ，则 ，即 ， ，
又 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面
，
所以平面 平面 ；
(3)
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