资源简介

2026—2027 学年度第一学期高二年级第一阶段质量监测
数学试题
时间：120 分钟　满分：150 分　
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在
答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 ，，则 （　　）
A. 3 B. 13 C. D.
2. 已知直线 经过点 ，，则直线 的斜率为（　　）
A. B. 4 C. D. 5
3. 直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，下列结论正确的是（　　）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
4. 过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（　　）
A. B.
C. 或 D. 或
5. 已知平面 经过点 ，其一个法向量为 ，则点 到平面 的距离为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
6. 如图，已知四面体 的棱长都是 4， 为棱 的中点，则 的值（　　）
A. B. C. 2 D. 4
7. 已知 、，若直线 经过点 ，且与线段 有交点，则 的斜率的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
试卷第 1 页（共 4 页）
8. 如图，已知 为等腰直角三角形，其中 ，且 ，光线从 边上的中点 出发，经 ， 反射后又回到点 （反射点分别为 ，），则光线经过的路径总长 （　　）
A. B. C. D. 10
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，
9. 关于直线 ，下列说法正确的有（　　）
A. 直线 的倾斜角为
B. 直线 在 轴上的截距为 2
C. 直线 经过第一、三、四象限
D. 直线 与直线 平行
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A. 若非零向量 满足 ，，则
B. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
C. 若空间向量 ，，则 在 上的投影向量为
D. 已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 或
11. 在直三棱柱 中，，．点 为线段 中点，
点 为棱 上的动点．则下列选项正确的是（　　）
A. 平面
B. 四棱锥 的体积为
C. 的最小值为
D. 直线 与平面 所成角的正弦值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 直线 与直线 平行，则它们之间的距离是______．
13. 若 ，，，则 的面积为______．
14. 已知正方体 的外接球半径为 3， 为其外接球的一条直径， 为正方体表面上任意一点，则 的最小值为______．
试卷第 2 页（共 4 页）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题 13 分）
已知向量 ，求：
(1)；
(2)；
(3)求 与 的夹角 ．
16.（本小题 15 分）
已知 的三个顶点坐标分别是 ．
(1)求边 所在的直线的一般式方程；
(2)求 边上的中线 所在直线的一般式方程；
(3)求边 上的高所在直线的一般式方程．
17.（本小题 15 分）
四棱锥 中， 底面 ，四边形 是正方形，．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设点 为棱 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
试卷第 3 页，共 4 页
18.（本小题 17 分）
已知直线 ．
(1)求证：直线 过定点；
(2)若 到直线 的距离最大，求 的值；
(3)若直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 的方程．
19.（本小题 17 分）
在如图所示的实验装置中，两个正方形框架 ， 的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子 ， 分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 长度保持相等，记
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求 的长，并求其最小值；
(3)当 的长最小时，求平面 与平面 夹角的余弦值．
试卷第 4 页（共 4 页）
2026-2027 学年度第一学期高二年级第一阶段质量监测数学试题
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D C A D A AB BC
题号 11
答案 ACD
1. C
【详解】1. 已知 ，，则
2. B
【详解】直线 的斜率 .
3. 【答案】A
【知识点】空间位置关系的向量证明
【详解】选项 A，若直线 ，直线 的方向向量 平行于平面 ，而平面 的法向量 ，因此 ，故 A 正确.
选项 B，若直线方向向量 ，则直线 ，不是 ，故 B 错误.
选项 C，若平面 ，则两个平面的法向量 ，故 C 错误.
选项 D，若直线 ，则直线 的方向向量与平面 的法向量 平行，不是垂直，故 D 错误.
故选：A.
4. D
【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则
①，则直线过原点，则直线方程为：
②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为：
综上所述：该直线方程为 或
故选：D
5. C
【详解】已知点 在平面 上，连接平面内点 和待求点 ，得到向量
.
答案第 1 页（共 10 页）
点到平面的距离公式为：点与平面内任意一点构成的向量，在平面法向量方向上的投影的绝对值，即
.
因为 ，，
所以点 到平面 的距离为：．
6. A
【详解】 四面体 的棱长都是 4，
四面体的 4 个面均为边长是 4 的等边三角形，
点 为棱 的中点，
，
∴
，
故选：A.
7. D
【详解】过点 作 ，垂足为点 ，如图所示：
设直线 交线段 于点 ，设直线 的斜率为 ，且 ，，
当点 在从点 运动到点 （不包括点 ）时，直线 的倾斜角逐渐增大，
此时 ；
当点 在从点 运动到点 时，直线 的倾斜角逐渐增大，此时 ．
综上所述，直线 的斜率的取值范围是 ．
答案第 2 页（共 10 页）
故选：D.
8. A
【详解】以 A 为坐标原点，AB、AC 分别为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系，因为 为等腰直角三角形，其中 ，且 ，则 ，点 ，所以点 关于 轴的对称点为 ，设点 关于直线 的对称点为 ，则 且 ，解得 ，则
9. AB
【详解】直线 可化为 ，
对于 A，直线 的斜率为 1，所以倾斜角为 ，故 A 正确；
对于 B，当 时，，所以在 轴上的截距为 2，故 B 正确；
对于 C，作出直线 的图象如下：
由图象可知直线 经过第一、二、三象限，故 C 错误；
对于 D，直线 的斜率为 ，与直线 不平行，故 D 错误.
故选：AB.
10. BC
【详解】对于 A，若 ，，，则 ，
满足 ，，此时 与 不平行，A 错误；
对于 B， 且 ， 四点共面，B 正确；
对于 C， 在 上的投影向量为 ，C 正确；
对于 D，， 与 不垂直， 与 不平行且不在 内，D 错误.
故选：BC.
11. ACD
【详解】
以点 为坐标原点，、、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ，，，，
则 ，，.
对于 A，设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，，所以平面 的一个法向量为 .
， 平面 ，所以 平面 ，故 A 选项正确；
对于 D，设直线 与平面 所成角为 ，
，所以 ，故 D 正确；
对于 B，过点 作 ，垂足为 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点 和点 到平面 距离相同，
因为 ，，所以 ，
所以四棱锥 的体积为 ，故 B 错误；
对于 C，展开侧面得出矩形 ，当连接 交 于 时，
的最小值为 ，故 C 正确.
故选：ACD.
12. 2
【详解】直线 与直线 平行，
则它们之间的距离是
13. 5
【详解】，，，，，
故答案为：5.
14.
【详解】设正方体外接球球心为 ，外接球半径为 3，
设正方体边长为 ，，，即 .
．
故答案为：.
15.【详解】（1）因为向量 ，， 2 分
所以 ， 4 分
（2）由题意，向量 ，，
8 分
（3）因为 ， 10 分
所以 ， 12 分
由 ，可得 13 分
16.【详解】（1）由 ，
得所在的直线的斜率 ， 3 分
所以 所在的直线的方程：，即 ， 4 分
所以边 所在的直线的一般式方程：； 5 分
（2）由 ，
得 的中点 坐标为 ， 6 分
所在的直线的斜率 ， 8 分
所以中线 所在直线的方程：，即 ， 9 分
所以中线 所在直线的一般式方程为 ； 10 分
（3）由 得，边 的斜率 ， 11 分
所以边 上的高所在直线的斜率 ， 12 分
所以 上的高所在直线的方程为：， 14 分
即 ，
所以边 上的高所在直线的一般式方程为 ， 15 分
17.【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，
则 、、、、， 1 分
则 ，，，， 2 分
设平面 的法向量为 ，则 ，所以 ， 4 分
设平面 的法向量为 ，则 ，所以 ， 6 分
所以 ，所以平面 平面 ， 7 分
（2）因为点 为棱 的中点，所以 ， 9 分
所以 ， 11 分
设直线 与平面 所成角为 ，所以 ， 14 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 15 分
18.（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为 0 建立等式，求出定点坐标；
（2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离；
（3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程.
(1)证明：由直线 整理可得：
，即 ， 2 分
则由 ，即 ， 4 分
故直线 过定点 ； 5 分
（2）当动直线 满足定点 与直线外点 的连线垂直于 时，
到直线 的距离最大， 6 分
因为 ，则 ； 7 分
因为 ，故 ，解得 ； 8 分
（3）由 可得：
当 时，；当 时，； 10 分
因为直线与坐标轴交于正半轴，故
，解得 ； 12 分
此时三角形面积为 ， 13 分
要使面积取最小值，只需取 的最小值即可；
由 可知， 14 分
当 时， 取最小值 ，此时面积取最小值 ，
------------------16 分
此时直线方程为 ，即 . 17 分
19.【详解】(1)由题意，因为四边形 ， 均为正方形，所以 ，，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
所以 平面 .因 面 ，所以 ，即直线 两两垂直， 1 分
故可以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系：
因为正方形 ， 的边长为 1，所以 ，.
因为 ，所以 ，.
所以 ， 2 分
3 分
因为 ，所以 ， 4 分
又 为平面 的法向量， 平面 ，所以 平面 ， 5 分
（2）由（1）得：， 7 分
因 ，故当 时， 取得最小值 . 9 分
（3）由（2），当 的长最小时，.
此时，，，，. 10 分
，，.
设平面 的法向量为 ，
则 ，可取 ， 12 分
设平面 的法向量为 ，
则 ，可取 . 14 分
设平面 与平面 所成的角为 ，
则 ， 17 分
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .

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