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九年级数学上册期中检测卷【杭州市专用】（浙教版2024，测试范围：第1-3章）试卷分析
一、试卷分析
一、单选题
1 0.85 事件的分类；判断事件发生的可能性的大小；概率的意义理解；判断几个事件概率的大小关系
2 0.85 二次函数的识别；分式的判断
3 0.75 求圆弧的度数；等边对等角；三角形的外角的定义及性质
4 0.75 利用垂径定理求值；圆周角定理；同弧或等弧所对的圆周角相等；几何图形中角度计算问题；三角形内角和定理的应用
5 0.7 y=ax +bx+c的图象与性质
6 0.65 y=ax 的图象和性质；一次函数、二次函数图象综合判断；判断一次函数的图象；根据一次函数解析式判断其经过的象限
7 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；y=ax +bx+c的最值；抛物线与x轴的交点问题
8 0.65 列表法或树状图法求概率
9 0.65 列表法或树状图法求概率；概率在转盘抽奖中的应用
10 0.65 已知圆内接四边形求角度；半圆（直径）所对的圆周角是直角
二、填空题
11 0.75 列表法或树状图法求概率
12 0.7 根据二次函数的对称性求函数值
13 0.7 利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
14 0.7 已知圆内接四边形求角度；圆周角定理
15 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质；把y=ax +bx+c化成顶点式
16 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；抛物线与x轴的交点问题
三、解答题
17 0.7 待定系数法求二次函数解析式
18 0.65 二次函数图象的平移；y=a（x-h） +k的图象和性质
19 0.65 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
20 0.65 圆的基本概念辨析；利用垂径定理求值；三线合一；用勾股定理解三角形
21 0.65 列表法或树状图法求概率；概率的其他应用
22 0.55 已知圆内接四边形求角度；利用弧、弦、圆心角的关系求解；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形
23 0.55 待定系数法求二次函数解析式；求抛物线与x轴的交点坐标；已知二次函数的函数值求自变量的值；投球问题(实际问题与二次函数)
24 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；求弧长；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；三角形内角和定理的应用机密★启用前
2026—2027学年九年级数学上册期中检测卷【杭州市专用】
（测试范围：九年级上册浙教版2024，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ）
A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大
C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小
2．下列函数中，是关于的二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，是弦，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
①；②；③（m为任意实数）；④当时，；⑤．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（ ）
A．共有12种等可能的结果
B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能
C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为
D．顾客获得5元奖金的概率为
10．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______．
12．如图，已知抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为__________．
13．如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________．
14．如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________．
15．用配方法把写成顶点式，则原函数的对称轴是直线___________．
16．已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的有______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解答下列各题：
(1)二次函数图象过点，．求该二次函数的解析式；
(2)已知二次函数的，的部分对应值如表所示：
… 0 1 2 …
… 1 2 1 …
求此二次函数的解析式．
18．若将平面直角坐标系的坐标轴向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，原坐标系中的抛物线在新坐标系下的解析式为．
(1)求抛物线在原坐标系下的解析式；
(2)指出该抛物线在原坐标系中的开口方向、对称轴和顶点坐标．
19．初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖．
(1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______；
(2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案 请用画树状图或列表的方法说明理由．
20．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的面积．
21．在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品．
(1)用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果；
(2)求出获奖的概率；
(3)如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？
22．如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分．
(1)求证：；
(2)如图，若为直径，过点作于，且，求的半径．
23．【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示．
【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点．
(1)在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式．
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离_____m；
(3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离．
24．如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交BC于点G，，连结，DG．设．
(1)用含的代数式表示．
(2)求证：．
(3)如图2，为的直径，当的长为2时，求的长．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B D C B B C C
1．B
计算各颜色球被摸出的概率，逐一判断选项正误.
解：∵总球数为10，其中红球6个，黄球3个，黑球1个，
∴摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， 摸出黑球的概率为，
∵ ，
∴ 摸出红球的可能性最大，摸出黑球的可能性最小，
A、摸球为随机事件，可能摸到红球，也可能摸到其他颜色的球，并非一定是红球，故A错误；
B、摸出红球的可能性最大，故B正确；
C、盒中有黑球，因此有可能摸到黑球，并非不可能，故C错误；
D、 摸出黑球的可能性最小，并非红球，故D错误.
2．C
根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式即可．
解：选项：不是整式，不符合题意；
选项：当时，不是二次函数，不符合题意；
选项：是二次函数，符合题意；
选项：不是整式，不符合题意．
3．B
由等边对等角得到的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案．
解：∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
4．B
由得，且，故得．
解：，
，
∵，
∴，
∵，
．
本题考查了圆的有关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
5．D
分别求出、、的值，比较大小即可得出结果．
解：将代入，得，
将代入，得，
将代入，得，
∵，
∴．
6．C
本题的核心是利用参数的符号同时约束二次函数和一次函数的图象特征，对各选项逐一判断即可．
A选项：二次函数图象开口向上，说明，但与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求；
B选项：二次函数图象开口向上，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求；
C选项：二次函数图象开口向下，说明，一次函数图象经过第二、三、四象限，与轴交点纵坐标为负，对应，符合要求；
D选项：二次函数图象开口向下，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为正，对应，不符合要求；
故选：C．
7．B
①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据时函数有最大值即可判断；④根据抛物线与轴的交点即可判断．⑤根据抛物线经过点，且对称轴为直线可得抛物线与轴的另一个交点坐标为即可判断．
解：①∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
，故①正确；
②由①有，
∴，故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值，最大值为，
∵时，，
∴，
∴，故③正确；
⑤由图象可知抛物线经过点，且对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
即当时，，故⑤正确；
④由⑤知抛物线与轴的两个交点为、，
所以当时，；当或时，，故④错误；
所以①②③⑤正确，共4个．
8．B
明确颜色都变化即两种溶液均能使酚酞变红，通过作树状图得到所有等可能结果，结合概率公式求解即可．
解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种，
∴所求概率为．
9．C
画树状图如图所示：
由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确；
顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确；
顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确；
顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确．
10．C
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴.
11．
先计算小明和小华选车的所有等可能结果数，再计算两人同坐一辆车的结果数，利用概率公式计算即可．
解：记三辆车分别为1， 2， 3，
根据题意画树状图得：
共有9种等可能的结果，其中两人同坐一辆车的结果数为3，
∴所求概率为 ．
12．
根据题意，易得点关于对称轴对称，即可得出结果.
解：∵抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，
∴点关于对称轴对称，
∵点A的坐标为，
∴点B的坐标为.
13．10
根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解．
解：，，
，
设的半径为，则，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
．
14．
解：∵四边形内接于且，
∴，
∴，
又∵为的延长线上的一点．
∴．
15．2
根据二次函数的性质解答即可．
解：∵用配方法把写成顶点式，
∴原函数的对称轴是直线．
16．②③
根据开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置可判断①②；根据函数与x轴有两个交点可判断③；根据时，可判断④．
解：∵函数图象开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，
∴，
∴，故①错误；
∵二次函数与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴，故②正确；
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴，故③正确；
由函数图象可知，当时，，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有②③．
17．(1)
(2)
（1）将已知两点坐标代入二次函数解析式，解方程组求出待定系数、的值；
（2）选取表格中三组、的对应值代入二次函数解析式，解方程组求出待定系数、、的值．
（1）解：∵二次函数的图象过点，，
∴代入得，
解得，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：选取表格中三组对应值：时，时，时，代入解析式得，
，
解得，
∴此二次函数的解析式为．
18．(1)
(2)
开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为
（1）根据平移规则求出函数解析式即可；
（2）根据顶点式的性质，作答即可.
（1）解：由题意，抛物线先向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线，
∴原抛物线的解析式为；
（2）解：∵，；
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.
19．(1)
(2)解：共有12种不同的游玩方案，理由如下：
可画树状图如下：
由树状图可得，所有结果出现的可能性相等，因此共有12种不同的游玩方案．
（1）确定总等可能结果数与符合条件的结果数，结合概率公式计算；
（2）通过画树状图统计总数量．
（1）解： ∵ 从4个打卡点中随机选择1个，共有4种等可能的结果， 选择A西湖的结果有1种，
∴选择A西湖的概率为；
（2）略
20．(1)解：，
理由如下：
如下图所示，连接，
、是的半径，
，
是等腰三角形，
点是的中点，
，
；
(2)
（1）连接，根据圆的性质可知是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证；
（2）设的半径为，则有，利用勾股定理可得，解方程求出的值，即为的长度，根据三角形的面积公式即可求出结果．
（1）略
（2）解：由（1）可知，
是的垂直平分线，
，
，
设的半径为，
则，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
．
21．(1)解：列表如下，共有种等可能的结果数；
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
(2)
(3)元
（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可；
（2）先找出两次都摸白球的结果数，再根据概率公式计算即可；
（3）将摊主的收入减去送出奖品的金额，即可得到摊主的盈利情况．
（1）共有种等可能的结果数，表略；
（2）解：由（1）可得，共有36种等可能的结果数，其中前后两次摸得的都是白球的结果数为9，
所以获奖的概率为；
（3）解：（元），
答：摊主可能会从这些人身上赚走元．
22．(1)证明：平分，
．
四边形内接于，
．
又，
．
．
(2)
（1）由角平分线得到，利用圆内接四边形外角等于内对角得到，再利用同弧所对圆周角相等得到，推导出，等角对等边证得．
（2）连接延长交于，交圆于，由得到垂直平分，结合直径得，证明四边形为矩形，得到，算出，在中用勾股定理算出直径，进而得到圆半径为．
（1）略．
（2）解：如图，连接并延长，交于点，交于点，
则．
，经过圆心，
，则，
，．
是的直径，
，即．
，，
．
四边形是矩形．
．
，
．
，
．
在中，，，，
由勾股定理得．
的半径为．
23．(1)
(2)
(3)
（1）设抛物线解析式为，根据题意求出点A，D的坐标，代入解析式求解即可；
（2）把代入抛物线解析式，求出的长，即可求解；
（3）把代入抛物线解析式，求解即可．
（1）解：设抛物线解析式为，
，
，
，，
，
，
，
把，代入函数解析式得，
解得，
；
（2）解：把代入抛物线解析式得，
解得，，
，
；
（3）解：把代入抛物线解析式得，
解得，，
乙站在球网右侧，
，
羽毛球离地高度不小于，且，
，
，
即乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离．
24．(1)
(2)证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
(3)3
（1）根据平角的定义和角之间的数量关系，计算即可求解；
（2）根据圆周角定理，可证，根据三角形内角和，可证，从而，最后根据平行线的性质，等量代换可证，利用“”，即可求证；
（3）连接，，利用全等三角形的性质，可得，，从而可求，，再根据“直径所对的圆周角是直角”，得，进而，利用圆周角定理可得，，最后根据弧长之比等于对应的圆心角之比，即可求解．
（1）解：，，
；
（2）略
（3）解：如图，连接，，
，
，，
，
，
为的直径，
，
，
，
对应的圆心角，
，
的长的长
的长为2，
的长为3．
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