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2026—2027学年九年级数学上学期期中押题卷【深圳专用】
（测试范围：九年级上册北师大版，第1-3章）
（ 全卷满分100 分，考试时间90 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列选项中属于位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某国产芯片企业2024年研发投入30亿元，2026年研发投入达到50亿元，为计算这两年研发投入的平均年增长率，设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形
C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形
5．如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．若关于x的一元二次方程的两个实数根都是正整数，则整数m的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
填空题(本大题有5个小题，每小题5分，共15分)
9．一元二次方程的一个根为a，则的值是________
10．已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值是_______．
11．如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________．
12．如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为_________．
13．如图所示，在菱形中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若，则________．
三、解答题（第 14，15，每题 7分，第 16，17 题每题 8分，第 18，19题 10 分，第20题，11分，共 61 分）
14．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．为弘扬地方文化，让更多游客了解沈阳，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为30元，当售价为40元时，每天可以售出60件；经调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件，设该款文创产品降价元．
(1)降价销售后，每件该款文创产品的利润为__________元，每天售出该款文创产品的数量为__________件（用含的代数式表示）；
(2)为让利于游客，当该款文创产品应该定价多少元时，这个文旅公司每天的利润为630元？
16．我们定义：若关于的一元二次方程（）满足，则称该方程为友好方程．请根据此定义，回答下列问题：
(1)请写出一个你认为正确的友好方程，并求出它的根；
(2)若关于的一元二次方程是友好方程，求的值，并判断方程根的情况；
(3)若友好方程有两个相等的实数根，求，的值．
17．如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、相交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，直接写出菱形的面积．
18．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：．
19．如图，直线，且分别交于A、B、C，交于D、E、F，已知，，．
(1)求的长；
(2)若与交于点O，且，，求的长．
20．解答下列各题：
(1)（原题重现）
课本22面第4题：如图1，在正方形中，四边形为矩形，且，求证：矩形为正方形
(2)（追本溯源）
小明受此启发，提出类似图1中的角叫“斜直角”，可以构造一线三直角，从而解决下面的问题：
如图2、图3，在正方形中，，点为对角线上一动点，连接，作EF．交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．请你在图2与图3中选一个，①求证；矩形是正方形；
②（拓展迁移）
探究：的值是否为定值？如果不是请说明理由，如果是定值，请求出此定值．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B C A C
1．B
解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意；
B、属于位似图形，故本选项符合题意；
C、不属于位似图形，故本选项不符合题意；
D、不属于位似图形，故本选项不符合题意．
2．D
抓住2024到2026年共经历2次增长的特点，用含x的式子表示2026年研发投入，建立等量关系．
解：设研发投入的平均年增长率为x，
2025年研发投入为亿元，
2026年研发投入为亿元，
∵ 2026年研发投入为50亿元，
∴．
3．C
根据题意得出及，判定，利用对应边成比例求解．
解：由题意知：，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴ ．
4．B
根据平行四边形的性质和矩形、菱形的判定方法进行判断即可.
解：∵当时，是菱形；
当时，是菱形；
当时，是矩形；
∴正确，错误，
故选：.
5．B
先根据菱形的性质和勾股定理求得的长，再由面积公式求得的长．
解：菱形中，有，，
，
．
，
，
，，
，
．
6．C
需按二次项系数是否为0分类讨论，结合方程有实数根的条件求解．
解：当时，原方程为，有实数根；
当时，原方程为一元二次方程，
方程有实数根，
，即，解得，
即且，
综上，的取值范围是．
7．A
由根与系数的关系得两根之和为4，结合两根为正整数列举所有可能的根的组合，计算对应m的取值个数．
解：设方程的两个正整数根为，，
由根与系数的关系得，，
，均为正整数，
满足和为4的正整数对为，，
对应的值分别为，，
整数的值有2个．
8．C
根据三角形相似的判定定理逐一判断即可．
解：∵，
∴，
∴，
选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意．
选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意．
选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意．
选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意．
9．4
根据方程根的定义得到a满足的等式，将所求代数式变形为可整体代入的结构，无需计算方程的具体根即可完成求值．
解：∵ a是一元二次方程的根，
∴ 把代入方程可得，
移项整理得，
∴．
10．9
先根据一元二次方程根与系数的关系求出参数、的值，再代入代数式运用有理数乘方运算法则计算即可．
解：∵ 对于一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为．
∴ 根据根与系数的关系，两根满足，．
∵ 已知，．
∴ ，，解得．
∴ ．
11．1152
设正方形边长为x，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得到，然后利用矩形面积公式求解．
解：设正方形边长为x，则，，
∵
∴，
∴
∴，
解得，
∴，
∴矩形面积．
12．
先得出，，再根据三角形的外角性质求解即可．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
13．/36度
由作图步骤可得平分，由菱形的性质结合角平分线的定义，求出，进而求出，最后根据三角形的外角求即可．
解： 菱形，
，
，
由作图步骤可得平分，
，
，，
，
，
．
14．(1)，
(2)，
(3)，
(4)
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可；
（4）将方程整理可得，再求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
15．(1)；
(2)该款文创产品应该定价37元
（1）根据单件利润=现售价 成本，销售量=原销量+增加销量，列出代数式；
（2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程，结合“让利于游客”，选择售价更低的解．
（1）解：每件利润为元，
每天销售量为件．
（2）解：根据题意，得
整理，得
因式分解，得
要让利于游客，定价尽可能低，
取．
（元）
答：该款文创产品应该定价37元．
16．(1)友好方程为，它的根为．（答案不唯一）
(2)的值为或，方程有两个不相等的实数根．
(3)，．
（1）根据友好方程定义，自主选取满足条件的构造一元二次方程，再解方程求出根．
（2）利用友好方程的条件，把方程各项系数代入，列方程求出；再将代回原方程，计算判别式，根据判别式符号判断根的情况．
（3）先由友好方程定义得到，列出第一个等式；再结合方程有两个相等实数根，得到判别式，列出第二个等式，联立两个等式求解，同时注意一元二次方程二次项系数不为0．
（1）解：取方程，
∵，
∴是友好方程，
，
，
∴．
（2）解：
，，
当时，，此时方程有两个不相等的实数根；
当时，，此时方程有两个不相等的实数根；
综上，的值为1或2，方程有两个不相等的实数根．
（3）解：∵友好方程有两个相等的实数根，
，
解得，
∴
把代入上式得，
，
∴，
∴，
当时，，符合题意．
17．(1)证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
(2)16
（1）由题意得四边形是平行四边形，再由矩形的性质即可证明四边形是菱形；
（2）易得菱形的面积等于的面积，由此即可求解．
（1）证明：略；
（2）解：∵菱形是轴对称图形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即．
18．证明：，
，即，
又，
．
根据可得，结合可证．
略
19．(1)
(2)
（1）利用平行线分线段成比例定理，得到对应线段比例，代入已知数值即可求出；
（2）先算出、长度，再由得到，根据相似三角形对应边成比例列式，代入的长求出．
（1）解：直线，，，，
，
，
；
（2）解：，，，
，，
直线，
，
，
，
，
．
20．(1)证明：∵四边形是正方形
∴
∵四边形为矩形，
∴
∴
∵
，
矩形为正方形；
(2)①证明：选择图2或图3，过作于点，过作于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是正方形对角线上的一点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形；
②是定值，为
（1）先证明，再由正方形的判定证明即可；
（2）①过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证；
②证明，可得，即得，即可求解．
（1）略
（2）①略
②是定值，定值为，理由如下：
在图2或者图3中，
∵矩形为正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是定值，定值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共5张PPT)
九年级数学上学期期中押题卷【深圳专用】（北师大版，测试范围：第1-3章）试卷分析
一、试卷分析
一、单选题
1 0.85 位似图形的识别
2 0.75 增长率问题(一元二次方程的应用)
3 0.74 相似三角形实际应用
4 0.7 矩形的判定定理理解；添一条件使四边形是矩形；证明四边形是矩形；添一个条件使四边形是菱形；证明四边形是菱形
5 0.65 利用菱形的性质求线段长；利用菱形的性质求面积；二次根式的混合运算；用勾股定理解三角形
6 0.65 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数
7 0.65 一元二次方程的根与系数的关系
8 0.65 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似；选择或补充条件使两个三角形相似；利用两角对应相等判定相似
二、填空题
9 0.75 由一元二次方程的解求参数
10 0.75 一元二次方程的根与系数的关系；已知式子的值，求代数式的值
11 0.73 相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质求线段长；根据正方形的性质求线段长
12 0.65 根据正方形的性质求角度；三角形的外角的定义及性质；等边三角形的性质
13 0.65 利用菱形的性质求角度；作角平分线(尺规作图)；等边对等角；三角形内角和定理的应用
三、解答题
14 0.65 解一元二次方程——直接开平方法；解一元二次方程——配方法；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
15 0.65 列代数式；营销问题(一元二次方程的应用)
16 0.65 一元二次方程的定义；因式分解法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况；根据一元二次方程根的情况求参数
17 0.65 根据矩形的性质求线段长；利用矩形的性质证明；利用菱形的性质求面积；证明四边形是菱形
18 0.65 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
19 0.65 由平行判断成比例的线段；相似三角形的判定与性质综合；利用平行判定相似
20 0.51 全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用矩形的性质证明；根据矩形的性质与判定求线段长；根据正方形的性质证明；证明四边形是正方形；用勾股定理解三角形

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