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八年级数学上学期期中押题卷【深圳专用】（北师大版，测试范围：第1-4章）试卷分析
一、试卷分析
一、单选题
1 0.85 化为最简二次根式；已知最简二次根式求参数；同类二次根式
2 0.7 有理数的乘方运算；已知字母的值 ，求代数式的值；求一个数的算术平方根；利用算术平方根的非负性解题；绝对值非负性
3 0.7 判断三边能否构成直角三角形
4 0.65 写出直角坐标系中点的坐标；垂线段最短
5 0.65 坐标与图形变化——轴对称；全等三角形的性质
6 0.65 正比例函数的图象；已知函数经过的象限求参数范围
7 0.65 行程问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息
8 0.55 几何体展开图的认识；求最短路径(勾股定理的应用)；最短路径问题
二、填空题
9 0.75 判断点所在的象限；根据一次函数增减性求参数
10 0.7 以直角三角形三边为边长的图形面积；勾股树（数）问题
11 0.65 根据一次函数的定义求参数；绝对值方程
12 0.65 坐标与图形变化——轴对称；根据成轴对称图形的特征进行求解；用勾股定理解三角形；已知两点坐标求两点距离
13 0.57 算术平方根的实际应用；实数与数轴
三、解答题
14 0.65 利用二次根式的性质化简；利用平方根解方程；二次根式的加减运算；二次根式的混合运算
15 0.65 用SAS间接证明三角形全等（SAS）；全等的性质和SAS综合（SAS）；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
16 0.65 运用平方差公式进行运算；通过对完全平方公式变形求值；二次根式的混合运算；分母有理化；已知字母的值，化简求值
17 0.65 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
18 0.65 坐标系中描点；坐标系中的动点问题（不含函数）；已知两点坐标求两点距离
19 0.65 梯度计价问题
20 0.4 一次函数与几何综合；坐标与图形变化——轴对称；一次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象平移问题2026—2027学年八年级数学上学期期中押题卷【深圳专用】
（测试范围：八年级上册北师大版，第1-3章）
（ 全卷满分100 分，考试时间90 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若最简二次根式与能合并，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．17 D．18
2．若实数满足，则的算术平方根为（ ）
A．4 B．8 C． D．
3．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（ ）
A．A、B之间的距离为 B．的值为
C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为
8．如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10 B． C．9 D．
填空题(本大题有5个小题，每小题5分，共15分)
9．已知一次函数，随的增大而减小，则点所在象限为第________象限．
10．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积是2，4，1，2，则最大正方形的边长是__________．
11．若函数是一次函数，则m的值为___________．
12．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点，连接，，则的最小值为______．
13．面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以A为圆心，长为半径画弧，交点A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为____________．
三、解答题（第 14，15，每题 7分，第 16，17 题每题 8分，第 18，19题 10 分，第20题，11分，共 61 分）
14．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)解方程：．
15．如图，在中，，，点D在斜边边上，以为直角边向右作等腰直角三角形，连接．
(1)求证：；
(2)判断线段、、间的数量关系，并说明理由．
16．在数学课外学习活动中，小王遇到一道题：已知，求的值．
他是这样解答的：
，
，，即．
，
．
请你根据小王的解题过程，解决如下问题：
(1)试化简________；
(2)化简；
(3)若，求的值．
17．如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙上，此时梯子顶端 A到地面的距离为．
(1)求梯子底端B到墙角O的距离；
(2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？
18．定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1．
(1)理解：点，，的“最佳间距”是______；
(2)探究：已知点，，．
①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______；
②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由；
19．为鼓励居民节约用水，某市对居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过22立方米的部分，每立方米收费3元；超过22立方米的部分，每立方米收费5元．设某户某月用水量为x立方米，应缴水费为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若该户某月用水30立方米，求应缴水费；
(3)若该户某月共缴水费116元，求该户该月的用水量．
20．定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“对偶值”．
【问题探究】
【概念初探】
(1)已知函数与函数具有“对偶关系”，请求它们的“对偶值”；
【模型构建】
(2)如图①，将直线向下平移个单位长度得到直线．若直线与的“对偶值”为，求与满足的关系式；
【深度探索】
(3)如图②，直线与轴、轴相交于A、B两点，直线与轴相交于点，直线上是否存在一个点，使得，且的面积等于3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D A D B A
1．A
先化简,根据可合并的最简二次根式被开方数相同列等式求解．
解：，
∵最简二次根式与能合并，
∴，
解得．
2．B
根据绝对值和算术平方根的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可．
解：∵，，，
∴，，
解得，，
∴，
∴的算术平方根为．
3．C
解：A：，，能作为直角三角形三边长度．
B：，，能作为直角三角形三边长度．
C：，，不能作为直角三角形三边长度．
D：，，能作为直角三角形三边长度．
4．D
将线段的最小值转化为点到直线的距离，结合轴的性质求解．
解：∵轴，，，
∴，
根据垂线段最短，当时，线段的长度最小，
∵轴，，
∴轴，
∴点的横坐标与点相同，即，
∴点的坐标为，的最小值为．
5．A
根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果.
解：∵的顶点坐标分别为，，，
∴轴，
∵，且点在第四象限，
∴点和点关于直线对称，
∴.
6．D
先从一次函数图像判断m、n的正负，得到的符号，再对照正比例函数图像对应的符号，两者符号保持一致的就是正确选项．
解：A、由一次函数得，，则，由正比例函数得，矛盾；
B、由一次函数得，，则，由正比例函数得，矛盾；
C、由一次函数得，，则，由正比例函数得，矛盾；
D、由一次函数得，，则，由正比例函数得，符合一致，符合题意．
7．B
根据时，可判断A选项；再由甲车行驶的时间和路程可求解甲车的速度，由相遇时可得甲乙的速度和，进而可求解乙车的速度，由此可判断C选项；再根据甲乙行驶的路程和速度求解和的值，由此可判断BD选项．
解：A选项，当时，，
可知A、B之间的距离为，故A选项正确；
C选项，由图象可知，在时，甲车到达目的地，此时只有乙车还在行驶，
∴甲行驶的速度为，
∴乙行驶的速度为，
∵，
∴甲行驶的速度是乙的倍，故C选项正确；
D选项，当时，且乙行驶的速度为，
此时乙行驶了，故，故D选项正确；
B选项，后，乙行驶的路程为，且乙行驶的速度为，
∴乙又行驶了，
∴，即的值为，故B选项错误 ．
8．A
结合题意，分三种情况讨论，然后比较即可获得答案．
解：∵长方体盒子中，且，N是的中点，
∴，，
分三种情况讨论：
①如图1，
∵在直角三角形中，，
∴由勾股定理得：；
②如图2，过点作于点，则，
∵在直角三角形中，，
∴由勾股定理得：；
③如图3，
∵在直角三角形中，，
∴由勾股定理得：．
∵，
∴蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离为10．
9．四
先根据一次函数的增减性得到的符号，再判断点横纵坐标的符号，即可确定其所在象限．
解：∵一次函数中，随的增大而减小，
∴，对于点，
∵，
∴，
∴点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点在第四象限．
10．3
先求出，的值，再在中，利用勾股定理求出的长即可．
解：如图，由题意得：，，
则在中，，
即最大正方形的边长是3．
11．
根据一次函数的定义，需同时满足自变量的次数为1、一次项系数不为0两个要求，通过解方程与不等式筛选符合条件的值即可．
解：∵该函数是一次函数，
∴
即或，
∵，
∴，
∴．
12．
过点作轴的对称点，连接，连接，所以，所以，所以当，，三点共线时，有最小值，即的长，然后通过两点的距离公式求出即可．
解：如图，过点作轴的对称点，连接，连接，
所以，，
所以，
所以当，，三点共线时，有最小值，即的长，
所以，即的最小值为．
13．/
根据正方形面积公式求出边长，由画弧可知，结合点A的坐标及点E在右侧即可得出点E表示的数．
解：正方形的面积为7，
∴，
∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E ，， 点A表示的数为，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
14．(1)
(2)
(3)
(4)，
（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果；
（3）根据平方差公式，并结合二次根式的混合运算法则计算即可得出结果；
（4）利用平方根的定义解方程即可得出结果．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
15．(1)
证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴．
(2)
解：，理由如下：
∵
∴，，
∴，
∴，
即．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用．
（1）根据，只要证明即可解决问题；
（2）结论：．证明，，利用勾股定理即可解决问题．
（1）略
（2）略
16．(1)
(2)
(3)
（1）利用平方差公式对分母有理化，化简二次根式；
（2）将各项分母有理化后，抵消中间项简化计算；
（3）先化简a的取值，再通过完全平方公式变形，整体代入代数式求值．
（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，即，
，
．
17．(1)
(2)
本题主要考查的是勾股定理的应用．
（1）在中，直接利用勾股定理求解即可．
（2）在中，直接利用勾股定理可得，进一步求解即可．
（1）解：∵，，，
∴ ，
∴梯子底端B到墙角O的距离为：．
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
∴梯子底端 B 将向外移动．
18．(1)3
(2)①；②4
本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键．
（1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可；
（2）①分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，由于“最佳间距”为2，故，即可求解的值；
②由①可得，“最佳间距”为或的长度，当时，“最佳间距”为，当时，“最佳间距”为，比较两个“最大间距”，即可解决．
（1）解：∵点，，，
∴，，，
∵，
∴点，，的“最佳间距”是3；
（2）解：①∵点，，，
∴轴，，，，
∵点O，A，B的“最佳间距”是2，
∴，
∴；
②当时，点，，的“最佳间距”是，
当或时，，
点，，的“最佳间距”是，
∴点，，的“最佳间距”的最大值为4．
19．(1)
当时，；当时，
(2)
应缴水费为106元
(3)
该户该月的用水量为32立方米
（1）以22立方米为分界点，分两种情况计算应缴水费，得到y与x的函数关系式；
（2）判断30立方米所属的用水量区间，代入对应函数式计算水费；
（3）先由22立方米对应的水费判断用水量范围，再代入对应函数式解方程求用水量.
（1）解：由题意，当时，；
当时，；
（2）解：∵，
∴将代入，得（元）.
（3）解：∵当时，，
又∵，
∴该户当月用水量超过22立方米，
令，
解得，
答：该户该月的用水量为32立方米.
20．(1)
(2)
(3)存在，的值为或
（1）设点在函数的图象上，根据“对偶关系”的定义，可得点在函数的图象上，列出方程，求解即可．
（2）根据平移，可得，再根据“直线与的“对偶值”为”，可得，，从而求出；
（3）设，根据题意，可得，情况一，利用角之间的关系，得，直线的解析式为，从而，则，进而，利用面积列方程，求解即可；情况二，利用角之间的关系，易得是的中点，易求，则直线的解析式为，从而，则，进而，利用面积列方程，求解即可．
（1）解：设点在函数的图象上，
函数与函数具有“对偶关系”，
点关于轴的对称点在函数的图象上，
，
又，
，解得，
当时，，
它们的“对偶值”为；
（2）解：直线向下平移个单位长度得到直线，
直线的解析式为，
直线与的“对偶值”为，
设点在直线上，则点关于轴的对称点在直线上，
，，
，解得，
，
则与满足的关系式为；
（3）解：点在直线上，
设，
直线与轴相交于点，
，则，
第一种情况，如图②，在直线上取点，连接，
，
，
则直线的解析式为，
，
，解得，
的面积等于3，
，解得，
，
；
第二种情况，
如备用图，在直线上取点，连接，并延长交于点，
直线与轴、轴相交于A、B两点，
当时，，当时，，即，
，，
，，
，
，
，，
，
，
则，即是的中点，
，即，
设直线的解析式为，
，解得，
，则，
，解得，
的面积等于3，
，解得，
，
；
综上：存在，的值为或．
本题主要考查一次函数图象的平移性质，一次函数与方程，平面直角坐标系中点关于坐标轴对称点的特点等知识点，理解并灵活运用新定义解决问题是解决本题的关键．
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