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2026-2027学年九年级数学上学期期中自测卷（第1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
3．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．若函数图象分布在第二、四象限，则
B．若点在函数图象上，且，则
C．若，则当时，的最大值为
D．若函数图象上有两点，满足且，则
5．如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（ ）
A． B． C．14 D．
8．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（　　）
A．2.5 B．1.5 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________．
12．如图，已知弦、在圆心的同侧，且是内接正三角形的一条边，是内接正六边形的一条边，．如果也是的内接正边形的一条边，那么的值为_____ ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，均在反比例函数的图象上，且，则的值为________．
14．商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价________元．
15．已知点，在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是______．
16．如图，是的外接圆，是的中点，是弦上一点，连接．若的半径为2，，，则的长为___________．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是．
(1)求k的值；
(2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围．
18．（6分）对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
(1)当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根；
(2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．
19．（8分）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G．
(1)试说明：．
(2)若，，求的面积．
20．（8分）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为．
(1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）．
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
21．（10分）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分．
(1)求证：；
(2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式．
(2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标．
23．（12分）如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点．
(1)若，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)证明：．
24．（12分）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
(3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________；
②直接写出点M的运动路径长________．
参考答案
一、选择题
1．D
解：由题意，关于x的一元二次方程有解，
解方程得，
∵一元二次方程（）的解是，，
∴，，
∴，
将，代入原方程得，
对于方程，
整理得：，
代入得
，
解得，．
2．C
解：如图，连接，
设，
∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上，
∴，
∴，
∵三角形的面积为3，
∴，
即，
∴，
即，
∵，
∴点C是的中点，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．C
解：连接，
∵的半径是5，是的直径，弦，，
∴，
∴ ，
∴，
∴．
4．B
解：在反比例函数中，比例系数，
对选项A：∵函数图象分布在第二、四象限，
∴，解得，A说法正确；
对选项B：当，即时，在内，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
当，即时，在内，y随x的增大而减小，
∵，
∴，题中的结论不成立，B说法错误；
对选项C：∵，
∴，
∵时，反比例函数y随x增大而减小，
∴时，时y取最大值，最大值为，C说法正确；
对选项D：∵，若，则说明时，时，
可得，即，D说法正确．
5．B
解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．
∴．
∴．
∵的周长是，
∴．
∴．
∴的周长为
6．A
解：与是“同族二次方程”，
，
，解得：，
，
代数式取的最大值是，
故选：A．
7．A
解：设另外两条边长分别为，，均为正整数，
∵是方程的两个根，
∴，
根据三角形三边关系，得，
列出乘积为的所有正整数对：，
逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于，不符合三边关系；
仅满足，，符合条件，
∴，得．
8．A
解：如图，连接、，
∵弦，
∴，
又∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴和是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
9．B
解：∵，，
∴，
∵为等腰直角三角形，，点在点右侧，
∴，，
∴，
设，反比例函数解析式为，则，
当点在线段上运动时，，，
∴，即；
当点在线段上运动时，，，
∴，即，
若图象经过某点两次，则该点对应的值在两段运动中均能取到，且对应不同的点，
∴，
、，不在范围内，不符合题意；
、，在范围内，符合题意；
、，不在范围内，不符合题意；
、，不在范围内，不符合题意．
10．D
解：如图，连接EO并延长交CF于点H，
∵矩形ABCD绕点C旋转得矩形A'B'C'D'，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，A′B′∥CD′，
BC＝B′C＝4，
∵边A'B'与⊙O相切，切点为E，
∴OE⊥A′B′，
∴四边形EB′CH是矩形，
∴EH＝B′C＝4，
OH⊥CF，
∵AB＝5，
∴OE＝OC＝AB＝，
∴OH＝EH﹣OE＝，
在Rt△OCH中，根据勾股定理，得
，
∴CF＝2CH＝4．
故选：D．
二、填空题
11．
解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求；
当，即时，原方程是一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴根的判别式，
化简得，
解得，
即此时的范围是且；
综上，的取值范围是．
12．12
解：连接，如图，
∵，分别为的内接正六边形与内接正三角形的一边，
∴，，
∴，
∴．
13．
解：点，在反比例函数的图象上，
，，
，
，
∴
解得，
反比例函数图象在第一象限，
，
．
14．375
解：设每台冰箱应降价元，则降价后每台冰箱的售价为元，可得每台冰箱的利润为元，降价后销量为台，根据题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍去），
所以，每台冰箱应降价375元．
15．
解：反比例函数，
反比例函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小．
，
均为正数，两点都在第一象限，横坐标均为正数，且，
即
解不等式得，
解不等式得，
因此的取值范围是．
16．
解：连接、、、，如图，
∵是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：，，，
在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小，
当时，最小值为①，
当时，最大值为②，
由①，②得：．
（2）解：到y轴的距离大于3，
或，
，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴；
当时，，且，
∴；
综上，或．
18．（1）解：∵方程是勾系一元二次方程，且，，
．
，
（负舍），
∴原方程为：．
，
，
，．
(2)证明：是勾系一元二次方程，
，
，
，
，
∴关于的勾系一元二次方程必有实数根．
19．(1)解：连接．
是的高，
．
．
，
，
，
在与中，
，
．
（2）解：连接．
，
．
，
为等边三角形，
．
，
，
，
．
20．（1）解：∵点Q的速度为，运动时间为，
∴，
∵点P的速度为，
∴，
又∵，
∴，
∵点Q运动到点C时两点同时停止，
∴
解得，
又∵，
∴t的取值范围为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
将，，代入其中，
得
解得（舍去），，
∴当时，的长度等于；
（3）解：连接，如图：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵在中，，，
∴
，
∵在中，，，
∴
，
∵在中，
，
①当时，则，
解得（舍去）或；
②当时，则，
解得（舍去）或（舍去），
∴此情况无符合条件的t；
③当时，则，
解得（舍去）或；
综上所述，符合条件的t的值为或．
21．(1)证明： 是的直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：由题意可得，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
四边形是矩形，
．
22．（1）解：将点，的坐标分别代入，
得解得
一次函数的表达式为．
将点的坐标代入，得，
反比例函数的表达式为．
（2）解：分情况讨论：
①当射线交轴于点时，如图
，
，
，
将代入，得，
点的坐标为；
②当射线交轴于点时，如图
，
，
，
将代入，得，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
23．(1)
解：四边形为菱形，理由如下：
连接，
，
，
为劣弧的中点，
，，
，
又，
，
又，
和均为等边三角形，
，
四边形为菱形；
(2)
证明：方法：，
，
，
，
在中，，
，
又与圆相切于点，
，
，
又，
；
方法：连接并延长交圆于点，连接，
为圆的直径，
，
又，
，
直线与圆相切于点，
，
．
24．】(1)证明：∵是直径,
∴.
∵，
∴(相等的圆周角所对的弦相等)，
在和中，,
∴；
（2）解：如图，过D作于H，
∵半圆O中，直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∴；
（3）解：①如图2，连接，，，过M作于E．
∵直径，弦，
∴，
∴是等边三角形，
∵M是的中点，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴当最大时，最小，
而当C与A重合（或D与B重合）时，最大，如图3．
∵是等边三角形，M是的中点，
∴，
∴，即点M到的距离的最小值是；
②如图4．
由①知，，
∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧，
当C与A重合时，，
同理，当D与B重合时，，
∴,
∴点M的运动路径长为 ．

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