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2026-2027学年第一学期高二年级 10月份练习数学学科
答案
1．C
2．A
3．A
4．D
5．A
6．B
7．A
8．C
9．C
10．3或 7
11．
12．
13． 或
14．
15．
16．解：（1）因为直线 经过点 ，
则 ，解得 ，
因此直线 的方程为 ．
当 时， ，故直线 在 轴上的截距为 ；
（2）直线 的斜率为 ，
因为直线 与 垂直，所以 的斜率为 ，
又直线 经过点 ，
则直线 的方程为 ，即 ；
（3） 的中点 的坐标为 ，
则 ，
故 边上的中线所在直线的方程为 ，即 ．
17．解：因为平面 ⊥平面 ，交线为 ， ，所以 平面 ，
又因为 ，则以点 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方
向，建立如下图所示的空间直角坐标系，
由已知 ，所以 ， ， ， ，
；
（1）因为 ，平面 的法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
又 ，
所以直线 与平面 所成角为 ；
（2）设平面 的法向量为 ，
又 ， ，
则 ，取 ，
又 ，设平面 与平面 所成夹角为 ，
∴ ， ，
则平面 与平面 所成夹角的正弦值为 ；
（3）因为 ，平面 的法向量为 ，
所以点 到平面 的距离为 ．
18．解：（1）设 ， ，
因为点 与点 关于直线 的对称，
则有线段 的中点 在直线 上，
即 ①，
又直线 直线 ，且直线 的斜率为 ，则 ②，
联立①②，解得 ，
故点 B的坐标为 ；
（2）设 ，由 ，
则 ，
故 ，
化简得 ，
所以点 的轨迹是圆，其方程为 ，
圆心坐标 ，半径为 ；
（3）又因为直线 与圆 有公共点，
利用圆心到直线的距离小于等于半径，
则 ， ，
解得 ．
故 的取值范围为 ．
19．解：（1）由题可知： ，
该方程表示圆，则 ，
即 ，解得 ．
则实数 的取值范围为 ；
（2）令 ， ，
开口向下，对称轴为 ，
当 时，圆 的面积取得最大值，此时圆的方程为 ，
当切线的斜率不存在时，切线方程为 满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ．
圆心 到切线的距离等于半径长，
即 ，解得 ，
即切线方程为 ，即 ；
综上所述，所求切线方程为 和 ；
（3）设 ，
则 ，
设 ，则 表示圆 上的点 与点 的距离的平方，
由（2）知 ，
又 ，则点 在圆 外面，
所以 ，
则 ．
则 的最小值为 ．
20．（1）证明：如图，连接 ，由于 ， 分别是 ， 中点，
则 ， 平面 ， 平面 ，
则 平面 ．
（2）①因为 是矩形，故 是 的中点，又 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，
如图，以 为坐标原点， ， 所在的直线分别为 轴， 轴，过点 且与 平行的直线为 轴建
立空间直角坐标系．
设 ，
所以 ， ， ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，又 ， ，
则 ，所以 ，
故可取 ，
因为直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，
所以 ，
解得 ，所以 ；
②如图，因为 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，又 ， ，
则 ，所以 ，
故可取 ，
设平面 的一个法向量为 ，又 ， ，
则 ，所以 ，
故可取 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ．
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．2026-2027学年第一学期高二年级 10月份练习数学学科
一、单选题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45分．
1．若直线 的方向向量是 ，则直线 的倾斜角是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线 与直线 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
3．如图，在四面体 中， 是 的中点，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知 ， 两点到直线 的距离相等，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
5．已知直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则直线 与平面
的位置关系是（ ）
A． 或 B．
C．l与α相交但不垂直 D．
6．已知向量 ， ， ，若 ， ， 三向量共面，则实数 （ ）
A． B．
C． D．
7．设点 ， ，若点 在线段 AB上，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
8．如图所示，在正方体 中， 是棱 的中点，点 在棱 上，且 ，
若 平面 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．已知 点坐标为 ，直线 与圆
交于 ， 两点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分．
10．集合 ， ，若 中有且仅有一
个元素，则 的值是 ．
11．已知直线 的方向向量为 ，若点 为直线 外一点， 为直线
上一点，则 到直线 的距离为 ．
12．已知直线 和 ，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，则线段
长度的最小值为 ．
13．直线 在两坐标轴上的截距相等且与圆 相切的直线的方程为 ．
14．若正三棱柱 的所有棱长都相等， 是 的中点，则直线 与平面 所成角的
余弦值为 ．
15．过 作直线 的垂线，垂足为 ，点 到直线
的距离的最小值为 ．
三、解答题：本题共 5小题，共 75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题 14分）
已知点 ， ，直线 ．
（1）若 经过点 ，求 在 轴上的截距；
（2）若直线 经过点 且与 垂直，求 的方程，并化成一般式；
（3）若 为坐标原点，求 中 边上的中线所在直线的方程，并化成一般式．
17．（本小题 15分）
如图，平面 平面 ， ， ， ，
．
（1）求直线 与平面 所成角的大小；
（2）求平面 与平面 所成夹角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
18．（本小题 15分）
已知点 和直线 ，点 是点 关于直线 的对称点．
（1）求点 的坐标；
（2） 为坐标原点，且点 满足 ，求点 的轨迹方程；
（3）若点 的轨迹与直线 有公共点，求 的取值范围．
19．（本小题 15分）
已知 表示圆 的方程．
（1）求实数 的取值范围；
（2）当圆 的面积最大时，求过点 的圆的切线方程．
（3） 为圆上任意一点，已知 ，在（2）的条件下，求 的最小值．
20．（本小题 16分）
如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 与 相交于点 ， ， ，
平面 平面 ，且 ，点 ， 分别是棱 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．
①求 的长；
②求平面 与平面 的夹角的余弦值．

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