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第二章《实数》章节复习题
A卷（共100分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
1．下列说法中正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．
C．1的立方根是 D．0的算术平方根是0
2．已知二次根式的值为4，那么x的值是（ ）
A．4 B．16 C． D．
3．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A．2025 B． C． D．5050
5．有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的等于（ ）

A．2 B．8 C． D．
6．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ）
A．A点 B．D点 C．E点 D．F点
7．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
8．如果a满足，那么的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．化简：______．
10．已知，，且，则的值为_____．
11．已知，则的值为________．
12．如图，在数轴上，点，表示的数分别为和1，，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则数轴上点表示的实数是______．
13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______ ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，）
14．计算：
(1)； (2)．
15．把下列各实数的序号填在相应的大括号内．
①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧．
整数：{ …}；
非负实数：{ …}；
无理数：{ …}．
16．如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)求剩余木料的周长．
17．在学习《实数》时，我们思考了在网格中画格点（网格线的交点）正方形（顶点都在格点上的正方形）的问题．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格．
(1)网格中以为边的格点正方形的面积是________．如图，以原点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴交于点B，则点B表示的数m为________，说明可以在数轴上表示________（填“有理数”或“无理数”）．
(2)仿照（1）中的思路，在网格中设计以为边的正方形，并求出线段的长．
(3)若C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根．
18．某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动．
【探究一】正方形纸张的对角线的长
如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形．
（1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____；
【探究二】A型纸中的奥秘
根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠．
根据上述操作过程，
（2）直接写出A4纸的长；
（3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号）
【探究三】拓展迁移
该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸．
（4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤）
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．若最简二次根式与可以合并，则__________．
20．当时，代数式的值是______．
21．如图，在等腰直角中．，，的平分线交于点，点为边的中点，点和分别是和上动点，则的最小值是 ______．

22．已知、满足，则_________．
23．已知，若，则______；________；_________；若，则_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，）
24．我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等．
小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)已知，，求的长．
25．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是________；
(2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果）
(3)利用你发现的规律计算下列式子的值：．
26．配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）；
，
又，
，即．
当且仅当，即时等号成立．
(1)若，代数式的最小值为_________，此时_________．
(2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
(3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值．
参考答案
A卷
一、单项选择题。
1．D
解：Ａ、4的平方根是，选项错误；
Ｂ、，选项错误；
Ｃ、1的立方根是，选项错误；
Ｄ、0的算术平方根是0，选项正确．
故选：D
2．D
依题意得，则，解得．
故答案选：D．
3．B
解：A. 不是二次根式，不符合题意；
B. 是二次根式，符合题意；
C. 不是二次根式，不符合题意；
D. 中，的取值不确定，不能确定是二次根式，不符合题意；
故选：B．
4．B
解：由和的被开方数非负性，得，
解得：，
将代入原方程，得，
，
将和代入，得，
故选：B．
5．D
解：当时，，是有理数，进行下一步运算；
当时，，是无理数，输出；
故选：D．
6．C
解：正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，
∴6次一循环，
∴，
数轴上1998这个数所对应的点是E点，
故选：C．
7．D
解：两张正方形纸片的面积分别为和
它们的边长分别为
，
空白部分的面积
．
故选：D．
8．C
解：∵有意义
∴，即
∵
∴
代入原方程：
化简得：
两边平方：
∴．
∴．
故选：C．
二、填空题
9．1
解：，
故答案为：1．
10．或
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴；
当时，，符合题意；
∴；
综上可得：的值为或，
故答案为：或．
11．
解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
12．
解：∵，点，表示的数分别为和1，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则点E表示的实数是．
故答案为：．
13．
解：由数轴得，
∴，
∴
．
故答案为：．
三、解答题
14．（1）
；
（2）
．
15．解：整数：{①，⑧…}；
非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}；
无理数：{②，④，⑤…}．
16．（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为和，
∴这两个正方形的边长分别为，，
∴原矩形木板的长为，宽为，
∴原矩形木板的面积为；
（2）解：剩余木料的长为，宽为，
∴剩余木料的周长为．
17．（1）解：正方形的面积为，
，
由算术平方根得，
正方形的边长为，
是无理数；
故答案为：2；；无理数．
（2）解：如图，构造以为边的格点正方形（答案不唯一）．
∵，
∴，
∴．
（3）解：由条件，可知，
∴，且，
解得，．
，
的立方根为2．
18．解：（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，
∵大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线长为；
故答案为：；
（2）由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等，
∴A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比，
由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为，
∴故A型纸的长与宽的比为，
∵纸的宽为，
∴纸的长为；
（3）∵纸是由纸经过4次折叠后得到的，
∴纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍，
∵纸的长为，宽为，
∴纸的长和宽分别为和；
（4）设型纸的长为，宽为，
∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，
∴小长方形的长为，宽为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴M型纸的长为，
∵5个小正方形的面积恰好为，
∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为M型纸的长，
B卷
一、填空题
19．9
解：由题意，得
解得
∴．
故答案为：．
20．5
解：，
．
故答案为：．
21．
解：过点作于，与交于点，连接，，

等腰直角中．，，点为边的中点，
，，
平分，
，
，，
，
，
，
，
当点、、依次在同一直线上，且时，的值最小，
如图：

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
即的最小值为．
故答案为：．
22．4
解：且，
，
，
∴ 且，
，即：，
，
且，
解得，，，
，
故答案为：4．
23． 214000 214
解：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵且，
∴，
故答案为：214000，±0.1463，-0.1289，214．
二、解答题
24．（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵由翻折得，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：∵，，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
由翻折可知，，，，，
，，，
则、、在同一直线上，，
∴在中，，则，
在中，，
∴在中，．
25．（1）解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，
∵，
∴的有理化因式是：，
故答案为：；
（2）解：∵，
故答案为：；
（3）解：
，
，
，
．
26．（1）解：由题意，设，
由，得，
当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为
故答案为：6；3；
（2）解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米，
所用的篱笆，
又令，，
由，
．
当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36，
答：所用的篱笆至少为36米．
（3）解：由题意，设，
与底边上的高相等，与底边上的高相等，
，
又，
，
当时，即（负值舍去）时取等号．
四边形面积的最小值为25．

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