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第三章《勾股定理》单元测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（ ）
A．15 B．8 C．6 D．4
2．若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（ ）
A．20 B．15 C．12 D．14
3．若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（ ）
A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25
4．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（ ）
A．18 B．19 C．26 D．34
5．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
6．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（ ）
A． B．
C． D．
7．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（ ）
A． B．6 C． D．5
10．如图，在中，，，，D为其内部一动点，，E为的中点，连接，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________．
12．定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为______；若时，的值为______．
13．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________．
14．如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________．
15．如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______．
16．如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（本题6分）在中，，，，平分，交于点，过点作于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
18．（本题8分）如图，以的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
19．（本题8分）某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响．
(1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由．
(2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？
20．（本题8分）如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，．
(1)求这块试验田的面积；
(2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离．
21．（本题8分）教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为．
(1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度；
解决问题：
(2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由．
22．（本题8分）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；…
分析这些勾股数组可以发现，，，，…
(1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组；
(2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明；
(3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值．
23．（本题8分）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想．
(1)【理解】
如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理；
(2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________；
(3)【运用】
n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以．
①当，时，如图4，___________；当，___________时，；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
24．（本题8分）如图，在长方形中，．
(1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长；
(2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积；
(3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长．
25．（本题10分）如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系 ；
(2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；
(3)若动点P满足，求的值（请利用图3进行探求）．
参考答案
一、选择题
1．D
解：分两种情况讨论.
∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边，
∴第三边长为；
∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边，
∴第三边长为．
∴D选项符合题意．
2．D
解：∵中为斜边，，
∴，
∵，
∴，
将代入上式，得，
∴．
3．B
解：A、∵，，，，，，
∴，
解得：，故选项A不符合题意；
B、∵，，，，，，
∴，
解得：，，
∵m、n无正整数解，故选项B符合题意；
C、∵，，，，，，
∴，
解得：，故选项C不符合题意；
D、∵，，，，，，
∴，
解得：，故选项D不符合题意．
4．A
解：如图所示，连接，
根据题意，，，，
在中，，根据勾股定理有：
∴
在中，，根据勾股定理有：
∴
∴
∴
5．C
解：取斜边中点，
∵是等腰直角三角形，
则，且，
设，则，
在中，由勾股定理：，
则，
即：，
故．
6．B
解：根据图1可得该几何图形的面积为：，
根据图2可得该几何图形的面积为：，
，
故选：B．
7．D
解：过点B作，如图，
观察图形可知：，，
在中，，
∴门口A到藏宝点B的直线距离是，
故选：D．
8．C
解：如图所示，
A、由方格纸知：可平移到与重合，此时：，，
∴与不垂直，不符合题意；
B、可平移至与重合，此时与不垂直，不符合题意；
C、可平移至与重合，此时：
，
，
∴，符合题意；
D、可平移至与重合，
∴，与题意不符．
9．D
解：由折叠性质：，
，
即，
∴，
沿折叠，落在处，
，
即，．
在中：，，
是等腰直角三角形，．
由第二次折叠得：，
，
在中，，，，
∴．
10．D
解：∵，E为的中点，
∴无法确定与的大小关系，故选项A不正确；
∵，，，
∴，
∴，
∴，∴选项B不正确；
如图，取的中点F，连接，则，
∵，E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点C，D，F在同一条直线上时，取最小值，此时最小值为的长．
∵，
即的最小值为，故D选项正确，C选项不正确．
二、填空题
11．5
解：，D是的中点，，
，
根据勾股定理可得．
12． 7 41
解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组，
，
∵b是正整数，
为奇数，
∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数，
∴当时，（对应数组）；
当时，（对应数组）；
当时，下一个奇数为7，
验证：，，
满足且，
∴，
由规律可知，是第n个符合条件的奇数，
∴，
∴当时，．
故答案为：7；41．
13．
解：正方形的面积为，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
延长，过点作的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：．
14．
解：如图，
图中的四边形为正方形，
，，
，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，，，
，
同理可得，，...，，
．
15．15
解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，
∴分别为的中点，，
，，
，
依题意，，
，
∵的长为5，
∴，
∴（负值已舍去），
即，
∴，
．
16．
解：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，四边形是长方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴在中，由勾股定理得：，
设所拼成的正方形的边长为，则，
根据拼图可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17．(1)证明：∵平分，即，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
设，则，，
在中，∵，
∴，
解得，
∴的长为．
18．设中，，，，，
根据勾股定理可得： ．
对于任意一个以长度为的线段为斜边的等腰直角三角形，设它的直角边长为，
由勾股定理得，
即，
因此它的面积为： ．
三个向外作的等腰直角三角形面积分别为： ，，．
结合勾股定理，
两边同时除以4可得： ．
也就是．
19．（1）气象观测站受台风影响，
过点C作于点D，
、、
，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
气象观测站受台风影响；
（2）解：如图：距离台风中心及以内的地区会受到影响，
时，正好影响C气象站，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
∵，，
（小时）．
答：受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时．
20．（1）解：，，，
，
又，，，
，即，
，
答：这块试验田的面积为；
（2）解：连接，
在的垂直平分线上，
，
设，则，
由（1）知，
，即，
解得，
答：点到点的距离为．
21．（1）解：由题意可得，，，
∴
∵梯子底端沿向外移动，
∴，
∴，
∴．
答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为．
（2）解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下：
过点作于点，
由题意可得，，，，
∵叉车高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．
22．（1）由，，的规律可知：下一个等式是，
则对应的勾股数组是；
（2）第个勾股数组为 ．
证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，
令，
，
，
则 ，
即，
所以 是满足上述规律的第个勾股数组．
（3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，
故令，则，
∴，，
∴，，
解得：(负值舍去)，，
∴，，
此时，符合题意，
所以，的值为
23．（1）解：有三个直角三角形，其面积分别为，和，
直角梯形的面积为，
由图形可知：，
，
，
．
直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形中，；
（2）解：n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为，
将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，
则；
（3）解： ①如图，当，时，；
如图，当，时，；
②；
验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为，
在n边形内画m个点，内角和为n边形内角和与m个周角的和，
即，
可得，
故．
24．（1）解：根据折叠的性质，得．
∵四边形是长方形，
∴．
设，
则，
在Rt BFC中， ，
∴，
解得，
∴．
（2）解：∵四边形是长方形，
∴．
根据折叠的性质，得．
又∵，
∴．
∵交于点，
∴，
∴，
∴．
设，
则．
在Rt中， ，
∴，
解得，
∴．
∴，
∴．
（3）解：∵四边形是长方形，
∴．
由折叠的性质，
得，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
设，
则，
∴．
在Rt中，，
解得，
∴．
25．（1）解：结论：，理由如下：
如图，连接，
∵、均为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴；
（2）解：结论：，理由如下：
如图，连接，
∵、均为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即：，
在中，
∵，
∴；
（3）解：如图③：过点C作，垂足为D．
①当点P位于点处时．
，
，
，
在中，由勾股定理得： ，
在中，由勾股定理得：，
；
②当点P位于点处时．
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得： ，
，
综上所述，的比值为或．

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