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第五章《二元一次方程组》章节复习题
A卷（共100分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
1．下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（）
A． B．
C． D．
6．关于x，y的方程组，有正整数解，则正整数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知，若 ，则m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，）
9．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是___________．
10．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么该一次函数的解析式为_____．
11．方程组的解与的和是，则______．
12．用八个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为________．
13．现有四个完全相同的直角三角形、按图①方式摆放．形成两个正方形，其中大正方形的边长为，按图②方式摆放，形成两个正方形，其中小正方形的边长为，则一个直角三角形的面积为______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，）
14．用代入消元法解下列方程组：
(1) (2)．
15．已知函数．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)该图象与轴的交点坐标为（________，________），与轴的交点坐标为（________，________）；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
16．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图．小丽若要从这两种食品中投入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
17．已知含实数的二元一次方程组，且，求的值．
18．在平面直角坐标系中，点，在直线上．
(1)直接写出：______，______．
(2)如图1，若点Q是直线上的一个动点，且满足的面积为6，求点Q的坐标；
(3)如图2，直线分别与x轴、y轴交于点M、N，将直线沿着y轴平移得到直线，与另一条直线（n为常数，且）交于点H，当p的值发生变化时，的面积始终不变，求出n的值和点H到直线的距离．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为______________．
20．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________．
21．如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________．
22．已知关于，的方程组的解是整数，且是正整数，则________．
23．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，则点的坐标为_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．解答下面的问题：
(1)若，求x 、y的值；
(2)已知a、b、c是等腰的三边长，且满足，求此三角形的周长．
25．在学习乘法公式时，我们借助几何图形对平方差公式和完全平方公式做了直观的解释和描述．下面我们一起用类似的方法验证一个新的公式．
(1)【探索公式】
①如图1是四个长为a，宽为b的小长方形，按如图2的形状拼成一个正方形．图2的阴影部分的正方形的边长是___________（用含a，b的式子表示）．
②用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积．
【方法1】_______________________；【方法2】____________________；
③请在下面直线上直接写出，，这三个代数式之间的等量关系：
_____________________________________________________；
(2)【应用公式】
如图3，点C在线段上，．以和为边分别作两个正方形，已知，的面积是4，求和的长度．
26．已知函数的图象为L，L经过点和．
(1)求b，c的值；
(2)过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N（点M和点N不重合）．
①若，，直接写出线段的长；
②若线段的长在上有最小值，求a的取值范围．
参考答案
A卷（共100分）
一、单项选择题。
1．A
解：A.是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程要求；
B.中项的次数为2，不符合题意；
C.分母含有未知数，不是整式方程，不符合题意；
D.含有3个未知数，不符合题意．
2．D
解：，
∵得，
得，解得，
将代入①得，解得，
将代入②得，解得，
∴原方程组的解为．
3．D
解：，， ，
，，
两式相加得：，
解得：，
将代入，
解得：，
．
4．A
解：∵是方程的一组解，
∴；
∴.
5．C
解：，得：
，
整理得：，
消去了未知数，
的系数为，
即．
6．C
解：，
由②得：，代入①得：，
则，
∵原方程组有正整数解，
∴则或或，
解得：或或，
为正整数，
则或，
则正整数的个数为2，
故选：C．
7．C
解：
得： ，
，
解得： ，
8．B
解：根据题意，得．
故选：B．
二、填空题
9．5
解：依题意，
得：，
∵关于的二元一次方程组的解满足，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
10．
解：∵直线与平行，
∴，
把代入得，解得，
∴一次函数的解析式为，
故答案为：．
11．
解：，
得，，
∴，
把代入①得，，
解得，
∵与的和是，
∴，
解得，
故答案为：．
12．
解：设小长方形的长为m，宽为n，
依题意，得，
解得，
∴，，
∴点B的坐标为．
13．
解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，且，
图①中大正方形的边长为，且由四个直角三角形的直角边拼接而成，
，
图②中小正方形的边长为，且等于直角三角形两直角边之差，
，
联立上述两式，解得，，
一个直角三角形的面积为．
三、解答题
14．（1）解：（1）把①代入②，得
，
解得：．
把代入①，
得：．
故原方程组的解是
（2）解：（2）由②，得
③
把③代入①得
，
解得．
把代入③，得
．
故原方程组的解是
15．(1)解：函数图象如下：
（2）解：由（1）知，；
（3）解：∵，，
∴，
∴．
16．解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得：
，
解得．
答：应选用A种食品4包，B种食品2包．
17．解：，
，
，
将已知方程组上下两式相加，得：，
，
．
18．（1）解：∵点，在直线上，
∴，
∴；
（2）解：如下图，过点Q作轴，交直线于点D，
点Q在上，
设，
轴，且点D在上，
，
，
，
又，
，
解得：或，
或；
（3）解：联立，解得，
，
随着p的变化，的面积始终不变，
点H所在的直线与直线平行，
设直线：，
将代入得：，
整理可得：，
与p无关，
，解得，则，
，
，
：，过点，
直线分别与x轴、y轴交于点M、N，
，，
则，，
根据平行线间的距离相等，点到直线的距离等于点H到直线的距离，
在中，由三角形的面积法可知，
，
∴点H到直线的距离为.
B卷
一、填空题
19．(答案不唯一)
解：∵要求新方程和已知方程组成的方程组的解为，
∴是所求方程的解，
∵，
∴所求方程可以为 ．
20．
解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
原方程组为，
解方程组可得：．
21．
解：将原方程整理为符合“2性质”要求的形式，得
，
该方程是具有“2性质”的方程，满足，
可得，
整理得，
是该方程的一个解，代入原方程得，
，
整理得，
由①得，代入②得，
，
展开计算得，
解得把代入，得
，
因此．
22．或或
解：解方程组
，得，
解得，代入①，得
，
解得，
∵是整数，且是正整数，
∴是的正因数，
∵的正因数有，
又∵是正整数，
∴，
∴可能取值为，
当时，，此时，，均为整数，符合要求；
当时，，此时，，均为整数，符合要求；
当时，此时，，均为整数，均为整数，符合要求；
综上，的值为或或．
23．
解：当时，，
∴点A的坐标为，
；
当时，，解得，
∴点B的坐标为，
，
如图：过点C作轴于点E，则，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点D的坐标为．
二、解答题
24．（1） 解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∵是等腰三角形，
∴第三边长为5或6，
当时，三边长为，满足三角形三边关系，周长为；
当时，三边长为，满足三角形三边关系，周长为；
综上所述，此三角形的周长为16或17．
25．（1）①由图形可得，图2的阴影部分的正方形的边长是；
②直接利用正方形面积公式可得阴影部分的面积为；
利用大正方形面积减去四个小长方形的面积可得阴影部分的面积为；
③根据阴影部分的面积相等可得；
（2）解：设，，
根据题意得，
∴，，
由（1）可知，即，
∴，
∵，
∴．
则，
解得，
∴和的长度分别为2，4．
26．（1）解：∵L经过点，
∴，解得：，
又∵L经过点，且，
∴，解得：，
∴b的值为，c的值为1．
（2）解：①由（1）知，，
当，时，
，，直线为，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴；
②由题意知，
如图，当时：
∴与均呈上升趋势，
∵点M和点N不重合，
∴，
又∵过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N，
如图，此时分情况讨论：
（i）当时，；
（ii）当时，，
同理，如图，当时，与时，线段的表达式相同，
对于线段的长进行分类讨论：
（i）如图，当时，
此时恒成立，存在最小值，在取得，
∴；
（ii）如图，当时，
∴，
∴，
解得：，
∴a的取值范围是；
（iii）如图，当时，
∴无论和在任何位置都肯定不存在最小值，
∴此时恒不成立，
综上所述，a的取值范围是．

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