资源简介

2026~2027学年第一学期 10月联合调研试题
高三数学
一、单选题：本大题共 8 题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡上.
1.在一个文艺比赛中,10位观众评委给同一名选手的打分由低到高依次为 80, 82, 84, 85, 87,
88, 88, 89, 91, 93,则这组数据的第 80百分位数为
A．88 B．89 C．90 D．91
2.若复数 z满足 ,则 z的虚部为
A. B． C. D．
3. 等差数列 与等比数列 满足 , , ,则等比数列 的
公比
A．-1 B．2 C．3 D．
4.已知集合 ,集合 ,若 ,则 的取值范围为
A． B． C． D．
5.已知 ,则
A． 1 2 B． 1 2 C．3) 2 D．3)
2
6.为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神,搭建中学与高校交流的平台,拓展学
生视野,今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动,学生可自愿报名.其中有 4名教
师和 6名学生报名,将报名的教师和学生分成 2个组,分别安排到两所高校,要求每个组由 2名
老师和 3名同学组成,则学生甲和学生乙不去同一所高校的概率为
A．25 B．35 C．310 D．710
7.在正方体 中,棱长为 , 点 分别是棱 的中点,则
过线段 且平行于平面 的截面面积为
A．12 B．18 C．24 D．36
8.已知函数 ,若存在 , ,则 的
最小值为
A．1 B．2 C． D．
试卷第 1页(共 4页)
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选
项中，有多个选项是符合题目要求的.若部分选对得部分分，若错选不得分.
请把答案填写在答题卡上.
9．已知函数 的图象经过点 ,则下列结论正确的有
A． 的图象经过点 B． 的图象关于 轴对称
C． 在 上单调递减 D．当 时, 恒成立
10．如右图,正三角形 的边长为 2,动直线 过 的重心 ,且与线段 , 分别交
于 , 两点,设 , ,则
A． 且
B．存在 , ,使
C． 的取值范围为
D． 面积的最小值为
11.设 是定义在 上的可导函数,且 ,记 .若对任意 ,
恒成立,则
A. B. 在 上单调递减
C. D.
三、填空题：本大题共 3 题，每小题 5 分，共 15 分.请把答案填写在答题卡相
应位置上.
12.若 ,则 ▲________.
13.一圆台的上、下底面半径分别是 1 和 2 ,它的侧面展开图扇环的圆心角为 ,则
圆台的高是▲________ .
14.在 中,若 ,则 的最小值为▲________.
试卷第 1页(共 4页)
四、解答题：本大题共 5 题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知等差数列 的前 项和为 , .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ,求 的前 项和 .
16.国庆节期间某学习小组组织一场有奖竞答,选手需要回答两类问题,其中第一类题答对得 5
分,不对得 0分,第二类题答对得 10分,不对得－5分．已知某选手回答第一类题正确的概率是
34,回答第二类题正确的概率是 12,且两类题回答正确与否相互之间没有影响,若总分不低于 5
分就可获奖．
(1)求该选手至少答对一类问题的概率；
(2)求该选手总得分 的分布列；
(3)求该选手成功获奖的概率．
17.如图,在四棱锥 中,底面 为平行四边形, 平面 ,平面
平面 .
(1)证明： ；
(2) ,当平面 与平面 的夹角的余弦值为 时,求直线 与平面
PAB所成角的正弦值.
18. (苏教版教材必修二 75页问题与探究）
试卷第 1页(共 4页)
函数 , .
因为 的平方和是 1,存在角 ,使得
称为 的辅助角,
因此
(1) 函数 ,
①当 , 辅助角为 ,求 ；
②当 ,在锐角 中,已知 ,角 等于 的辅助角,求 面积
的取值范围.
(2) , , 在 时取到最大值，
记 ,求 最小值.
19.已知函数 , .
(1) 记 ,求 的最小值；
(2) 记 ,若 在区间 上有唯一极值点 和唯一零点 .
① 求 的取值范围；
② 比较 和 的大小.
试卷第 1页(共 4页)
2026~2027学年第一学期 10月联合调研试题
高三数学参考答案
单选题 1-8：C D B A D B B C
多选题 9-11：ACD AD ACD
填空题 12-14： 1 3
15.已知等差数列 的前 项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求 的前 项和 .
解:(1)设等差数列的公差为 d，由 -------------------------2分
则 ，-----------------------------------------------------------------------------4分
所以 . -------------------------------------------------------------------------6分
(2) 将 代入，则 -----------------------8分
所以 是首项 ，公比为 的等比数列.-------------------------------9分
所以 = ----------------------------------------13分
16.国庆节期间某学习小组组织一场有奖竞答，选手需要回答两类问题，其中第
一类题答对得 5分，不对得 0分，第二类题答对得 10分，不对得-5分．已知某
选手回答第一类题正确的概率是 ，第二类题回答正确的概率是 ，且两类题
回答正确与否相互之间没有影响，若总分不低于 5分就可获奖．
（1）求该选手至少答对一类问题的概率；
（2）求该选手总得分 的分布列；
（3）求该选手成功获奖的概率．
试卷第 1页(共 4页)
解(1)记“该选手至少答对一类问题”为事件 A
则 -------------------------4分
（2） 的可能值为 15,10,0，-5
的分布列为
15 10 0 -5
…………………………………… 12分（每对 1个给 2分）
（3）记“该选手成功获奖”为事件 B
则 …………………………………………………………..15分
17.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 平面 ，
平面 平面 .
(1)证明： ；
试卷第 1页(共 4页)
(2) ，当平面 与平面 的夹角的余弦值为 时，求直线
与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明：如图，过点 作 ，垂足为 .
因为平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 . -------------------------3分
又因为 平面 ，所以 .
因为 平面 ，且 平面 ，所以 .
又因为 ， 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以 . - ------------------------6分
（2）由（1）可知， ，故四边形 为矩形.
因为 平面 ，设
以 为坐标原点，分别以 为 轴正方向建系，如图所示，
则 ,
所以 . -------------------------8分
由（1）可知， ,所以平面 PAD的一个法向量是 ，
设平面 的一个法向量为 ，
试卷第 1页(共 4页)
则 ，所以 ，令 ，则
所以 -------------------------10分
所以 ，解得 -------------------------12分
又 , 所以 为 中点，所以平面 的法向量为
， ,设直线 与平面 所成的角为 ，则
-------------------------15分
19. 函数 ，
.因为 与 的平方和是 1,存在角 ,使得
, 称为 的辅助角，
因此
(3) 函数 ，
①当 , 辅助角为 ，求 .
试卷第 1页(共 4页)
②当 ，在锐角 中，已知 ，角 等于 的辅助角，
求 面积的取值范围.
(4) 在 时取到最大值。记
，求 最小值.
解：（1）①由题意
，
有 ， = .......................（5
分）
② ， ；
由题意 = ， ，由正弦定理 ，得 .........(6分）
所以 面积 =
； .............(8分）
因为 为锐角三角形，所以 ， ，所以
，
面积 。 ............................(10分）
（2）由题意得 ，
试卷第 1页(共 4页)
其中 ， .因为 在 处取得最大值，故 ，
，即 ， ，故 ...................(12
分）
化简得 ...................(14分）
令 ，记 ， 在 单调增，所以 最小
值 1. .................(17分）
19.已知函数 .
(1) 记 ，求 的最小值；
(2) 记 ，若 在区间 上有唯一极值点 和
唯一零点 .
① 求 的取值范围；
② 比较 和 的大小.
解：(1) 因为
所以
所以 …………2分
由 得
试卷第 1页(共 4页)
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增。
所以 为 的极小值点，也是最小值点。
所以 ………………5分
(2)(2)由题意
所以
设 ，
则 。
① 在 有唯一极值点，等价于 在 存在唯
一变号零点。
当 时， ， 在 单调递减。
，即 ， 在 单调递减，无极值点，舍
去。 …………………………6分
当 时， ， 在 单调递增。
，即 ， 在 单调递增，无极值点，舍
去。 …………………………7分
当 时，令 ，解得 。
， ， 单调递增；
， ， 单调递减。
试卷第 1页(共 4页)
又
，
故 在 存在唯一零点 。
在 ， ；在 ， 。
所以 是唯一极大值点。 ……………………9分
因为 ；且 在 单调递增，故 ；
所以 在 存在唯一零点 ，满足题意。
综上： ……………………11分
② 由极值条件： ，
即 。 ……………………12分
将 代入 得：
…………14分
构造函数 ，求导得：
当 时，经典不等式 ，故 。
试卷第 1页(共 4页)
在 单调递增， ，
所以 ，即 。
在 单调递减， ， ，
所以 。 ……………………17分
试卷第 1页(共 4页)

展开更多......

收起↑