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2026～2027 学年第一学期高一年级教学质量检测（一） 8. 已知正数 满足： ，则 的最小值是（ ）
数 学 试 卷 A. B. C. D.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分.
1. 集合 的真子集的个数是（ ） 9. 下面给出的几个关系中正确的是（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
A. B.
2. 已知命题:,,则( )
A. 是真命题， B. 是真命题， C. D.
C. 是假命题， D. 是假命题， 10. 已知 ，则下列结论中一定成立的是（ ）
3. 若全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. 的最小值是 B. 的最小值是 2
C. 的最大值是 D. 的最小值是 25
11. 用 表示有限集合 中元素的个数，若集合 ，
A. B. C. D.
4. 已知 ， ， 满足 ，且 ，那么下列选项中不一定成立的是（ ） ，则（ ）
A. B. C. D. ， A．
5. 已知集合 ， ，若 ．则实数 的取值范围是（ ） B． ，
A. B. C. D. C．若集合 ，则
6. “ ”的一个充分不必要条件是（ ）
D．若 ，则
A. B. C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
7. 如图所示，线段 为半圆的直径， 为圆心， 为半圆弧上不与 重合的点， .
12. 已知 ， ，则 的取值范围是___________.
作 于 于 ，设 ，则下列不等式中可以直接表示
13. 不等式 的解集是______.
的是（ ）
14. 某企业的员工共计购买了 30辆新能源汽车.已知其中 15辆汽车有智能驾驶功能，8辆汽车有婴儿
A. B.
与宠物模式，6辆汽车有露营功能，且有 3辆汽车拥有上述所有功能.则至少有______辆汽车没有
C. D. 配备上述三种功能中的任意一种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 设函数 （ ）
15. 已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求 的解集．
（1）若 ，求 ;
（2）若 ，求 a的取值范围. （2）解关于 的不等式： .
16. 设命题 ，使得不等式 恒成立；命题 ，不等式 成立．
(1)若 为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围．
19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函
数 成为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ．
（1）求 的解集和 的解集．
17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用
推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人 （2）若 恒成立，求 取值范围．
工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无
（3）若 的解集为 ，求 的范围．
人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本 t（单位：万元）由两部分构成：
①固定成本：1000万元；②材料成本： 万元，x为每月生产人形机器人的个数.
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为 万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，
则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于 400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
2026～2027 学年第一学期高一年级教学质量检测（一） 对于选项 ： 集合 .
第一部分： ，解得 或 .
数学参考答案
当 时，有 2个不同的根；当 时，有 1个根.
1. A 2. C 3. D 4. A 5. B 6. C
第二部分： ，判别式 .
7. 【答案】D【详解】因为 ，所以 ，
当 ，即 或 ，此时方程有 2个不同的根；
在 中， ，
当 ，即 或 ，此时方程有 1个相同的根；
又 ，所以 ， 当 ，即 ，此时方程无实数根.
在 中， ，故 ， 由于对于 的任意值，方程 的根与 的根不会相等，
所以当 或 时，两个方程共有 4个实数根， ；
得到 ，
当 或 时，两个方程共有 3个实数根， ；
且 时，两个方程共有 2个实数根， ；
所以 ，所以 ，即 ，
当 时，两个方程共有 1个实数根，
故选：D.
所以 的值可能为 1，2，3，4，故 错误.
8. 【答案】B【详解】设 ，则 ，
对于选项
所以
当 时， ，此时 ；
（当且仅当 ，即 时取等号）， 当 时， ；
且 ，解得： ，即 ， 的最小值为 ， 当 时， ，此时 或 ；
故选：B.
9. 当 时， .【答案】CD
10.【答案】ACD【详解】 ， ，故 正确.
对于选项 ：若 ，当且仅当 ，此时 或 ，故 错误.
所以 A中结论一定成立，由已知得 ，
故选： .
，所以 B中的结论是错误的，
12. 13. 14. 7.
由 得： ，所以 C中的结论是成立的，
15.解：（1）当 时， ，又 ，
由已知得 ，所以 D中的结论是成立的， .
故选：ACD. （2）因为 等价于 ，当 时，即 ，即 ，满足题意；
11. 【答案】AC【详解】对于选项 ： 集合 ， 当 时，则 ，解得 ；
判别式 恒成立， 集合 有两个元素， ，故 正确.
综上， 的取值范围为 .
16.解（1）因为 为真命题，
当 时， ，不等式的解集为 或 ；
所以当 时，不等式为 ，在 上恒成立，符合题意；
当 时， 解得 ． 综上，当 时，原不等式的解集为 或 ；
综上，实数 的取值范围为 ． 当 时，原不等式的解集为 ；
（2）若 为真命题，即 ，则对于 ．
当 时，原不等式的解集为 或 ；
由于 ，所以 ，解得 ，
当 时，原不等式的解集为 ；
又因为 有且只有一个是真命题，所以当 真 假时， 解得 ；
当 时，原不等式的解集为 .
当 假 真时， 解得 ．所以实数 的取值范围为 ．
19.解：（1）由题意得 ，且 ，
17.解：（1）设平均每个人形机器人的成本为 万元，
由 ，即 ，所以 ，故 的解集为 ；
根据题意有 ，
由 ，即 ，∴ ，则 ，所以
当且仅当 ，即 时取等号.
．
所以该企业每月的产量为 100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为 30万元.
所以 的解集为 ．
（2）设月利润为 万元，则有 ，
（2） 恒成立，此时 ，即 ， 恒成立，
由题知 ，整理得 ，解得 .
故该企业每月生产不小于 70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于 400万元. 又 ，当且仅当 时，即 时等号成立．故 的最小值为 4，
18.解：（1）由函数 ，
所以要使 恒成立，则 ．故 的取值范围为 ．
若 ，可得 ，
（3）不等式 ，即 ，
又由 ，即不等式 ，即 ， 由方程 可得 或 ．
因为 ，且函数对应的抛物线开口向上， ①若 ，不等式为 ，即 ，所以 ，显然不符合题意；
②若 ，由 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，即 的解集为 .
因为不等式的解集为 ，
（2）依题意， 等价于 ，
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 ； 所以 ，解得
当 时，不等式化为 ，
③若 ，由 ，解得 ，
此时 ，所以不等式的解集为 ；
因为不等式解集为 ，
当 时，不等式化为 ，当 时， ，不等式的解集为 ；
所以 ，解得 ．
当 时， ，不等式的解集为 或 ；
综上所述， 或 ．故 的范围为 ．

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