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4.2 整式的加减 第3课时 同步检测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上册
一、单选题
1．有一根铁丝正好围成一个长是，宽是的长方形框．现用去一段长为的铁丝，则剩下部分的铁丝长是（ ）
A． B． C． D．
2．下面是小岩进行整式化简的过程，下列说法正确的是（ ）
第一步
第二步
第三步
A．第一步的依据是乘法结合律
B．化简过程在第一步开始出现错误
C．化简过程在第二步开始出现错误
D．化简过程在第三步开始出现错误
3．当时，化简得（ ）．
A． B． C．2 D．
4．根据以下图形变化的规律，第2024个图形中黑色正方形的数量是（ ）
A．3033 B．3034 C．3035 D．3036
5．已知，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知，两数在数轴上对应点的位置如图所示，则代数式的化简结果是__________．
8．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的长为__________．
9．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼成若干图案：则第n个图案中正四边形的个数比正三角形的个数多________ 个（用含n的代数式表示）．
10．新定义一种运算符号“☆”，规定：，例如：，若，在数轴上的位置如图所示，化简：______．
11．定义：若，则称与是关于的“平衡数”．比如：3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终关于常数的“平衡数”，则它们是关于_______的“平衡数”．
三、解答题
12．某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组，其中第一组有x人，第二组人数比第一组人数的少5人，第三组人数比第一、二组人数的和少15人，第四组人数与第一组人数的2倍的和是34人．
(1)用含x的代数式分别表示第二组、第三组、第四组的人数；
(2)求七年级一班的总人数．
13．新学期学校准备更换校园内垃圾桶，计划采购大小两种型号垃圾桶．大垃圾桶单价元/个，小垃圾桶单价比大垃圾桶单价的多20元，此次预计采购大垃圾桶5个，小垃圾桶7个．
(1)用含的代数式表示此次购买垃圾桶共付款多少元？
(2)若大垃圾桶单价为120元/个，学校预算1200元，是否够用？请说明理由．
14．如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园．
(1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简）
(2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用．
15．定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”．
【理解定义】
(1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”）
【建模推理】
(2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ；
(3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由．
16．把正整数1，2，3，4，……排成如下一个数表．
(1)2026在第______行，第_____列；
(2)第行第3列的数是_____（用含的代数式表示）
(3)嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D C D B D
1．C
【分析】本题考查了列代数式，根据题意，先求出铁丝的总长度即长方形的周长，再减去用去的铁丝长度，即可求得剩下部分的铁丝长．
【详解】解：∵长方形周长(长 + 宽)
用去的铁丝长，
∴剩余铁丝长．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
根据整式的加减运算法则，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、第一步的依据是乘法分配律，故原说法错误，不符合题意；
B、化简过程在第三步开始出现错误，故原说法错误，不符合题意；
C、化简过程在第三步开始出现错误，故原说法错误，不符合题意；
D、化简过程在第三步开始出现错误，故原说法正确，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】
由已知，可得出，再去绝对值，然后去括号、合并同类项即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
4．D
【分析】本题考查了图形的变化规律问题，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律．
观察图形，仔细观察图形并从中找到规律，当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（个）；当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（个），
然后利用找到的规律即可得到答案．
【详解】解：观察图形，得：
第一个图形有黑色正方形2个，
第二个图形有黑色正方形3个，
第三个图形有黑色正方形5个，
第四个图形有黑色正方形6个，
第五个图形有黑色正方形8个…
∴当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（个）；
当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（个），
∴当时，黑色正方形的个数为（个）
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了整式的加减，
通过计算M与N的差值，并分析差值的符号来判断大小关系．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故选：B．
6．D
【分析】题目主要考查整式的加减运算，理解新定义运算法则是解题关键．
根据新定义法则化简，然后计算整式的加减法即可．
【详解】解：根据题意得：
故选：D．
7．
【分析】根据数轴判断出、的取值范围，确定与的正负，根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，
．
8．
【分析】根据拼图的过程可得出长方形的长即可．
【详解】解：由拼图可知，长方形的长为：．
9．
【分析】由题意可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此规律得出答案即可．
【详解】解：第一个图案正三角形个数为（个），正四边形的个数为（个）；
第二个图案正三角形个数为（个），正四边形的个数为（个）；
第三个图案正三角形个数为（个），正四边形的个数为（个）；
…；
第n个图案正三角形个数为（个），正四边形的个数为（个），
第n个图案中正四边形的个数比正三角形的个数多个．
10．
【分析】本题考查数轴与数的性质，绝对值的化简，整式的加减运算，理解新定义运算的规则是解题关键．
先根据数轴判断与的大小关系，选择对应的新定义公式进行计算，化简绝对值并进行整式加减运算，得到最终结果．
【详解】解：据图可知，，，且，
则，，即，
可得
．
故答案为：．
11．2
【分析】本题考查了整式的加减运算以及“平衡数”的定义，解题的关键是通过合并同类项后令含未知数的项的系数为0，求出常数k的值，进而确定平衡数n．
化简b的表达式，展开并整理；计算a与b的和，合并同类项；根据“始终关于常数n的平衡数”，令含项的系数为0，求出k；代入k的值，计算常数项，得到n．
【详解】解：由“平衡数”定义可知，为常数）．
∵
∴
∵a与b始终关于常数n的“平衡数”
∴含x的项系数必须为0（确保和为常数），即解得．
将代入常数项：，故．
故答案为：2．
12．(1)第二组人数：（人）．第三组人数：（人）．第四组人数：（人）
(2)人
【分析】（1）分别用代数式表示出各组的人数即可；
（2）将各组的人数相加，再合并同类项可得总人数．
【详解】（1）解：第二组人数：（人）．
第三组人数：（人）．
第四组人数：（人）；
（2）解： （人），
故七年级一班的总人数是人．
13．(1)（元）
(2)解：将代入得（元），
因为，
所以学校预算够用．
【分析】（1）先根据小垃圾桶单价和大垃圾桶单价的数量关系，用含的代数式写出小垃圾桶的单价，因为总付款等于大垃圾桶总费用加上小垃圾桶总费用，所以分别计算两种垃圾桶的总费用后相加，化简得到总付款的代数式即可；
（2）将代入第一问得到的总付款代数式，计算出实际总费用，如果计算出的实际总费用小于等于1200元，那么预算够用，反之则不够用．
【详解】【小题1】解：（元）；
【小题2】略．
14．(1)
(2)9400元
【分析】（1）计算解答即可；
（2）求代数式的值，再计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
；
（2）解：当，时，
（平方米），
故购买所需地砖的费用为：（元）；
15．(1)不是
(2)
(3)任意一个“和倍数”都能被整除，理由如下：
设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，
∴，
∴
，
∵，都是整数，
∴是整数，
∴是的倍数；
故任意一个“和倍数”都能被整除．
【分析】（1）计算是否为的倍即可判断；
（2）根据“和倍数”的定义即可得出结果；
（3）由，可得，符合的倍数的特征，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，
故三位数不是“和倍数”；
（2）解：根据“和倍数”的定义，
即三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，
可得；
（3）略
16．(1)254，2
(2)
(3)解：有道理，理由如下：
根据计算程序，可得：，
所以当知道数y在第几行时，则x必在它的上一行，
所以嘉嘉说得有道理．
【分析】（1）从图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数，从而可进一步得出答案；
（2）由题意可知第n行第8列是，然后可以进一步推出答案；
（3）按照程序写出代数式，再化简即可得出答案.
【详解】（1）解：由图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数，
∵，
∴2026在第254行，第2列；
（2）解：第n行第3列的数是：；
（3）略
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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