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4.3.5 “外方内圆”和“外圆内方”的面积问题 同步检测试题 2026-2027学年上学期小学数学人教版 （新教材）六年级上册
一、选择题
1．下图两个圆同样大，则两个阴影部分的面积相比较（ ）。
A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．无法比较
2．在正方形中画一个面积最大的圆，这个圆的面积占这个正方形的（ ）。
A． B． C． D．
3．如图所示，几个图形中的正方形都一样大，（ ）图形中的阴影部分与其它图形的阴影部分面积不相等。
A． B． C． D．
二、填空题
4．正方形的面积是40平方厘米，正方形内部最大圆的面积是( )平方厘米。
5．如图是一种“外方内圆”的建筑图案，外面正方形的边长是6分米，则里面圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。
6．自来水公司在路面上设置了一种井盖。井盖是直径8分米的圆，把它放在边长8分米的正方形井口内（如图）。要在井口未被井盖盖住的部分涂上水泥，涂水泥的面积是___________平方分米。
7．下图，圆的中间是一个由四个直角三角形拼成的正方形。已知一个三角形的面积是8，则圆的面积是( )（圆周率取3.14）。
三、判断题
8．如图，圆的面积比圆外的正六边形面积大。( )
9．在一块正方形纸板上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是28.26cm2，剩余纸板的面积是7.74cm2。( )
10．一张方桌的边长是1米，将其四边撑开，变成了一张圆桌（桌面如图），圆桌的面积为平方米。( )
11．在一个外方内圆的图形中，正方形的边长等于圆的半径。( )
四、计算题
12．计算下面阴影部分的面积。
五、解答题
13．如图，小明做手工时，在一张周长为40厘米的正方形纸上画了个最大的圆，再在这个圆里画了一个最大的正方形。
(1)圆的半径是多少厘米？
(2)画的新正方形的面积是多少平方厘米？
14．工人师傅把一块周长是48分米的正方形木板裁成一个最大的圆，裁去部分的面积是多少？
15．有一块正方形土地（如图），边长是20米，在它的中央有一个圆形花坛，直径是8米，现在要在花坛周围建一条最大的环形路，剩下的部分种草，请在图中画出这条环形路（保留作图痕迹），并求出这条环形路的面积是多少平方米。
16．为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？
参考答案
题号 1 2 3
答案 B C B
1．B
【分析】设圆的半径为。甲正方形边长为，甲阴影面积是正方形面积减去圆面积，即甲阴影面积＝×－；乙正方形对角线是，根据“正方形面积＝对角线×对角线÷2”，即正方形面积＝×÷2＝；乙阴影面积是圆面积减去正方形面积，即乙阴影面积＝－。对比两个阴影面积的数值关系，判断大小。
【详解】根据分析可知：
甲阴影面积：
×－
＝－
＝
乙阴影面积：
－
＝－
＝
＜
所以乙阴影部分的面积相比较大。
2．C
【分析】根据题意，在一个正方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长；根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，即可求出这个圆的面积；根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积；求圆的面积占正方形面积的几分之几，用圆的面积除以正方形的面积即可。
【详解】设这个正方形的边长为，正方形的面积则是，圆的面积是，圆的面积占正方形面积的分率：，即这个圆的面积占这个正方形的。
3．B
【分析】各选项中阴影部分的面积是用正方形的面积减去空白部分的面积。把各图形进行切拼，让空白部分拼成较为完整的图形，看哪个选项中的图形与其它选项不同。
【详解】A．空白部分是完整的圆，容易计算面积，无需切拼；
B．将图形沿对角线切开：，然后旋转拼合：；
C．将图形沿横竖方向切成4块：，然后将空白部分拼合在一起，拼成；
D．将图形沿竖向切成2块：，然后将空白部分拼合在一起，拼成。
综上所述，C、D中的图形可切拼成与A相同的图形，B图形切拼成的图形与A不相同。
4．
【分析】正方形中最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，所以（半径×2）×（半径×2）＝正方形面积，据此算出半径的平方等于正方形面积除以4，再根据算出圆的面积。
【详解】（半径×2）×（半径×2）＝正方形面积，半径×半径×4＝正方形面积，半径×半径＝正方形面积÷4
（平方厘米）
5． 18.84 28.26
【分析】“方中圆”模型：正方形的边长等于圆的直径，圆的周长＝，圆的面积＝，代入数据计算即可。
【详解】（分米）
（平方分米）
所以里面圆的周长是18.84分米，面积是28.26平方分米。
6．13.76
【分析】涂水泥的面积为正方形面积减去内部圆的面积，正方形边长已知为分米，所以用正方形面积公式：，计算正方形井口的面积；圆的直径和正方形边长相等为分米，所以用，先求出圆的半径，再用圆的面积公式：，计算井盖的面积；用正方形面积减去圆的面积，得到涂水泥部分的面积。
【详解】（平方分米）
（平方分米）
（平方分米）
涂水泥的面积是平方分米。
7．50.24
【分析】观察图形，四个直角三角形的直角顶点都在圆心，两条直角边就是圆的半径r。
直角三角形的面积＝直角边×直角边÷2，也就是，已知一个三角形的面积是8，可以算出（）。
根据圆的面积＝πr，代入数值，可求出圆的面积。
【详解】（）
圆的面积：3.14×16＝50.24（）
8．×
【分析】观察图形可知，圆外正六边形包含圆，圆的所有部分都在正六边形的范围内。
封闭图形的面积是图形所占平面的大小，完全位于另一个图形内部的图形，面积一定小于外部图形的面积。
【详解】圆位于正六边形内部，所以圆的面积小于正六边形的面积。
故答案为：×
9．
【分析】（）首先明确正方形内最大圆的特征，因为圆是正方形内剪下的最大的圆，所以圆的直径等于正方形的边长。
（）已知圆的面积，根据圆的面积公式，可以求出圆的半径，进而得到圆的直径，也就是正方形的边长。
（）根据正方形面积公式 ：，计算正方形的面积，再用正方形面积减去圆的面积，将得到的结果和题目给出的剩余面积比较，判断对错。
【详解】
因为，所以圆的半径是，直径为（），即正方形边长为。
正方形面积：（）
剩余纸板面积：（），和题干数值一致。
故答案为：
10．√
【分析】根据题意，连接正方形2条对角线，将正方形平均分成4个小等腰直角三角形，用1×1＝1平方米，求出正方形面积，然后一个小等腰直角三角形的面积就是1÷4＝0.25平方米，再根据三角形的面积＝底×高÷2，用三角形面积×2，即是两条小等腰直角三角形直角边的积，直角边又等于圆的半径，也就是圆的两条半径之积是0.25×2，根据圆的面积公式S＝πr2，即可解答。
【详解】π×（1×1÷4×2）
＝π×（1÷4×2）
＝π×（0.25×2）
＝π×0.5
＝（平方米）
原题说法正确。
故答案为：√
11．×
【分析】外方内圆指圆内切于正方形，即圆与正方形的四条边都相切。此时，圆的直径等于正方形的边长，因此圆的半径应为正方形边长的一半。
【详解】在一个外方内圆的图形中，圆内切于正方形，圆的直径等于正方形的边长。
设正方形的边长为 ，则圆的直径为 ，圆的半径为 。题干中“正方形的边长等于圆的半径”即 ，这仅当 时成立，但边长不能为零，因此说法错误。
故答案为：×
12．72.96平方厘米； 84.78平方厘米
【分析】（1）阴影部分面积＝圆的面积－正方形面积，
正方形的面积我们可以看成两个三角形相加，这个三角形的底是圆的直径（d＝16cm），高是圆的半径（r＝8cm）；
（2）阴影部分面积＝大圆的面积－小圆的面积，
大圆半径＝6cm，小圆直径＝6cm；
【详解】根据分析，解答如下：
×8×16×2＝128（）
S＝π＝π×＝3.14×64＝200.96（）
＝200.96－128＝72.96（）
答：阴影部分面积为72.96平方厘米。
小圆半径：r＝3cm
＝π－π＝3.14×－3.14×＝3.14×36－3.14×9＝113.04－28.26＝84.78（）
答：阴影部分面积为84.78平方厘米。
13．(1)5厘米
(2)50平方厘米
【分析】（1）正方形周长＝边长×4，先根据大正方形周长求出边长，大正方形里面最大圆的直径等于大正方形边长，半径＝直径÷2。
（2）圆内最大正方形的对角线长度等于圆的直径，把这个正方形分成两个相同三角形，三角形底是直径，高是半径，两个三角形面积相加就是正方形面积。三角形面积公式S＝底×高÷2。
【详解】（1）40÷4＝10（厘米）
10÷2＝5（厘米）
答：圆的半径是5厘米。
（2）10×5÷2×2
＝50÷2×2
＝50（平方厘米）
答：画的新正方形的面积是50平方厘米。
14．30.96平方分米
【分析】将一块正方形木板裁成一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长。先根据正方形边长＝周长÷4，求出边长，也就是正方形内最大圆的直径，进而求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积；最后用正方形的面积减去圆的面积，即是裁去部分的面积。
【详解】正方形的边长：48÷4＝12（分米）
圆的半径：12÷2＝6（分米）
正方形的面积：12×12＝144（平方分米）
圆的面积：
3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方分米）
裁去部分的面积：
144－113.04＝30.96（平方分米）
答：裁去部分的面积是30.96平方分米。
15．
；
263.76平方米；
【分析】要得到最大的环形路，外圆需是正方形内最大的圆，且和花坛为同心圆，圆心是正方形的中心，直径等于正方形的边长；
作图：①连接正方形的两条对角线，交点为环形的圆心；②以该交点为圆心，正方形边长的一半为半径画圆，两圆之间的区域就是环形路；
圆的面积＝圆周率×半径的平方，环形面积等于外圆面积减去内圆花坛的面积。
【详解】画图略；
（平方米）
答：这条环形路的面积是平方米。
16．41.04平方米
【分析】圆形的面积＝πr ，代入数字可计算出圆形面积，将正方形面积如图沿对角线分成两个三角形，三角形的底为圆的直径，高为圆的半径，据此根据三角形面积＝（底×高）÷2算出三角形面积之后再乘2可算出正方形面积；用圆面积－正方形面积就是种太阳花的面积。
【详解】3.14×62－（6×2）×6÷2×2
＝3.14×36－12×6÷2×2
＝113.04－72
＝41.04（平方米）
答：种太阳花的面积有41.04平方米。
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