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第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念　同步练
（本卷共17小题，满分100分，建议用时60分钟）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各组对象中，能构成集合的是（　　）
A．某班身材较高的同学
B．2026年全国高考数学试题中的难题
C．所有的等腰直角三角形
D．与2非常接近的实数
2．下列说法正确的是（　　）
A．由1，2，3，1组成的集合是{1，2，3，1}
B．集合{1，2}与{2，1}表示不同的集合
C．方程x ＝x的所有实数根组成的集合是{0，1}
D．集合{0}与 表示同一个集合
3．下列关系中正确的是（　　）
A．√2∈Q　　B．－3∈N　　C．0∈N*　　D．π Q
4．下列各组集合中，表示同一个集合的是（　　）
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{1，2}，N＝{(1，2)}
5．以方程x －4＝0和方程x －4x＋4＝0的所有实数根为元素组成的集合中，元素的个数为（　　）
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
6．已知集合A＝{a－2，2a ＋5a，12}，若－3∈A，则实数a的值为（　　）
A．－1　　B．－3/2　　C．－1或－3/2　　D．1或－3/2
7．已知集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}，用列举法表示集合A，正确的是（　　）
A．{0，1，2，3}　　B．{1，2，3}　　C．{0，1，2，3，4}　　D．{1，2，3，4}
8．若集合A＝{x∈R|x －2x＋m＝0}中恰有两个元素，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1　　B．m≤1　　C．m＞1　　D．m≥1
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列各组对象中，能构成集合的是（　　）
A．我国古代四大发明
B．所有的无理数
C．2026年全国高考数学试题中的难题
D．小于5的正整数
10．下列说法正确的是（　　）
A．集合{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合
B．方程x －2x＋1＝0的解集是{1，1}
C．集合{x∈R|x ＋1＝0}中不含任何元素
D．0∈N
11．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列各数中属于A的是（　　）
A．－1　　B．－11　　C．2　　D．5
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．用符号“∈”或“ ”填空：
(1)－3________N；(2)√2________Q；(3)0________ ；(4)1/2________Z．
13．已知集合A＝{a＋2，(a＋1) ，a ＋3a＋3}，若1∈A，则实数a的值为____________．
14．已知集合A＝{(x，y)|x∈N，y∈N，x＋y＜3}，则集合A中元素的个数为____________．
四、解答题（本题共3小题，共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（8分）用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集：
(1)大于－2且小于3的整数组成的集合A；
(2)绝对值等于2的实数组成的集合B；
(3)平面直角坐标系中第一、三象限内的点组成的集合C；
(4)被3除余1的正整数组成的集合D．
16．（9分）已知集合A＝{x∈R|ax －3x＋1＝0}．
(1)若1∈A，求实数a的值；
(2)若集合A中只有一个元素，求实数a的值，并用列举法表示集合A．
17．（10分）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则1/(1－x)∈A．
(1)若2∈A，求集合A中除2以外的另外两个元素；
(2)判断集合A能否为只含两个元素的集合，并说明理由．
参考答案与解析
一、单项选择题
1．C　解析：A中“身材较高”、B中“难题”、D中“非常接近”都没有明确的标准，元素不确定，不能构成集合；C中“所有的等腰直角三角形”是确定的，能构成集合．故选C．
2．C　解析：由元素的互异性知，由1，2，3，1组成的集合是{1，2，3}，A错误；由元素的无序性知{1，2}与{2，1}表示同一个集合，B错误；方程x ＝x的实数根为x＝0或x＝1，故解集为{0，1}，C正确；{0}中含有元素0，而 中不含任何元素，两者不同，D错误．故选C．
3．D　解析：√2是无理数，故√2 Q，A错误；－3是负整数，故－3 N，B错误；0不是正整数，故0 N*，C错误；π是无理数，故π Q，D正确．故选D．
4．B　解析：A中两个集合的元素是有序数对，元素不同，不是同一个集合；B中两个集合的元素都是3和2，由无序性知是同一个集合；C中M是点集，N是数集，不是同一个集合；D中M是数集{1，2}，N是由点(1，2)组成的集合，不是同一个集合．故选B．
5．B　解析：方程x －4＝0的实数根为2和－2；方程x －4x＋4＝0的实数根为2（重根）．由元素的互异性知，该集合中的元素为－2，2，共2个．故选B．
6．B　解析：因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a ＋5a＝－3．当a－2＝－3时，a＝－1，此时2a ＋5a＝2×(－1) ＋5×(－1)＝－3，集合A中的元素为－3，－3，12，出现重复元素，不满足互异性，故a＝－1舍去；当2a ＋5a＝－3时，2a ＋5a＋3＝0，解得a＝－1（舍去）或a＝－3/2．当a＝－3/2时，a－2＝－7/2，集合A＝{－7/2，－3，12}，满足互异性．综上，a＝－3/2．故选B．
7．A　解析：因为x∈N，且－1＜x＜4，所以x可以取0，1，2，3，故A＝{0，1，2，3}．故选A．
8．A　解析：因为集合A中恰有两个元素，所以关于x的方程x －2x＋m＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－2) －4m＝4－4m＞0，解得m＜1．故选A．
二、多项选择题
9．ABD　解析：A中我国古代四大发明指造纸术、指南针、火药、印刷术，对象确定，能构成集合；B中所有的无理数能构成集合；C中“难题”没有明确的标准，元素不确定，不能构成集合；D中小于5的正整数为1，2，3，4，能构成集合．故选ABD．
10．ACD　解析：A正确，由元素的无序性可知两个集合相同；B错误，方程x －2x＋1＝0的解为x＝1（重根），由互异性知其解集为{1}，而不是{1，1}；C正确，方程x ＋1＝0在实数范围内无解，故该集合中不含任何元素；D正确，0是自然数．故选ACD．
11．ACD　解析：对于A，当k＝0时，x＝－1，故－1∈A，A正确；对于B，令3k－1＝－11，得k＝－10/3 Z，故－11 A，B错误；对于C，当k＝1时，x＝2，故2∈A，C正确；对于D，当k＝2时，x＝5，故5∈A，D正确．故选ACD．
三、填空题
12． 　 　 　 　解析：－3是负整数，不是自然数，故－3 N；√2是无理数，故√2 Q；空集 中不含任何元素，故0 ；1/2是分数，不是整数，故1/2 Z．
13．0　解析：因为1∈A，所以a＋2＝1或(a＋1) ＝1或a ＋3a＋3＝1．当a＋2＝1时，a＝－1，此时(a＋1) ＝0，a ＋3a＋3＝1，集合A＝{1，0，1}，元素重复，不满足互异性，舍去；当(a＋1) ＝1时，a＝0或a＝－2．若a＝0，则A＝{2，1，3}，满足互异性；若a＝－2，则a＋2＝0，a ＋3a＋3＝1，集合A＝{0，1，1}，元素重复，舍去；当a ＋3a＋3＝1时，a ＋3a＋2＝0，解得a＝－1或a＝－2，均不满足互异性．综上，a＝0．
14．6　解析：因为x∈N，y∈N，且x＋y＜3，所以x可以取0，1，2．当x＝0时，y＝0，1，2；当x＝1时，y＝0，1；当x＝2时，y＝0．故A＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)}，共有6个元素．
四、解答题
15．　解析：(1)A＝{－1，0，1，2}，A是有限集．(2)B＝{－2，2}，B是有限集．(3)C＝{(x，y)|xy＞0，x∈R，y∈R}，C是无限集．(4)D＝{x|x＝3n＋1，n∈N}，D是无限集．
16．　解析：(1)因为1∈A，所以a×1 －3×1＋1＝0，即a－2＝0，解得a＝2．(2)①当a＝0时，方程化为－3x＋1＝0，解得x＝1/3，此时A＝{1/3}，集合A中只有一个元素，符合题意．②当a≠0时，要使集合A中只有一个元素，则方程ax －3x＋1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(－3) －4a＝9－4a＝0，解得a＝9/4，此时方程化为9x －12x＋4＝0，解得x＝2/3，此时A＝{2/3}．综上，当a＝0时，A＝{1/3}；当a＝9/4时，A＝{2/3}．
17．　解析：(1)因为2∈A，所以1/(1－2)＝－1∈A；因为－1∈A，所以1/[1－(－1)]＝1/2∈A．所以集合A中除2以外的另外两个元素为－1和1/2．(2)不能．理由如下：设a∈A（a≠0且a≠1）．由题意，1/(1－a)∈A，进而1/[1－1/(1－a)]＝(a－1)/a∈A．下面说明a，1/(1－a)，(a－1)/a两两不相等：若a＝1/(1－a)，则a －a＋1＝0，此方程无实数解；若a＝(a－1)/a，则a －a＋1＝0，无实数解；若1/(1－a)＝(a－1)/a，则a＝(a－1)(1－a)，即a －a＋1＝0，无实数解．所以a，1/(1－a)，(a－1)/a互不相等，集合A中至少含有3个不同的元素，故集合A不可能为只含两个元素的集合．
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