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16.3.2 完全平方公式 第2课时 同步检测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册
一、单选题
1．下列各式中，添括号或去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”．
下列相关说法正确的个数是：
①存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等；
②不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为；
③对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果．
其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
4．下图是老师出示的计算题，下列序号处的填写不正确的是（ ）
A．①处填 B．②处填
C．③处填 D．④处填
5．已知，则（ ）
A．4 B．10 C．16 D．20
6．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．
如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数；
若，则不是“和谐数”；
，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”．
则上述结论正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．若a、b满足，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题
8．化简： ___．
9．已知的三边分别为a、b、c，且满足，那么第三边 c的取值范围为_______．
10．将个数排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则__．
11．已知，则的值是________．
12．已知，，，，则的值等于_______________．
13．“替换方法”贯穿代数学习的始终，为我们快速学习代数运算提供方便，如将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则_______________ ．
三、解答题
14．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
15．先化简，再求值：，其中，
16．数学活动课上，小明发现了一个有趣的几何图案：如图1所示，有一个边长为x的大正方形，在其内部依次嵌套着边长为y和z的两个小正方形．三个正方形的中心重合，且对应边平行．若大正方形与中间正方形的面积差记为，中间正方形与最小正方形的面积差为．
(1)问题探究
设，，，，用a，b表示，用c，d表示；
(2)如图2，已知，，求阴影部分（大正方形减去最小正方形）的面积；
(3)若，且，
①求的值；
②在①的条件下，若，求 ．
17．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：．
例如：．
【基础应用】
(1)求的值；
【转化求解】
(2)若，求x的值；
【拓展延伸】
我们学过的乘法公式（如完全平方公式）既可以“从左到右”正向使用，也可以“从右到左”逆向使用．例如：
正向使用，
逆向使用．
在解决某些问题时，逆向使用公式常常能帮助我们简化问题．
(3)若，求的个位数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C C D B B D
1．D
【分析】本题考查了去括号与添括号的法则，按照去括号或添括号的法则进行即可．
【详解】解：A、，故添括号错误；
B、，故添括号错误；
C、，故去括号错误；
D、，故去括号正确．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例或反例．
【详解】解：选择进行“加括号操作”得到，
与原多项式相等，故说法正确；
∵无论选择哪两个字母，的正负是不发生改变的，
∴任何一轮“加括号操作”与原多项式相加是无法消去，
∴不存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为是正确的；
对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果，
举出反例：选择进行“加括号操作”，得到，
选择进行“加括号操作”，得到，
选择进行“加括号操作”，得到，
选择进行“加括号操作”，得到，
选择进行“加括号操作”，得到，
结果数大于四种，故说法错误；
∴正确的个数为
故选：．
3．C
【分析】本题考查了换元代入法求代数式的值．通过变量替换简化方程，利用完全平方公式求出，再利用平方差公式求解．
【详解】解：设，则
代入原方程得：，
整理得：，
所求表达式为：，
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了整式混合运算，将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
【详解】解：
，
故选：．
5．B
【分析】本题考查乘法公式的应用；根据已知条件，利用平方差公式求出的值，再由完全平方公式即可求得结果．
【详解】解：，
，
即，
∵，
，
．
故选：B．
6．B
【分析】先根据“和谐数”的定义推导得出任意正的“和谐数”都是的正整数倍，再分别对三个结论逐一化简验证即可．
【详解】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数，
化简：，
任意“和谐数”都是的正整数倍，
验证结论：，
是正整数，
是的倍数，故正确；
验证结论：
，
，
，是的倍数，
是“和谐数”，故错误；
验证结论：设，是正整数，
是“和谐数”，
，得，
“和谐数”是的倍数，
是的倍数，，
是的倍数，
是奇数，即是奇数，
是“和谐数”，
是的倍数，得是奇数；
是奇数，是奇数，
，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即（为正整数），
，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确；
综上，正确的结论有，共个．
7．D
【分析】本题考查整式的乘法，完全平方公式，不等式的性质等．熟练运用完全平方公式的变形是解题的关键．
先将式子化简为，由得到，即可得到的最大值，同理得到，得到的最小值，即可解答．
【详解】解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最大值为；
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为2，
∴的最小值为；
即的最大值为，最小值为，
它们的差为．
故选：D
8．
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别根据完全平方公式和平方差公式计算，再进行合并即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了完全平方公式，构成三角形的条件，非负数的性质，根据完全平方公式可得，则由非负数的性质可得，再根据即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了完全平方公式，根据新定义得出，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴
∴
∴
∴
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将变形化为，即可得到，求出即可求解．
【详解】解：∵，
∴
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：
12．/
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式变形，将已知式子的值代入，即可求解．
【详解】解：∵，，，，
，
，
．
故答案为：．
13．
【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
依据，将b换作，即可得到计算结果．
【详解】解：
．
故答案为：．
14．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）根据完全平方公式，平方差公式，整式的除法解答即可；
（）根据完全平方公式，平方差公式，整式的加减解答即可；
（）连续利用平方差公式解答即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
15．，0
【分析】此题考查了完全平方公式，平方差公式．原式第一项利用完全平方公式展开．第二项先利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当，时，原式 ．
16．(1)，
(2)240
(3)①21；②1
【分析】（1）利用平方差公式求解；
（2）利用平方差公式求解；
（3）①首先将利用完全平方公式展开，然后代入求解即可；
②首先将利用完全平方公式展开，然后代入，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴阴影部分；
（3）解：①∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
②由①得，
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴．
17．(1)7
(2)
(3)2
【分析】（1）根据新定义，进行有理数的混合运算；
（2）根据新定义，得到一元一次方程，求解即可；
（3）根据新定义，进行整式的混合运算，再代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由得：，
化简得：，
解得：；
（3）解：∵
∴
∴
∵
∴，
∴．
将代入，得
，
计算2的幂次的个位数规律：
，个位数是2；
，个位数是4；
，个位数是8；
，个位数是6；
，个位数是2；
，个位数是4；
可以发现2的幂次的个位数是以2，4，8，6为周期循环的，
∵，其中1是余数，
∴的个位数与的个位数相同，即为2，
∴的个位数为2．
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