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29.1.2 过三点的圆 第1课时 同步检测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册
一、单选题
1．说法正确的是（ ）
A．三角形的外心是三角形三条高的交点
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．一个三角形有且只有一个外接圆
D．一个圆有且只有一个内接三角形
2．如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（ ）
甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求
A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，若外接圆的圆心坐标为，则和的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点．
作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线；
（2）连接，作线段的垂直平分线，交于点；
（3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．连接，则点是的内心
B．
C．连接，则不是的半径
D．若连接，则点在线段的垂直平分线上
5．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为
C．点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆上
6．在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C． D．
8．在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（ ）
甲：；
乙：；
丙：的外接圆半径为4
A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙
二、填空题
9．如图，填空：
（1）是的______________三角形．
（2）是的______________圆．
（3）圆心O是的______________的交点．
10．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______．
11．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____．
13．如图，O是的外心，则________．
14．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为____．
三、解答题
15．已知线段．
(1)作半径为4的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？
(2)作半径为3的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？
(3)作半径为2的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？
16．如图，在围成新月形的两条弧（和）中，哪一条弧的半径较大？分别作出它们所在的圆，验证你的猜想．
17．已知，．
(1)求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)若为，为，求的半径．
18．如图，已知等腰，，请用尺规作图的方法在上方作点C，使得以点为圆心的经过A、B、C三点，且点C在的垂直平分线上．（不写作法，保留作图痕迹）
19．如图，在坐标系中，、、．
(1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________；
(2)这个圆的半径为：_______；
(3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”）
20．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上．
(1)作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出；
②画出三角形的外接圆；
(2)求的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C D D D D B
1．C
【分析】本题考查三角形的外接圆和圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆和三角形的外心是三边垂直平分线的交点求解即可．
【详解】解：A、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故错误；
B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，因而外心到三个顶点的距离相等，故错误；
C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故一个三角形有且只有一个外接圆，正确；
D、一个圆有无数个内接三角形，故错误．
故选：C．
2．A
【分析】甲的作法：先连接，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断甲的作法正确；乙的作法：先连接，再利用中点的性质和作法得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断乙的作法正确．
【详解】解：甲的作法：
如图，连接，
，
．
点O为中点，
，
点O是的外心，
甲的作法正确；
乙的作法：
如图，连接，
点O为中点，
．
由作法可知，，
，
点O是的外心，
乙的作法正确．
3．C
【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，根据三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，从而得出，，计算即可得解，熟练掌握三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点是解此题的关键．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，且外接圆的圆心坐标为，
∴，，
∴，，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查作图，三角形的外接圆与外心等知识；根据三角形的外心的定义和性质一一判断即可．
【详解】解：连接，
由作图可知，∵点是，垂直平分线上的焦点，
∴点是的外心，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴A错误，D正确，
∵点的位置不确定，
∴的长度不确定，∴B错误；
∵点是的外心，且以为圆心，长为半径作
∴
∴是的半径，∴C错误；
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、点和圆的位置关系、勾股定理等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据点与圆的位置关系，确定圆的条件及勾股定理计算解答即可．
【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，垂足分别为，相交于点，
则点为圆弧所在圆的圆心，
,
，
，
故选项B正确，
连接，
，
这条圆弧所在圆的半径为，
故选项A正确，
连接，
，
点在这条圆弧所在圆上，
故选项C正确，
，
，
，
点在这条圆弧所在圆外，
故选项D错误，
故选： D．
6．D
【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答．
【详解】解：设直线的解析式为：
则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
，， 三点可以确定一个圆时，，
故选：D．
7．D
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵的外心为O，
．
，
，
、是方格纸格线的交点，
、的位置如图所示，
．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圆与外心是解题的关键．
根据题意画出图形，使，，点在射线上，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得的长，再由和的长作比较即可判断甲乙；由和的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可以在的上、下两侧，即可判断丙．
【详解】解：如图，，，点在射线上，作于点，
，
，
不存在的，故甲不符合题意；
，，，
而，
存在的，使得的长唯一成立，如上图中的点即是，故乙符合题意；
，，
当的外接圆半径为4时，
如图，
，
，
，
，
存在两个使的外接圆半径为4，两个外接圆的圆心分别在的上、下两侧，故丙不符合题意；
综上所述，只有乙符合题意．
故选：B．
9． 内接 外接 三边垂直平分线
【分析】直接根据三角形的外接圆与外心相关概念分别分析得出即可．
【详解】解：（1）由题意得，是的内接三角形；
（2）由题意得，是的外接圆；
（3）∵是的外接圆，
∴圆心O是的三边垂直平分线的交点．
10．个
【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置；
圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数．
【详解】解：设的中点为，圆心为，
∵
∴
∵
∴
∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个，
故答案为：个．
11．5
【分析】已知直角三角形两条直角边长，直角三角形外接圆的直径等于斜边长，先由勾股定理求出斜边长，再计算半径即可．
【详解】解：设两条直角边分别为，，斜边为．
由勾股定理得：．
∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长，
∴外接圆直径为，
∴外接圆半径为．
12．
【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接．
∴四边形为正方形，
∴垂直平分，
又∵垂直平分，
∴和的交点即为的外心M，
，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴的半径为，
故答案为：．
13．/90度
【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可．
【详解】解：由题意，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，则．
14．5
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点．
先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数．
【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为，
以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆，
由图可知，还经过点、、、、这5个格点，
故答案为：5．
15．(1)这样的圆能作2个
(2)这样的圆能作1个
(3)这样的圆能作0个
【分析】（1）要确定作半径为4且经过两点的圆的个数，需先作的垂直平分线，再以为圆心、4为半径作弧，看与垂直平分线的交点个数，交点个数即为圆的个数；
（2）作半径为3且经过两点的圆，先作的垂直平分线，找到中点，判断以为圆心、3为半径的圆是否经过；
（3）判断作半径为2且经过两点的圆的个数，需比较半径与一半的长度，看是否存在这样的圆心．
【详解】（1）解：这样的圆能作2个，如图①所示．
作的垂直平分线，再以点为圆心，4为半径作弧，交于点，，然后分别以点，为圆心，4为半径作圆，则和为所求．
（2）解：这样的圆能作1个，如图②所示．
作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，3为半径作圆，则为所求．
（3）解：，其一半为3，半径2小于3，不存在到距离为2的点，所以这样的圆能作0个．
【点睛】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键．
16．的半径较大，
理由：因为，
所以的半径较大．
【详解】解：的半径较大．
如图，作的垂直平分线交于点C，交于点D，再作的垂直平分线交直线于点，作的垂直平分线交直线于O点，则点为所在圆的圆心，点O为所在圆的圆心，
连接
17．(1)
如图所示：
(2)的半径为5．
【分析】本题主要考查三角形外接圆，圆的有关概念以及勾股定理和垂直平分线的作法，掌握三角形外接圆的画法和其性质是解题的关键．
（1）根据题意画的外接圆，即先画三条边的垂直平分线，其交点为圆心，以为半径作圆即可；
（2）先根据勾股定理求出，即可求出半径的值．
【详解】（1）略
（2）∵，，，，
∴，
∵令的半径为，
∴．
18．
解：如图所示，点C即为所求．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，圆的基本性质，先作线段的垂直平分线，再以O为圆心，的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点C，则点C即为所求．
【详解】略
19．(1)
(2)
(3)外
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握圆心在弦的垂直平分线上是解题的关键．
（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点M，从而得到点M的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出，即可求解；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【详解】（1）解：如图，利用网格特点，作和的垂直平分线，交于点M，
圆心的坐标为．
（2），，
，
圆的半径长为．
（3），，
，
，
点在外．
20．(1)
①如图所示：
②如图所示：
(2)
【分析】本题考查网格作图，熟练掌握图形的旋转性质，三角形外接圆性质，三角形面积公式，是解题的关键．
（1）①根据旋转的性质作图即可；②根据三角形外接圆性质作图即可；
（2）连接，根据三角形的面积公式，求解即可．
【详解】（1）①将点A、B绕点C逆时针旋转得到，
连接，得到．
②分别取边垂直平分线上的格点，
作边的垂直平分线相交于点O，
以O为圆心长为半径画圆，
得到的外接圆．
（2）连接，
∴的面积为．
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