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29.1.2 过三点的圆 第2课时 同步检测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册
一、单选题
1．若要说明“如果，那么”为假命题，则，的值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．用“反证法”来证明“等腰三角形的底角必为锐角”应先假设（ ）
A．假设等腰三角形的底角为钝角
B．假设等腰三角形的底角为直角
C．假设等腰三角形的底角为直角或钝角
D．以上都不对
3．已知命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
4．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于”，则应先假设（ ）
A．四边形中每个内角都小于 B．四边形中有一个内角小于
C．四边形中有一个内角大于 D．四边形中每个内角都大于
5．已知命题A∶“任何等腰三角形的底边的长度都比腰的长度长”，下列三边长度可以作为证明“命题A是假命题”的反例的是( )
A．3，4，5 B．8，6，6 C．6，6，12 D．6，8，8
6．用反证法证明“在中，，，中不可能有两个角是钝角”时，假设，，中有两个角是钝角，不妨令，，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（ ）．
A．已知 B．三角形内角和等于
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
7．设均为整数，若，则下列结论正确的是（ ）
A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数
C．必一奇一偶 D．不可能是偶数
8．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题：
①如果，那么为中点；
②如果，那么．
对于这两个命题判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题．
二、填空题
9．“若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设________．
10．举一个反例：______，说明“若能被5整除，则的末位数字是5”是假命题．
11．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____．
12．用反证法证明命题 “已知a，b，c是三条不同的直线，如果，，那么”时，第一步应假设______．
13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，________．
14．填空：
小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤：
①假设在中，和都是直角；
②则，________________；
③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”）
三、解答题
15．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例．
(1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数．
(2)等角的补角相等．
(3)如果，那么．
(4)两个奇数的和一定是偶数．
16．如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角．
17．请从下列三个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．
（1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（2）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
18．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整．
已知：如图，是的一个外角．
求证：
证明：假设______．
在中，，
∴______．
∵______，
∴______．
∴______．
∴与假设相矛盾．
∴假设不成立．
∴原命题成立，即．
19．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)用反证法证明不可能是直角三角形．
20．阅读理解
材料阅读：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为．
即：当n为非负整数时，如果，则．
如：，，，…
解决下列问题：
(1)填空：① ．
②如果，求x的取值范围；
(2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A D B A A
1．C
【分析】本题考查假命题的判断，关键是找到满足题设条件但不满足结论的反例．
【详解】解：选项A：，，，，
满足，不能说明原命题为假；
选项B：，，，，
满足，不能说明原命题为假；
选项C：，，，，即，不满足，
该选项可说明原命题为假；
选项D：，，，，
满足，不能说明原命题为假；
故选：C．
2．C
【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需找出原结论的反面即可得到答案，即假设等腰三角形的底角为直角或钝角．
【详解】解：反证法的第一步为假设原命题的结论不成立，
∵原命题结论为“等腰三角形的底角必为锐角”，
∴结论的反面为“等腰三角形的底角不是锐角”，
∵非锐角包含直角和钝角，
∴应假设等腰三角形的底角为直角或钝角．
3．D
【分析】本题考查了反例法证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条中垂线交点在三角形外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵钝角三角形的三条中垂线交点在三角形外部，
∴该命题为假命题，钝角三角形符合反例要求．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立，解题关键是正确得到原结论的否定形式.
【详解】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于”，则应先假设“四边形中每个内角都小于”.
5．D
【分析】本题考查举反例证明假命题，要证明命题A是假命题，需找到一个能构成等腰三角形且底边长度不大于腰长的三边组合，同时满足三角形三边关系，据此进行判断即可．
【详解】解∶A、不是等腰三角形，不能作为证明“命题A是假命题”的反例，不符合题意；
B、满足命题A，不能作为证明“命题A是假命题”的反例，不符合题意；
C、，不能组成三角形，不能作为证明“命题A是假命题”的反例，不符合题意；
D、是等腰三角形，且底边长度小于腰长，可以作为证明“命题A是假命题”的反例，符合题意；
故选D．
6．B
【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：假设、、中有两个角是钝角，
令，，
则，
这与三角形内角和等于相矛盾，
故选：B．
7．A
【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D．
【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，
∴是偶数，
∴此时一定不满足，
∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意；
∵，满足，本例中都是偶数，是偶数，
∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意；
8．A
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②．
【详解】解析：①三角形为等边三角形，
∴，
，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
，
∵，，
，
，
为中垂线上的点，
∵，
∴为中垂线上的点，
∴垂直平分，
为中点；
所以①为真命题；
假设与不平行，作，与交于点，作，则：，，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，即：，与矛盾，
∴假设不成立，
∴；故②为真命题．
故选A．
9．
【详解】解：若，则，用反证法证明这个结论时，应先假设．
10．
（答案不唯一）
【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足条件“能被整除”，但不满足结论“的末位数字是”的即可，根据能被整除的数的特征，选取末位为的符合要求的数即可
【详解】解：根据能被整除的整数的特征可知：能被整除的整数，末位数字为或，
取，
因为，所以能被整除，
的末位数字为，不是，满足题设条件不满足结论，可说明原命题是假命题，
故答案为（答案不唯一）
11． 1
【分析】要证明原命题为假命题，只需找到一组满足但不满足的实数，即可．
【详解】解：取，时， ，，可得，即，满足原命题的条件；
，，可得，即，不满足命题的结论，可说明原命题是假命题．
12．a与c不平行
【详解】解：由题意，第一步应假设a与c不平行.
13．（答案不唯一）
【分析】判断一个命题为假命题可通过举反例求解，已知，只需找到满足且不满足的即可．
【详解】解：当，时，，，满足，
又，，可得，不满足，
，可说明原命题是假命题．
14． 这与三角形内角和定理矛盾 不能
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立．
【详解】解：假设中和都是直角，
则，，．
又，
则，
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设不成立，
所以一个三角形中不能含有两个直角．
故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”．
故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能．
15．(1)假命题；反例：0
(2)真命题
(3)假命题；反例：
(4)真命题
【分析】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）绝对值等于本身的数不仅有正数，0的绝对值是0．
（2）若两个角相等（设为），则它们的补角分别为和，显然相等．
（3）当时，
（4）奇数可表示为（为整数），两个奇数相加为，是2的倍数，故为偶数．
【详解】（1）解：假命题
反例：0的绝对值等于它本身，但0不是正数．
（2）解：真命题
（3）假命题
反例：取，则．
（4）解：真命题．
16．
证明：假设是钝角或直角．
∵，是底边上的高，
∴．
∵是钝角或直角，
∴，不符合三角形内角和定理，
∴假设不成立，
∴是一个锐角．
【分析】本题考查的是反证法，熟知等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．
假设是钝角或直角，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行证明即可．
【详解】略
17．（1）真命题，证明见解析（答案不唯一，合理即可）；（2）假命题，反例见解析（答案不唯一，合理即可）；（3）假命题，反例见解析（答案不唯一，合理即可）（任选其二即可）
【分析】（1）构造四边形，根据平行线的判定和性质证明四边形是平行四边形即可．
（2）举出反例即可；
（3）举出反例即可．
【详解】解：（1）真命题
已知：如图在四边形中，．
求证：四边形是平行四边形
证明：∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形（答案不唯一，合理即可）
（2）假命题
反例如图：
（答案不唯一，合理即可）
（3）假命题
反例如图：
（答案不唯一，合理即可）
18．；；；；
【分析】本题考查了反证法的应用、三角形内角和定理及平角的定义，解题的关键是正确作出反设（假设结论不成立），并利用内角和与平角性质推出矛盾．
假设结论不成立；利用三角形内角和表示，利用平角表示；推导得出，与假设矛盾，从而证明原命题．
【详解】反证法的第一步是假设结论不成立，因此假设．
根据三角形内角和定理，，变形得．
由于是的外角，与组成平角，故，因此．
由上述两步可知，这与假设矛盾．
因此假设不成立，原命题成立．
19．(1)
证明：，
，
又，
，
在与中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
(2)
解：假设是等腰直角三角形，
则，
，
由（1）可知：≌，
∴，
，
，
，
不可能是等腰直角三角形．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．
（1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论；
（2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立．
【详解】（1）略
（2）略
20．(1)①3；②
(2)不成立．
如，，则，
，
，
不成立．
【分析】（1）①根据新定义计算即可；
②根据新定义列不等式组求解即可；
（2）取具体数据代入计算即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
②，
，
解得：；
（2）略．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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