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29.2.1 垂直于弦的直径 同步检测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册一、单选题
1．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
4．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为( )
A． B． C． D．
6．盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在中，是直径，连接，若，于点，，则的长是_____________．
8．如图，为的弦，连接、，点在上连接并延长交于点，连接，若，则的度数为___________°．
9．如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________．
10．如图，在中，弦垂直于直径，垂足是，已知，则的长为__________．
11．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________．
12．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米．
三、解答题
13．如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径， 交于点E．且．若，，求．
14．如图，已知梯形内接于（梯形四顶点均在圆上），，且位于圆心的异侧．若的半径为，求梯形的面积．
15．如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证：
(1)；
(2)．
16．如图，是直径，是的弦，于点；
(1)若的半径是10，，求的长
(2)若，，求的半径？
17．如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐．
(1)___________ ，___________ ；
(2)设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为．
①___________ ，___________ ；
②求的半径．
18．利用以下素材解决问题．
问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽端点到拱顶点距离，拱顶离水面的距离．
设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型
任务 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B C C C B
1．C
【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可．
【详解】解： ，，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
．
2．B
【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可．
【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得，
，
在中，由勾股定理得，即：，
解得，
拱桥的半径为．
3．C
【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ，
∵，，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
解得：，
，
即的半径为10．
4．C
【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算．
【详解】解：连接，
∵的半径是5，是的直径，弦，，
∴，
∴ ，
∴，
∴．
5．C
【分析】根据作图可得，根据垂径定理可得得出，进而得出，再根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
根据作图可得
∴
∵
∴
∴
∴．
6．B
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理．
连接，设，则，根据勾股定理可得，解方程即可求出圆的半径．
【详解】解：如下图所示，连接，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得：，
圆的半径为．
故选：B．
7．6
【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理列式求出，根据三角形中位线定理求出结果即可．
【详解】解：，为的半径，，
，
在中，，
，即，
，
，
，
．
8．
30
【分析】首先根据点在上得出的度数，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，最后根据圆周角定理求解即可
【详解】解：点在上，，
，
，
，
，
，
，
与分别是所对的圆周角和圆心角，
．
9．20
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可．
【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，
则，，
∴，
∴，
即这些钢索中最长的一根为，
10．
【分析】根据三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得，得出是等腰直角三角形，进而根据垂径定理和勾股定理得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
∵弦垂直于直径
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
11．
【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可．
【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上，
，
由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ，
，，
在 中，由勾股定理得：，
点在上，
，
．
12．10
【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，
由题意可得，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，
设的半径为r，则，
∴，
∵过圆心O，且，
∴，
∵在中，，
∴，解得，
∴所在的半径为10分米．
13．2
【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理可得、，进而得到、，根据平行线的性质可得，再根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理求出的长，利用线段和差关系求解长即可．
【详解】解：
、
、
、
．
14．
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，过点O作于F，延长交于E，连接，由垂径定理和勾股定理可求出的长，可证明，则由垂径定理和勾股定理可求出的长，进而求出的长，再根据梯形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作于F，延长交于E，连接
∴，
∵的半径为4，
∴，
∴；
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．(1)证明：，理由如下：
过点分别作，，垂足分别为、，
，，
和是直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
．
(2)证明：，
，
，，
，
．
【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出．
（2）由，可得，再根据垂径定理即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
16．(1)；
(2)；
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）并结合勾股定理列方程计算是解题的关键．
（1）根据垂径定理，由得，再连接，利用勾股定理在中求．
（2）设圆的半径为，则，结合垂径定理得，再用勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：连接．
∵ 是直径，，，
∴ ，
∵ 是半径，，
∴在中，；
（2）解：连接．
设的半径为，则，．
∵ 是直径，，
∴ ，
在中，∵ ，
∴ ，
解得；
17．(1)3，4
(2)①，2；②
【分析】题目主要考查垂径定理、勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意直接求解即可；
（2）①利用垂径定理求解即可；②设，得出，再利用勾股定理求解即可得出结果．
【详解】（1）解：∵当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐，
∴，
故答案为：3；4；
（2）①∵，，
∴，
故答案为：，2；
②设，
，
在中，，
，
在Rt中，，
，
，
解得，
，
的半径为．
18．方案一：半径为10m；方案二：
【分析】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握以上性质．
（1）利用垂径定理和含角的直角三角形的性质，得出是等边三角形，然后进行求解即可；
（2）利用待定系数法进行求解即可．
【详解】解：方案一，设圆的圆心为，连接、、．
，
．
，
，，直线过点．
，
．
．
．
，
是等边三角形．
．
故半径为；
方案二，∵顶点坐标为，
设桥拱的函数解析式为．
，
，代入得．
解得．
故函数解析式为．
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