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29.3 弧长和扇形面积 第1课时 同步检测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册
一、单选题
1．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的直径，是弦，．的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______．
10．若一个扇形的半径是，此扇形的圆心角是，则它的弧长等于______．
11．如图，是的直径，点在上，连接、，平分交于点，若的半径是，则的长度是______．
12．如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______．
13．砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______．
14．如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π）
三、解答题
15．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，求扇形和的面积分别是多少．
16．如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若．
(1)求的度数；
(2)的长度为__________．
17．如图，是的内接三角形，是的直径，连接，．
(1)求的度数．
(2)若，求图中阴影部分的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，为的直径，点为上一点，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求图中阴影部分的面积．
19．已知是上一段圆弧．
(1)如图1，连接，，，若，，求的长度；
(2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的；
(3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积．
20．（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____；
（2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积：
（3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A B A B B
1．B
【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数．
【详解】解：设圆心角为，根据题意，得
，
∴．
即这条弧所对的圆心角为．
2．B
【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径．
【详解】解：设的半径为，
∵，，，
代入公式得，
解得，即的半径为．
3．C
【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：，
，
是的外角，
，
是的直径，
的半径为，
的长为：．
4．A
【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解．
【详解】解：．
5．B
【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可．
【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧，
半径，圆心角，
手腕的运动路线长：．
6．A
【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵，是斜边上的中线，，
∴，
∴，
∴，
由作图可知，
∴，
∴，
∴扇形的面积为．
7．B
【详解】解：的长．
8．B
【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
9．
【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可．
【详解】解：设扇形的半径为，
根据题意，得，
则
解得或（不符合题意，舍去），
扇形的半径是．
10．
【分析】将已知的半径和圆心角代入扇形弧长公式计算即可，其中为圆心角度数，为扇形半径．
【详解】解：∵扇形半径，圆心角，扇形弧长公式为，
∴将数值代入公式得．
11．
【分析】根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义求出的度数，根据圆周角定理得到，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
则的长度是．
12．
【分析】连接，设，的半径为，根据弧长公式得到，由圆周角定理和已知条件推出，据此由弧长公式可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，设，的半径为，
∵的长度为，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴的长度是．
13．140
【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为，
弧的长为，弧的长为，
，，
，即．
，
，
解得，
，
该砖雕的面积为
．
14．/
【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为，
第一次翻滚，点经过的路径长为，
第二次翻滚，点经过的路径长为，
则点滚动所经过的路径长为．
15．；
【分析】本题考查了扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，解题的关键是利用翻折性质得出线段与角度关系，结合公式计算面积．
由翻折得折痕是的垂直平分线，故，结合得是等边三角形，；再用扇形面积公式算，用等边三角形面积公式算．
【详解】解：设直线l与交于点D，如图所示，
扇形中，，
，
点与圆心重合，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，熟知圆周角定理是解题的关键．
（1）由圆周角定理可得的度数，再由平行线的性质可得答案；
（2）连接，由圆周角定理可得的度数，再由弧长计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴的长度．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理、含直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由直径所对的圆周角为可知，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据角的和差即可解答；
（2）如图：连接，由含直角三角形的性质以及勾股定理可得，，如图：过O作于E，易得，由三角形的面积公式可得，再说明，利用扇形的面积公式可得，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
在中，，，
∴，，，
如图：过O作于E，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解k值即可；
（2）如图，连接．先利用坐标与图形性质求得，由求解即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，解得，
反比例函数的表达式为．
（2）解：如图，连接．
．
为的直径，
，
，
．
19．(1)
(2)
如图即为所求；
(3)
【分析】本题考查了弧长公式，画旋转图形，等边三角形的性质，求扇形面积；
（1）根据勾股定理求得半径，进而根据弧长公式，即可求解；
（2）根据题意作出旋转后的圆心，再作出等边三角形，作出的等圆，取，即可求解．
（3）根据扫过的图形面积等于，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵，，
∴，
∴的长度为，
（2）解：如图所示，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，，再为圆心、以为半径作弧，交于点，以为圆心，为半径作，则即为所求；
（3）解：由（2）可得扫过的图形面积等于
又∵，
∴．
20．（1）54；（2）；（3）
【分析】本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式．
（1）直接利用扇形的面积公式计算即可；
（2）设，根据弧长公式得到，进而求出，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积，则可计算出扇环的面积；
（3）设梯形的高为h，由（2）得，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论．
【详解】解：（1）该纸筒的侧面积为；
故答案为：54；
（2）设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴扇环的面积为
，
∵，
∴扇环的面积为；
（3）设图形的高为h，
由（2）得，
∵等于的长，等于的长，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
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