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万有引力定律及其应用--双星与多星问题 专题练 2027届高中物理一轮复习备考
一、单选题
1．如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m，它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球A看过去，双星运动的平面与AO垂直，A、O间距离恒为L。观测发现质量较大的恒星M做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为（单位是弧度）。已知引力常量为G，很小，可认为，忽略其他星体对双星系统的作用力。则（　　）

A．恒星m的角速度大小为
B．恒星m的轨道半径大小为
C．恒星m的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m和M满足关系式
2．在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（ ）
A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为
3．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是和（），P有一颗卫星M，以轨道半径绕P顺时针以周期做匀速圆周运动，已知，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　）
A．由已知条件可以求出Q的质量
B．恒星P、Q之间的万有引力为
C．若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径
D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为
4．天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测。发现了一个恒星质量级的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗密度相同的恒星，绕点做圆周运动，在与双星系统同一平面上双星系统外的观测点A观测双星的运动，得到，的球心到OA连线的距离与观测时间的关系图像如图所示。引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．、的线速度之比为2∶3
B．、的质量之比为3∶2
C．、的质量之和为
D．、两恒星表面的重力加速度之比为2∶3
5．2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。科学家观测到有三颗星A、B、C保持相对静止，相互之间的距离均为l，且一起绕着某点做周期为T的匀速圆周运动。已知，，不计其它星体对它们的影响。关于这个三星系统，下列说法正确的是（　　）
A．三颗星A、B、C的半径之比为
B．三颗星A、B、C的线速度大小之比为
C．若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为
D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为
6．深空中，某行星X绕恒星Y逆时针方向公转，卫星Z绕X逆时针方向运行，X轨道与Z轨道在同一平面内。如图，某时刻Z、X和Y在同一直线上，经过时间t，Z、X和Y再次在同一直线上（相对位置的顺序不变）。已知Z绕X做匀速圆周运动的周期为T，X绕Y做匀速圆周运动的周期大于T，X与Y间的距离为r，则Y的质量为（　　）
A． B．
C． D．
7．观测发现质量均为m的双星系统绕圆心转动时，理论计算的周期与实际观测的周期不符，且。可认为在两星球之间存在暗物质，且暗物质均匀分布在以两星球连线为直径的球形空间内。已知质量分布均匀的球体对球外质点的作用力可等效为质量集中在球心处对该质点的作用力，据此下列推断正确的是（ ）
A．若暗物质对星球的作用力为引力，则
B．若暗物质对星球的作用力为斥力，则
C．若暗物质对星球的作用力为引力，则暗物质的总质量为
D．若暗物质对星球的作用力为斥力，则暗物质的总质量为
二、多选题
8．中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成。如图所示，假设在太空中有两颗恒星A、B组成的双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，它们的轨道半径分别为、，运动周期为；C是恒星B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为，且。已知A与B之间的引力远大于B与C之间的引力，万有引力常量为G，则（　　）
A．恒星A的质量小于恒星B的质量
B．恒星A的质量为
C．如果已知C的轨道半径为r，恒星B的质量为
D．三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为
9．如图所示，天文观测中观测到有质量相等的四颗天体位于边长为l的正方形四个顶点a、b、c、d上，四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动，已知引力常量为G，不计其他天体对它们的影响，关于这个四星系统，下列说法中正确的是（　　）
A．四颗天体线速度大小均为 B．四颗天体线速度大小均为
C．四颗天体的质量均为 D．四颗天体的质量均为
10．“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此掩食，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度研究双星。如图，t1时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，t2时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量和圆周运动的半径分别为m1、r1和m2、r2，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似]
A． B．
C． D．
12．我国发射的“悟空”探测卫星对暗物质的观测研究已处于世界领先地位，观测发现宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且 ，科学家认为在两星球之间存在暗物质。若对两星球运动有影响的暗物质均匀分布在以两星球连线为直径的球形空间内，已知质量分布均匀的球体对球外质点的作用力可等效为质量集中在球心处对质点的作用力，两星球质量均为m。下列说法正确的是（　　）
A．暗物质对星球的作用力表现为斥力
B．暗物质对星球的作用力表现为引力
C．球形空间内的暗物质的质量为
D．球形空间内的暗物质的质量为
三、解答题
13．中国探月工程（“嫦娥工程”）分为“绕”“落”“回”3个阶段，嫦娥五号月球探测器已经成功实现采样返回，不久的将来中国宇航员将登上月球。已知引力常量为G。
（1）若探测器在靠近月球表面的圆形轨道无动力飞行，测得其环绕周期为T，忽略探测器到月面的高度，求月球的密度。
（2）忽略其他星球的影响，将地球和月球称为双星，他们受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点O做周期相同的匀速圆周运动，如图所示。已知地球和月球中心之间的距离为L，地球质量M，月球质量m，求月球的运动周期为。
14．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做角速度相等的圆周运动，如图所示。已知星体A的质量为，星体B、C的质量均为m，三角形边长为d。求：
（1）星体A所受的合力大小；
（2）星体A、B、C的向心加速度大小之比。
15．暗物质的研究是目前粒子物理学、天文物理学等学科研究的课题。构建模型研究暗物质，是一直重要的科学思维方法，暗物质与星体间的相互作用遵守万有引力定律。
(1)科学家发现，宇宙中有许多双星系统。双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度（直径）都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当做孤立系统处理。已知某双星系统中每个星体的质量都是，两者相距，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动，已知引力常量为。求：
①该双星系统的运动的角速度大小；
②科学家通过光学实验观测计算得到的角速度大小与上述①中角速度有些差异，为了解释这个问题，目前有理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的暗物质可以提供依据。其模型简化为：假定在以这两个星体连线为直径的球体内，均匀分布着密度为的暗物质，不考虑其它星体影响，根据这一模型可以计算该双星系统的运动的角速度，试求出角速度大小之比。
(2)螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为的球体内，球体外仅有极少的恒星，球体内物质总 质量为，可认为均匀分布。且已知球壳对壳内物体的引力为零。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为，科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的角速度大小随的变化关系如图所示。根据在范围内的恒星运动的与成正比，科学家预言螺旋星系周围区域（）存在一种暗物质。若暗物质质量均匀分布，请建构模型，估算该区域内暗物质密度是球体内物质密度的多少倍？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C B A C CD BD BC
题号 11 12
答案 BD BC
1．D
【详解】A．恒星m与M具有相同的角速度，则角速度为
选项A错误；
B．恒星M的轨道半径为
对恒星系统
mω2r=Mω2R
解得恒星m的轨道半径大小为
选项B错误；
C．恒星m的线速度大小为
选项C错误；
D．对恒星系统
=mω2r=Mω2R
解得
GM=ω2r(r+R)2
Gm=ω2R(r+R)2
相加得
联立可得
选项D正确；
故选D。
【点睛】双星问题，关键是知道双星做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力来提供，知道两者的角速度相同，周期相同.
2．A
【详解】D．a、b、c三个天体角速度相同，由于m << M，则对a天体有
解得
故D错误；
A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有
解得
α = 30°
则c的轨道半径为
由v = ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；
B．由a = ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；
C．c在一个周期内运动的路程为
故C错误。
故选A。
3．D
【详解】A．在P、Q组成的双星系统中，对P根据牛顿第二定律有
解得Q的质量为，故A正确；
B．对于卫星M，由万有引力提供向心力得
解得P的质量为
则恒星P、Q之间的万有引力为，故B正确；
C．若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，设卫星的质量为m，轨道半径为r，根据牛顿第二定律可得
解得
同理可得M的轨道半径为
对P、Q组成的双星系统有
因为，则有，，故C正确；
D．如图所示
P、Q、M三星由图示位置到再次共线时，P、Q转过的圆心角与M转过的圆心角互补，则有
解得，故D错误。
此题选择不正确的，故选D。
4．C
【详解】A．设、两恒星圆周运动的半径分别为和，、的球心到OA连线的距离即为两恒星圆周运动的半径，所以，
因两恒星的角速度相等，根据可知，、的线速度之比为
故A错误；
B．设、两恒星的质量分别为和，两恒星圆周运动所需向心力均来自对方的万有引力，所以有
得
故B错误；
C．根据题意可知，、两恒星圆周运动的周期为
两恒星球心间的距离为
根据万有引力提供向心力有，
两式相加并整理得
将和代入得
故C正确；
D．设，两恒星的半径分别为和，则有，
得
设，两恒星表面的重力加速度分别为和，根据在两恒星表面物体所受重力等于万有引力有，
两式作比得，故D错误。
故选C。
5．B
【详解】A．由于三颗星保持相对静止，一起绕着某点做圆周运动，三星角速度与周期相等，根据对称性，B、C轨道半径相等，作出三星运动轨迹，如图所示
对A星体有
对B、C星体，两星体各自所受引力的合力大小相等，令为F，根据余弦定理有
对B、C星体，两星体各自做圆周运动，B、C轨道半径相等，令为，则有
解得
可知，三颗星A、B、C的半径大小之比为，故A错误；
B．根据线速度与角速度的关系有
三颗星A、B、C的角速度相等，线速度之比等于半径之比，结合上述可知，三颗星A、B、C的线速度大小之比为，故B正确；
C．距离l均不变，对A星体有
若A、B、C的质量均变为原来的2倍，根据对称性可知，三星圆周运动的圆心不变，即轨道半径不变，则有
解得
即若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为，故C错误；
D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，根据对称性可知，三星圆周运动的圆心不变，即轨道半径均变为先前的2倍，则对A星有
解得
即若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为，故D错误。
故选B。
6．A
【详解】在0~t时间内X公转的角度设为θ，则Z绕X转过的角度为
2π+θ
X公转的周期
Z绕X运行的周期
得
设Y的质量为M，X的质量为m，由Y对X的万有引力提供向心力有
解得
选项A正确，BCD错误。
故选A。
7．C
【详解】双星系统中，设两颗质量为的星体间距为，轨道半径为，由万有引力提供向心力，有
解得理论周期
设暗物质总质量为，分布在以双星连线为直径的球体内（半径），依题意，暗物质对星体的作用力等效于球心处质量的引力或斥力，由
有
A．暗物质对星球的作用力为引力时，总向心力为原引力与暗物质引力之和，即
由
解得
若为引力，，即，A错误；
B．暗物质对星球的作用力为斥力时，总向心力为原引力与暗物质斥力之差，即
解得
若为斥力，，即，B错误；
C．由前面分析，若暗物质对星球的作用力为引力，则暗物质的总质量，C正确；
D．由前面分析，若暗物质对星球的作用力为斥力，则暗物质的总质量，D错误。
故选C。
8．CD
【详解】A．因为双星系统的角速度相同，故对A、B可得
即
即恒星A的质量大于恒星B的质量，故A错误；
B．对恒星B，根据万有引力提供向心力
解得恒星A的质量为
故B错误；
C．对卫星C，根据万有引力提供向心力
可得恒星B的质量为
故C正确；
D．由题可知，A、B、C三星由图示位置到再次共线所用时间满足
解得
故D正确。
故选CD。
9．BD
【详解】AB．四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动，其圆心在位于边长为l的正方形的几何中心，由几何关系可得轨道半径均为
由线速度与角速度关系公式，可得四颗天体线速度大小均为
A错误，B正确；
CD．以其中一颗天体为研究对象，其所需向心力由其它三颗天体的万有引力的合力提供，则有
由牛顿第二定律可得
解得四颗天体的质量均为
C错误，D正确。
故选BD。
10．BC
【详解】由图可知双星周期
较亮的恒星，根据牛顿第二定律
较暗的恒星，根据牛顿第二定律
联可得
故选BC。
11．BD
【详解】AB．设太阳和地球绕O点做圆周运动的半径分别为、，则有
r1＋r2 = R
联立解得
故A错误、故B正确；
CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有
再根据选项AB分析可知
Mr1 = mr2，r1＋r2 = R，
联立解得
故C错误、故D正确。
故选BD。
12．BC
【详解】AB．物质间的作用力表现为引力作用，故A错误，B正确；
CD．双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L，万有引力提供向心力
解得
设均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量、位于中点O处的质点的作用相同，则
解得
又因为
联立以上解得
故C正确，D错误。
故选BC。
13．（1）；（2）
【详解】（1）探测器在靠近月球表面的圆形轨道无动力飞行，则有
又
解得
（2）设地球和月球运动的半径分别为，则
根据万有引力提供向心力，有
，
联立，解得
14．（1）；（2）
【详解】（1）设星体A受到星体B、C的引力大小分别为、，分析如图所示，由几何关系知
又
由矢量合成有
则二者的合力大小
（2）由几何对称性可知星体B、C受力大小相等，对星体B分析如图所示
设星体B所受的合力为，正交分解，有
则
则
解得
15．(1)①；②
(2)
【详解】（1）①对于双星系统，根据万有引力提供向心力
可得
②设暗物质的质量为，则
由上式解得
（2）设球体内物质的密度为，则
当时，根据
可得
设暗物质密度为，则
由图可知
解得
即暗物质密度是球体内物质密度的倍。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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