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万有引力定律及其应用--天体的质量和密度的计算 专题练 2027届高中物理一轮复习备考
一、单选题
1．20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间内速度的改变量为和飞船受到的推力（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为的匀速圆周运动。已知星球的半径为，引力常量用表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ）
A． B． C． D．
2．三位科学家因在银河系中心发现一个超大质量的黑洞而获得了诺贝尔物理学奖，他们对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出（ ）
A．黑洞质量约为 B．黑洞质量约为
C．恒星S2质量约为 D．恒星S2质量约为
3．在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的图像分别如图所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，则星球P和星球Q的密度之比为（　　）
A．3∶1 B．1∶1 C．1∶3 D．1∶9
4．古希腊某地理学家通过长期观测，发现6月21日正午时刻，在北半球城阳光与竖直方向成角下射，而在城正南方，与城地面距离为的城，阳光恰好沿竖直方向下射，射到地球的太阳光可视为平行光，如图所示，已知地球表面的重力加速度大小为，万有引力常量为，则（　　）
A．地球半径的表达式
B．地球质量是
C．地球的平均密度是
D．地球的第一宇宙速度是
5．2020年7月31日，北斗闪耀，泽沐八方。北斗三号全球卫星导航系统（如图甲所示）建成暨开通仪式在北京举行。如图乙所示为55颗卫星绕地球在不同轨道上运动的图像，其中T为卫星的周期，r为卫星的轨道半径，1和2对应其中的两颗卫星。已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．地球的半径为x0
B．地球质量为
C．卫星1和2运动的线速度大小之比为
D．卫星1和2向心加速度大小之比为
6．新时代的中国北斗导航系统是世界一流的。空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成。已知地球表面两极处的重力加速度为，赤道处的重力加速度为，万有引力常量为G。若把地球看成密度均匀、半径为R的球体，下列说法正确的是（　　）
A．北斗地球静止卫星距离地球表面的高度
B．北斗地球静止卫星距离地球表面的高度
C．地球的平均密度
D．地球的近地卫星的周期
7．因为太阳离地球比较远，并且比地球大得多，所以太阳光可以认为是平行光。某颗赤道正上方的卫星距离地球表面的高度等于地球半径R，在秋分这天太阳光直射赤道，该卫星上的黑夜时长为，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．该卫星的线速度比地球同步卫星小 B．该卫星的周期为
C．该卫星的角速度为 D．地球的密度为
二、多选题
8．已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小g随物体到星球中心的距离r变化的图像如图所示。关于P、Q星球，下列说法正确的是（　　）
A．质量相同
B．密度相同
C．第一宇宙速度大小之比为2:1
D．静止卫星距星球表面的高度之比为1:2
9．行星外围有一圈宽度为d的发光带（发光的物质），简化为如图甲所示的模型，R为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现发光带中的物质绕行星中心运行速度的平方，与到行星中心距离的倒数之间的关系如图乙所示，已知图线斜率为k，下列说法正确的是（　　）

A．该行星的质量为
B．该行星的质量为
C．该发光带是该行星的组成部分
D．该发光带是环绕该行星的卫星群
10．宇宙中两颗相距很远的行星A、B的质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2，密度分别为ρ1、ρ2，行星表面的重力加速度大小分别为g1、g2，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方v 随r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的周期为T，取对数后得到lgr-lgT图像如图乙所示，两条直线的斜率均为k，它们的纵轴截距分别为b1、b2。已知两图像数据均采用国际单位，。行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图所示，北斗卫星导航系统中的一颗卫星a位于赤道上空，其对地张角为。已知地球的半径为R，自转周期为，表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。根据题中条件，可求出（　　）
A．地球的平均密度为
B．静止卫星的轨道半径为
C．卫星a的周期为
D．a与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通讯的连续时间为
三、解答题
12．某同学非常适合当一名宇航员，设想若干年后，其在月球表面做实验：将一个小球从某高度以速度2水平抛出，经时间小球以45°落在月球地面上。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小；
(2)若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M；
13．1687年牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出理想实验：如果在高山上点水平发射炮弹，速度从0逐渐增大，炮弹落点不断变远，当发射速度增至时，炮弹恰好沿束缚轨道（圆轨道）回到点，成为人造卫星，继续增大发射速度，炮弹将沿椭圆轨道回到点。若地球半径为，万有引力常量为，高山海拔远小于，忽略地球自转和空气阻力。
(1)求地球质量；
(2)若轨道的远地点离地面高度为，求炮弹由发射后经多长时间再次回到处。
14．火星探测任务地面应用系统公开发布“天问一号”科学探测数据，若未来宇航员在登陆火星过程中进行以下实验：
实验一：用长为L的细线悬挂一小球在水平面内做匀速圆周运动，当细线与竖直方向夹角为时，经时间t小球转动了N圈。
实验二：飞船贴着火星表面做匀速圆周运动时，飞船中的宇航员用秒表测量飞船完成n圈的运动时间为t0；
已知万有引力常量为G，不考虑火星的自转，假设火星表面为真空，求：
(1)火星表面的重力加速度大小；
(2)火星的密度；
15．中国宇航员计划在2030年前登上月球，假设宇宙飞船落到月面前绕月球表面做角速度为的匀速圆周运动，运动半径可近似看为月球半径。宇航员登上月球后，做了一次斜上抛运动的实验。如图所示，在月面上，小球从A点斜向上抛出，经过最高点B运动到C点，已知小球在A、C两点的速度与竖直方向的夹角分别为53°，37°，小球在B点的速度为v，小球从A到C的运动时间为t，引力常量为G，，忽略月球的自转影响，已知重力加速度为g。求：
（1）月球的密度（假设月球为均匀物体）以及月面的重力加速度；
（2）宇宙飞船绕月球表面做匀速圆周运动的线速度以及月球的质量。
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C B B D BD BD AD
题号 11
答案 BD
1．D
【详解】飞船的加速度为
根据牛顿第二定律可知飞船的质量
飞船绕星球的角速度为
线速度与角速度的关系
则飞船轨道半径为
万有引力提供向心力
解得星球的质量为
故选D。
2．B
【详解】设地球的质量为m，地球到太阳的距离为r=1AU，地球的公转周期为T=1年；
由万有引力提供向心力可得
解得
对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R=1000AU，根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期为（2002-1994）年=8年，则周期为
T′=16年
根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出
其中R为S2的轨迹半长轴，因此有
代入数据解得
M黑≈4×106M
根据题中条件无法求解恒星S2的质量。
故选B。
3．B
【详解】由图像可知星球P和星球Q表面的重力加速度之比为
在星球表面
可得
根据密度公式可得
其中
可得星球P和星球Q的密度之比为
故选B。
4．C
【详解】A．由题意，根据几何关系可得
解得地球半径的表达式是，故A错误；
B．在地球表面，根据万有引力提供向心力
解得
将的表达式代入解得地球质量为，故B错误；
C．地球的平均密度是
代入的表达式得，故 正确；
D．根据万有引力提供向心力
又
联立解得地球的第一宇宙速度是
代入的表达式得，故D错误。
故选C。
5．B
【详解】A．设地球质量为M，由万有引力提供向心力有
两边同时取对数，整理可得
当时，有
可知x0并不代表地球半径，A错误；
B．对比图像可知
解得
B正确；
C．由
可得
C错误；
D．根据
以及图乙可求得，卫星1和2向心加速度之比为，D错误。
故选B。
6．B
【详解】AB．物体在地球表面两极处的重力大小等于物体受地球的万有引力大小
物体在赤道处随着地球一起自转，由万有引力与支持力的合力提供向心力
联立以上解得地球自转角速度为
北斗地球静止卫星质量为 ，做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力
解得
故A错误。故B正确；
C．根据密度公式和黄金代换式
得地球的平均密度为
故C错误；
D．地球的近地卫星质量为，做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力
解得
故D错误。
故选B。
7．D
【详解】A．该卫星的轨道半径，地球同步卫星的轨道半径约为，由，得，轨道半径越大，卫星的线速度越小，故该卫星的线速度比地球同步卫星大，故A错误；
B．由几何关系可知，该卫星上的黑夜时卫星与地球中心连线扫过的圆心角为，黑夜时长为，该卫星的周期为，故B错误；
C．该卫星的角速度，故C错误；
D．由万有引力提供向心力，
整理得
地球的密度，故D正确。
故选D。
8．BD
【详解】A．由题图可知，两星球的重力加速度大小和半径之比都是1∶2，由
可得
则两星球的质量之比
故A错误；
B．由
可得
故两星球密度相同，故B正确；
C．由
可得
则两星球的第一宇宙速度大小之比
故C错误；
D．由
可得
则两星球静止卫星的轨道半径之比
又因为两星球的半径之比为1：2，故静止卫星距星球表面的高度之比也为1：2，故D正确。
故选BD。
9．BD
【详解】若发光带是该行星的组成部分，则卫星和发光带的角速度相等，根据
可知，速度与半径成正比，与图像不符。
设该发光带是卫星群，则万有引力提供向心力，有
可得
速度的平方与到行星中心距离的倒数成正比，与图像一致，且有
可得
所以发光带应为卫星群。
故选BD。
10．AD
【详解】A．根据牛顿第二定律得
整理得
两边取对数得
根据图乙 ，A正确；
B．根据题意得
解得，B错误；
C．根据牛顿第二定律得，解得
根据图像得 ，解得
根据，解得，C错误；
D．根据，解得
解得，D正确。
故选AD。
11．BD
【详解】A．在地球表面有
地球密度
解得
A错误；
B．对静止卫星有
结合上述解得
B正确；
C．卫星a的轨道半径
根据
解得
由于不能确定地球静止卫星的轨道半径，故C错误；
D．对近地卫星有
解得
令a与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通讯的连续时间为，则有
解得
D正确。
故选BD。
12．(1)
(2)
【详解】（1）在月球表面做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向为匀加速直线运动，则速度与水平方向夹角的正切值为
解得
（2）忽略自转影响，月球对物体的万有引力提供月球表面物体的重力，即
解得月球的质量为
13．(1)
(2)
【详解】（1）忽略高山海拔，圆轨道的半径取。设炮弹质量为，炮弹仅受地球的万有引力，该力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得地球质量为
（2）图中，为椭圆轨道的近地点，地心位于椭圆的一个焦点上，近地点和远地点位于长轴两端。忽略高山海拔，近地点到地心的距离取；远地点离地面高，故远地点到地心的距离为。因此，椭圆轨道的半长轴为
设圆轨道和椭圆轨道的周期分别为和。由匀速圆周运动的周期公式得
两轨道绕同一中心天体运行，开普勒第三定律指出，它们的周期平方与轨道半长轴立方的比值相同，因此
炮弹从发射后首次回到，恰好绕椭圆轨道运行一周，所需时间为
14．(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可知，小球做匀速圆周运动的周期为
由牛顿第二定律有
联立解得
（2）飞船贴着火星表面做匀速圆周运动时的周期为
万有引力提供向心力，有
而
解得
15．（1）；；（2）；
【详解】（1）根据
可得
在A点时的竖直速度
在C点时的竖直速度
向上为正，则从A到C由运动公式
解得
（2）根据
可得
宇宙飞船绕月球表面做匀速圆周运动的线速度
月球的质量
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