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4.3.5 “外方内圆”和“外圆内方”的面积问题 同步测试题
2026-2027学年上学期小学数学人教版 （新教材）六年级上册
一、选择题
1．要剪一个面积是28.26平方厘米的圆形纸片，至少需要面积（ ）平方厘米的正方形纸片。
A．28.26 B．34 C．36 D．38
2．如图所示，几个图形中的正方形都一样大，（ ）图形中的阴影部分与其它图形的阴影部分面积不相等。
A． B． C． D．
3．中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。如图是“外方内圆”，如果图中大正方形的面积是，那么圆的面积是（ ）。
A． B． C． D．
4．在长6cm，宽4cm的长方形中画一个最大圆，这个圆的面积是（ ）cm 。
A．12.56 B．28.26 C．50.24 D．24
二、填空题
5．如图中圆的直径是5厘米，空白部分是圆内最大的正方形，涂色部分的面积是( )平方厘米。
6．中国建筑中经常见到“外方内圆”与“外圆内方”的设计，其中蕴含着为人处世的朴素道理。如果图①中外面正方形的面积是64，则内圆的面积是( )；如果图②中外圆的面积是28.26，则圆内大正方形的面积是( )。
7．美术课上，李老师带领大家一起研究生活中的“艺术与数学”。同学们要在一张边长20cm的正方形纸板中剪出一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )。
8．如图，大正方形的面积是80cm2，笑笑在求大正方形内阴影部分的面积时，想到的方法是：把大正方形平均分成4个小正方形，每个小正方形的面积20cm2，进而推断出整个阴影部分的面积。根据她的方法，整个阴影部分的面积是( )cm2。
三、判断题
9．如图，圆的面积比圆外的正六边形面积大。( )
10．在一块正方形纸板上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是28.26cm2，剩余纸板的面积是7.74cm2。( )
11．一张方桌的边长是1米，将其四边撑开，变成了一张圆桌（桌面如图），圆桌的面积为平方米。( )
12．在一个外方内圆的图形中，正方形的边长等于圆的半径。( )
四、计算题
13．计算下面阴影部分的面积。
五、解答题
14．如图，小明做手工时，在一张周长为40厘米的正方形纸上画了个最大的圆，再在这个圆里画了一个最大的正方形。
(1)圆的半径是多少厘米？
(2)画的新正方形的面积是多少平方厘米？
15．有一块正方形土地（如图），边长是20米，在它的中央有一个圆形花坛，直径是8米，现在要在花坛周围建一条最大的环形路，剩下的部分种草，请在图中画出这条环形路（保留作图痕迹），并求出这条环形路的面积是多少平方米。
16．为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 C B C A
1．C
【分析】在正方形中剪最大的圆，正方形的边长等于圆的直径，先根据圆的面积求出半径，再乘计算出直径，即正方形边长，再根据正方形的面积等于边长乘边长计算正方形面积即可。
【详解】
329
可知圆的半径为厘米，直径为（厘米）
（平方厘米）
2．B
【分析】各选项中阴影部分的面积是用正方形的面积减去空白部分的面积。把各图形进行切拼，让空白部分拼成较为完整的图形，看哪个选项中的图形与其它选项不同。
【详解】A．空白部分是完整的圆，容易计算面积，无需切拼；
B．将图形沿对角线切开：，然后旋转拼合：；
C．将图形沿横竖方向切成4块：，然后将空白部分拼合在一起，拼成；
D．将图形沿竖向切成2块：，然后将空白部分拼合在一起，拼成。
综上所述，C、D中的图形可切拼成与A相同的图形，B图形切拼成的图形与A不相同。
3．C
【分析】由图可知，正方形的边长相当于圆的两个半径长度，即2r。正方形面积＝边长×边长，即（2r）×（2r）＝4r2，得r2＝80÷4＝20；再根据圆的面积公式即可得到圆的面积。
【详解】正方形的面积：（2r）×（2r）＝4r2
所以r2＝80÷4＝20
圆的面积：πr2＝π×20＝20π（dm2）
4．A
【分析】长方形中画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积＝π×半径2，据此解答。
【详解】3.14×（4÷2）2
＝3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（cm2）
这个圆的面积是12.56cm2。
5．7.125
【分析】涂色部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，根据求出圆的面积，正方形的面积等于两个三角形的面积，三角形的面积＝圆的直径×半径÷2，据此解答。
【详解】5÷2＝2.5（厘米）
＝3.14×2.52
＝3.14×6.25
＝19.625（平方厘米）
5×2.5÷2×2
＝12.5÷2×2
＝6.25×2
＝12.5（平方厘米）
19.625－12.5＝7.125（平方厘米）
6． 50.24 18
【分析】正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr ，三角形的面积＝底×高÷2；
图①外面正方形的边长等于内圆的直径，根据64＝8×8可知外面正方形的边长是8dm，则内圆的直径为8dm
图②圆内正方形的对角线等于外圆的直径，对角线可以把正方形分成2个底等于外圆的直径（2r），高等于外圆的半径（r）的三角形，则正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r ，先用外圆的面积除以π求出r ，再把r 代入2r 中计算即可。
【详解】①64＝8×8
内圆面积：3.14×（8÷2）
＝3.14×4
＝3.14×16
＝50.24（dm ）
r ＝28.26÷3.14＝9
圆内正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r
＝2×9
＝18（dm ）
7． 62.8 314
【分析】根据题意，在一张边长20cm的正方形纸板中剪出一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长；
根据圆的周长公式，圆的面积公式，代入数据计算，分别求出这个圆的周长和面积。
【详解】3.14×20＝62.8（cm）
3.14×（20÷2）
＝3.14×10
＝3.14×100
＝314（cm）
这个圆的周长是62.8cm，面积是314cm。
8．17.2
【分析】观察图形可知，大圆的半径等于小正方形的边长，设小正方形的边长（大圆的半径）为rcm。已知每个小正方形的面积是20cm2，即r2＝20；每个小正方形里的空白部分是圆，根据圆的面积公式S＝πr2，将r2＝20代入公式中求出整个圆的面积，再乘，即是圆的面积；然后用小正方形的面积减去圆的面积，求出每个小正方形里的阴影部分的面积，再乘4，就是整个阴影部分的面积。
【详解】圆的面积：3.14×20×＝15.7（cm2）
小正方形里的阴影部分的面积：20－15.7＝4.3（cm2）
整个阴影部分的面积：4.3×4＝17.2（cm2）
9．×
【分析】观察图形可知，圆外正六边形包含圆，圆的所有部分都在正六边形的范围内。
封闭图形的面积是图形所占平面的大小，完全位于另一个图形内部的图形，面积一定小于外部图形的面积。
【详解】圆位于正六边形内部，所以圆的面积小于正六边形的面积。
故答案为：×
10．
【分析】（）首先明确正方形内最大圆的特征，因为圆是正方形内剪下的最大的圆，所以圆的直径等于正方形的边长。
（）已知圆的面积，根据圆的面积公式，可以求出圆的半径，进而得到圆的直径，也就是正方形的边长。
（）根据正方形面积公式 ：，计算正方形的面积，再用正方形面积减去圆的面积，将得到的结果和题目给出的剩余面积比较，判断对错。
【详解】
因为，所以圆的半径是，直径为（），即正方形边长为。
正方形面积：（）
剩余纸板面积：（），和题干数值一致。
故答案为：
11．√
【分析】根据题意，连接正方形2条对角线，将正方形平均分成4个小等腰直角三角形，用1×1＝1平方米，求出正方形面积，然后一个小等腰直角三角形的面积就是1÷4＝0.25平方米，再根据三角形的面积＝底×高÷2，用三角形面积×2，即是两条小等腰直角三角形直角边的积，直角边又等于圆的半径，也就是圆的两条半径之积是0.25×2，根据圆的面积公式S＝πr2，即可解答。
【详解】π×（1×1÷4×2）
＝π×（1÷4×2）
＝π×（0.25×2）
＝π×0.5
＝（平方米）
原题说法正确。
故答案为：√
12．×
【分析】外方内圆指圆内切于正方形，即圆与正方形的四条边都相切。此时，圆的直径等于正方形的边长，因此圆的半径应为正方形边长的一半。
【详解】在一个外方内圆的图形中，圆内切于正方形，圆的直径等于正方形的边长。
设正方形的边长为 ，则圆的直径为 ，圆的半径为 。题干中“正方形的边长等于圆的半径”即 ，这仅当 时成立，但边长不能为零，因此说法错误。
故答案为：×
13．72.96平方厘米； 84.78平方厘米
【分析】（1）阴影部分面积＝圆的面积－正方形面积，
正方形的面积我们可以看成两个三角形相加，这个三角形的底是圆的直径（d＝16cm），高是圆的半径（r＝8cm）；
（2）阴影部分面积＝大圆的面积－小圆的面积，
大圆半径＝6cm，小圆直径＝6cm；
【详解】根据分析，解答如下：
×8×16×2＝128（）
S＝π＝π×＝3.14×64＝200.96（）
＝200.96－128＝72.96（）
答：阴影部分面积为72.96平方厘米。
小圆半径：r＝3cm
＝π－π＝3.14×－3.14×＝3.14×36－3.14×9＝113.04－28.26＝84.78（）
答：阴影部分面积为84.78平方厘米。
14．(1)5厘米
(2)50平方厘米
【分析】（1）正方形周长＝边长×4，先根据大正方形周长求出边长，大正方形里面最大圆的直径等于大正方形边长，半径＝直径÷2。
（2）圆内最大正方形的对角线长度等于圆的直径，把这个正方形分成两个相同三角形，三角形底是直径，高是半径，两个三角形面积相加就是正方形面积。三角形面积公式S＝底×高÷2。
【详解】（1）40÷4＝10（厘米）
10÷2＝5（厘米）
答：圆的半径是5厘米。
（2）10×5÷2×2
＝50÷2×2
＝50（平方厘米）
答：画的新正方形的面积是50平方厘米。
15．
；
263.76平方米；
【分析】要得到最大的环形路，外圆需是正方形内最大的圆，且和花坛为同心圆，圆心是正方形的中心，直径等于正方形的边长；
作图：①连接正方形的两条对角线，交点为环形的圆心；②以该交点为圆心，正方形边长的一半为半径画圆，两圆之间的区域就是环形路；
圆的面积＝圆周率×半径的平方，环形面积等于外圆面积减去内圆花坛的面积。
【详解】画图略；
（平方米）
答：这条环形路的面积是平方米。
16．41.04平方米
【分析】圆形的面积＝πr ，代入数字可计算出圆形面积，将正方形面积如图沿对角线分成两个三角形，三角形的底为圆的直径，高为圆的半径，据此根据三角形面积＝（底×高）÷2算出三角形面积之后再乘2可算出正方形面积；用圆面积－正方形面积就是种太阳花的面积。
【详解】3.14×62－（6×2）×6÷2×2
＝3.14×36－12×6÷2×2
＝113.04－72
＝41.04（平方米）
答：种太阳花的面积有41.04平方米。
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