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6.3.1 平方差公式 同步测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册
一、单选题
1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个长方体的长，宽，高恰好是三个连续的奇数，若中间的奇数为，则这个长方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．试说明与的大小关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．计算：______．
7．用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________．
8．设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”）
9．若，则_________．
10．解答以下问题：
（1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______，
（2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______．
三、解答题
11．化简：．
12．计算：；
13．计算：．
14．先化简，再求值：，其中．
15．乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）；
(4)运用你所得到的公式，计算下列题：
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 D D B C B
1．D
【详解】解：选项A：，两个括号内的式子互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算；
选项B：，两个括号内的式子互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算；
选项C：，两个括号内的式子互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算；
选项D：中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构特征，能用平方差公式计算．
2．D
【分析】根据题意列式计算即可．
【详解】解：设中间的数为n，那么最小的奇数是，最大的奇数是，则有：
．
3．B
【分析】将看作一个整体，利用平方差公式进行展开后即可直接计算出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
4．C
【分析】根据平方差公式，将M和N改写，再用作差法进行比较即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴．
5．B
【分析】多次利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
6．
【分析】先根据单项式乘多项式法则和平方差公式展开原式，再去括号合并同类项即可得到结果．
【详解】解：
．
7．
【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意可得，观察图形可知阴影部分的面积等于底为高为的三角形面积减去底为高为的三角形面积，利用整式的混合运算法则化简求值即可 ．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
根据题意，得，
阴影部分的面积为
．
8．=
【分析】根据平方差公式和完全平方公式将与化简，再进行比较即可．
【详解】解：∵
，
，
∴．
9．
【分析】利用平方差公式对分子因式分解，化简后对比等式两边，即可求出的值．
【详解】解：，，
，
，
，
．
10． 18
【分析】（1）用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可．
（2）由题意得，根据阴影面积为：代入计算即可
【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故答案为：．
（2）由题意得，
阴影面积为：
11．
【分析】先用平方差公式化简，再合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
12．
【详解】解：原式．
13．
【分析】本题需要先运用平方差公式和单项式乘多项式法则展开式子，再通过合并同类项得到最简结果．
【详解】解：
．
14．
，.
【分析】运用整式的混合运算法则计算，再代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，．
15．(1)
(2)，,
(3)
(4)
【分析】此题主要考查了平方差公式，熟悉相关性质是解题的关键．
（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．
【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；
（2）解：由图可知长方形的宽是，长是，所以面积是；
（3）解：（等式两边交换位置也可）；
故答案为：；
（4）解：
；
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