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诊断提分卷
第 15章 轴对称 诊断提分卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分。每题只有一项是符合题目要求的）
1、下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
【答案】A
2、如图，△ 与△ 关于直线 对称，则以下结论中不一定正确的是（ ）
A. ∥ B. ∠ = ∠
C. = D.
【答案】C
3、已知点 ( 1,3)与点 (2, 1)关于 轴对称，则 + 2025的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 1 D. 32025
【答案】B
【解析】∵点 ( 1,3)与点 (2, 1)关于 轴对称，∴ 1 = 2， 1 = 3，∴ = 3， = 2，
∴ + )2025 = (3 2)2025 = 1。故选 B。
1
4、如图，在△ 中， = = 6， = 4，分别以点 ，点 为圆心，大于 2 的长为半
径作弧，两弧交于点 , ，过点 , 作直线交 于点 ，连接 ，则△ 的周长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
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【答案】C
【解析】由作图可知， 垂直平分 ，∴ = ，∴△ 的周长= + + = +
+ = + = 6 + 4 = 10。
5、如图所示的是“人字形”钢架，其中斜梁 = ，顶角∠ = 120 ，跨度 = 10 m，
为支柱（即底边 的中线），两根支撑架 ， ，则 + 等于（ ）
A. 10 m B. 5 m C. 2.5 m D. 9.5 m
【答案】B
【解析】∵ = ，∠ = 120
1
，∴∠ = ∠ = 30 ，∵ ， ，∴ = ， =2
1 1 1 1
，∴ + = ( + ) = = × 10 = 52 2 2 2 (m)。
6、如图，在△ 中， = ，∠ = 70 ，△ 与△ 关于直线 成轴对称，∠ = 10 ，
连接 ，则∠ 的度数是（ ）
A. 30 B. 35 C. 40 D. 45
【答案】C
【解析】∵△ 与△ 关于直线 成轴对称，∴△ △ ，∠ = ∠ = 10 ，
∴∠ = ∠ ， = ，∵ = ，∠ = 70 ，∴∠ = ∠ = 70 ，∴∠ = ∠ =
180 70 70 = 40 ，∴∠ = 40 + 10 + 10 + 40 = 100 ，∵ = ，∴∠ =
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∠ = 40 。故选 C。
7、如图，在△ 中， = ， = ， = = ，则∠ =（ ）
A. 60 B. 50 C. 30 D. 45
【答案】D
【解析】设∠ = ，∵ = ，∴∠ = ∠ = 90
1 1
，∵ = ，∴∠ = ∠ = 90 2 2 ，
1
∴∠ = ，∵ = ，∴∠ = ∠ = ，∵ = ，∴∠ = ∠ = ，∴∠ =2
1 1
∠ + ∠ = + = 90 ，解得 = 45 ，∴∠ = 45 2 2 。故选 D。
8、如图，在△ 中，∠ 和∠ 的平分线相交于点 ，过点 作 ∥ 交 于 ，交
于 ，过点 作 于 ，下列结论错误的是（ ）
A. = +
1
B. ∠ = 90 + ∠ 2
C. 点 到△ 各边的距离相等
D. 设 = ， + = ，则 △ =
【答案】D
【解析】∵在△ 中，∠ 和∠ 的平分线相交于点 ，∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∵ ∥ ，∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴ = ，
= ，∴ = + = + ，故 A选项结论正确；
1 1 1 1 1
∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ = (180 ∠ ) =2 2 2 2 2
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90
1 1
∠ ，∴∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 90 + ∠ 2 2 ，故 B选项结论正确；
如图，过点 作 于 ， 于 ，连接 ，∵在△ 中，∠ 和∠ 的平分线
相交于点 ，∴ = = ，∴点 到△ 各边的距离相等，故 C选项结论正确；
1 1 1
∵ = ，∴ = = ，∴ △ = △ + △ = · + · = ·( +2 2 2
1
) =
2 ，故 D选项结论错误。故选 D。
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分）
9、我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，如图所示的是一种常见的图案，这个图案
有________条对称轴。
【答案】2
10、如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ 上，若∠1 = 24 ，则∠2的度数
为________。
【答案】36
【解析】如图，∵△ 是等边三角形，∴∠ = 60 ，∵太阳光线平行，∴∠3 = ∠1 = 24 ，∠2 =
∠4，∵∠4 = ∠ ∠3 = 60 24 = 36 ，∴∠2的度数为36 。
11、如图，在平面直角坐标系 中，点 在 轴上， 轴于点 ，点 关于直线 的对称
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点 恰好落在线段 上，点 与点 关于直线 对称，∠ = 22 ，则∠ 的度数为________。
【答案】46
【解析】如图，连接 ，由条件可知∠ = ∠ = 22 ，∠ = 90 22 = 68 ，∵ ,
关于直线 对称，∴∠ = ∠ = 22 ，∴∠ = ∠ ∠ = 68 22 = 46 ，∵
与 关于直线 对称，∴∠ = ∠ = 46 。
12、如图，在△ 中， 的垂直平分线 与 的垂直平分线 交于点 ，垂足分别为 , ，
连接 , , ，若∠ = 48 ，则∠ =________ 。
【答案】42
【解析】∵∠ = 48 ，∴∠ + ∠ = 180 48 = 132 ，∵ 的垂直平分线 与 的
垂直平分线 交于点 ，∴ = ， = ，∴ = ，∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，
∴∠ + ∠ = 132 (∠ + ∠ ) = 132 48 = 84 ，∵ = ，∴∠ = ∠ =
42 ，故答案为 42。
13、如图，在△ 中，∠ = 30 ，点 是 的中点， 交 于 ，点 在 上， = ，
= 1， = 2，则 的长为________。
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【答案】4
【解析】如图，连接 ，作 于点 ，∵ = 1， = 2，∴ = + = 3，∵在 △
中，∠ = 30 ，∴ = 2 = 6，∠ = 60 ，∵ = ， ，∴ = ，∵ = ，
1
∴ = ，∵ ，∴ = ，∵在 △ 中，∠ = 60 ，∴∠ = 30 ，∴ = =2
1，∴ = = 5，∴ = 10，∴ = 10 6 = 4，故答案为 4。
14、如图，在△ 中，∠ = 60 ，在△ 的内部取一点 ，连接 , , ，恰有 = ，
∠ = 20 ，∠ = 40 。下列说法：①∠ = 140 ；②△ 是等腰三角形；③∠ =
30 ；④△ 是等边三角形。其中正确的是________。（填序号）
【答案】①②③
【解析】∵∠ = 40 ， = ，∴∠ = ∠ = 40 ，∵∠ = 60 ，∴∠ = 60 40 =
20 ，∵∠ = 20 ，∴∠ = 180 ∠ ∠ = 180 20 20 = 140 ，故①说法
正确；
∵∠ = ∠ = 20 ，∴ = ，∴△ 是等腰三角形，故②说法正确；∵∠ = 60 ，
∠ = 20 ，∠ = 40 ，∴∠ + ∠ = 180 60 20 40 = 60 ，∵ = ，
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= ，∴ = ，∴∠ = ∠ = 30 ，故③说法正确；
∵∠ = ∠ + ∠ = 20 + 30 = 50 ，∠ = 30 + 40 = 70 ，∠ = 60 ，∴△
不是等边三角形，故④说法不正确。故答案为①②③。
三、解答题（共 52分）
15、（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ 三个顶点分别在边长为 1的格点上。
（1）作出△ 关于 轴对称的△ 1 1 1，并写出点 1, 1, 1的坐标。
（2）若在 轴上有一点 ，使得线段 + 的值最小，请你在图中标出点 的位置。
【答案】 1(4,3)， 1( 3,0)， 1(2,5)；点 位置如图。
【解析】（1）如图， 1(4,3)， 1( 3,0)， 1(2,5)。
（2）作点 关于 轴的对称点 2，连接 2 交 轴于点 ，如图。
16、（12分）如图，∠ 是△ 的外角，点 是 的中点，过点 作直线 ，使其交∠
的平分线于点 ，交 的延长线于点 ，且 ∥ 。
（1）求证：△ 是等腰三角形。
（2）若 = 1， = 4， = 3 ，求△ 的周长。
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【答案】△ 的周长为 11。
【解析】（1）证明：∵ ∥ ，∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∵ 平分∠ ，∴∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，∴ = ，∴△ 是等腰三角形。
（2）∵ 是 的中点，∴ = ，∵ ∥ ，∴∠ = ∠ ，又∵∠ = ∠ ，∴△ △
( )，∴ = = 1。∵ = 3 ，∴ = 3，∵ = = 4，∴△ 的周长= +
+ = 4 + 4 + 3 = 11。
17、（14分）【模型感知】
（1）如图①，△ 和△ 都是等边三角形，求证： = 。
【模型应用】
（2）已知∠ = 60 ，点 在直线 上，以 为边在直线 上方作等边三角形 ，过点
作 于点 。如图②，若点 在点 右侧，求证： + = 2 。
【答案】（1）∵△ 和△ 都是等边三角形，∴ = ， = ，∠ = ∠ = 60 ，
∴∠ = ∠ ，∴△ △ ( )，∴ = 。
（2）如图，在射线 上截取 = ，连接 , ，∵∠ = 60 ，∴△ 是等边三角形，
∴ = = ，∠ = ∠ = 60 ，∵△ 是等边三角形，∴ = ，∠ = 60 ，
∴∠ = ∠ ，∴△ △ ( )，∴ = ，∠ = ∠ = 60 ，∵ + =
+ = ，∴ + = 。∵ ，∴∠ = 90 ，∴∠ = 90 60 = 30 ，∴ =
1
，即 = 2 2 ，∴
+ = 2 。
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18、（16分）【问题情境】
如图，在平面直角坐标系中，点 (0,2)， (2,0)，连接 ，点 ，点 是 轴上的动点，且 = 。
连接 ，过 点作 于点 ，交直线 于点 ，连接 ，试问在运动过程中，∠ 与∠
是否存在某种特定的数量关系？
【深入探究】如图 1，当点 ，点 在线段 上，且 点在 点的左侧时。
（1）求证：∠ = ∠ 。
（2）试猜想∠ 与∠ 的数量关系，并说明理由。
【拓展应用】
（3）如图 2，当点 在 点右侧，点 在 轴负半轴上运动时，若∠ = ，用 表示∠ 。
【答案】∠ = 180 或 。
【解析】（1）证明：∵∠ = 90 ，∴∠ + ∠ = 90 ，∵ ，∴∠ = 90 ，∴∠ +
∠ = 90 ，∴∠ = ∠ 。
（2）∠ = ∠ 。理由如下：如图 1，过点 作 ，交 的延长线于点 ，∴∠ =
90 = ∠ ，∵ (0,2)， (2,0)，∴ = ，∴∠ = ∠ = 45 ，∵∠ = ∠ ，
∴△ △ ( )，∴ = ，∠ = ∠ ，∵ = ，∴ = ，∴ = ，
∵∠ = 45 ，∴∠ = 45 = ∠ ，∵ = ，∴△ △ ( )，∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ 。
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（3）如图 2，当点 在 轴下方时，过点 作 ，交 于点 ，同理可证得△ △ ，
△ △ ，∴∠ = ∠ = ，∴∠ = ∠ = 180 ；如图 3，当点 在
轴上方时，过 点作 ，交 的延长线于点 ，同理可得△ △ ，△ △
，∴∠ = ∠ = ∠ = 。综上所述，∠ = 180 或 。诊断提分卷
第 15章 轴对称 诊断提分卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分。每题只有一项是符合题目要求的）
1、下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
2、如图，△ 与△ 关于直线 对称，则以下结论中不一定正确的是（ ）
A. ∥ B. ∠ = ∠ C. = D.
3、已知点 ( 1,3)与点 (2, 1)关于 轴对称，则 + 2025的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 1 D. 32025
1
4、如图，在△ 中， = = 6， = 4，分别以点 ，点 为圆心，大于 2 的长为半
径作弧，两弧交于点 , ，过点 , 作直线交 于点 ，连接 ，则△ 的周长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
5、如图所示的是“人字形”钢架，其中斜梁 = ，顶角∠ = 120 ，跨度 = 10 m，
为支柱（即底边 的中线），两根支撑架 ， ，则 + 等于（ ）
A. 10 m B. 5 m C. 2.5 m D. 9.5 m
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6、如图，在△ 中， = ，∠ = 70 ，△ 与△ 关于直线 成轴对称，∠ = 10 ，
连接 ，则∠ 的度数是（ ）
A. 30 B. 35 C. 40 D. 45
7、如图，在△ 中， = ， = ， = = ，则∠ =（ ）
A. 60 B. 50 C. 30 D. 45
8、如图，在△ 中，∠ 和∠ 的平分线相交于点 ，过点 作 ∥ 交 于 ，交
于 ，过点 作 于 ，下列结论错误的是（ ）
A. = +
1
B. ∠ = 90 + ∠ 2
C. 点 到△ 各边的距离相等
D. 设 = ， + = ，则 △ =
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分）
9、我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，如图所示的是一种常见的图案，这个图案
有________条对称轴。
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10、如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ 上，若∠1 = 24 ，则∠2的度数
为________。
11、如图，在平面直角坐标系 中，点 在 轴上， 轴于点 ，点 关于直线 的对称
点 恰好落在线段 上，点 与点 关于直线 对称，∠ = 22 ，则∠ 的度数为________。
12、如图，在△ 中， 的垂直平分线 与 的垂直平分线 交于点 ，垂足分别为 , ，
连接 , , ，若∠ = 48 ，则∠ =________ 。
13、如图，在△ 中，∠ = 30 ，点 是 的中点， 交 于 ，点 在 上， = ，
= 1， = 2，则 的长为________。
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14、如图，在△ 中，∠ = 60 ，在△ 的内部取一点 ，连接 , , ，恰有 = ，
∠ = 20 ，∠ = 40 。下列说法：①∠ = 140 ；②△ 是等腰三角形；③∠ =
30 ；④△ 是等边三角形。其中正确的是________。（填序号）
三、解答题（共 52分）
15、（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ 三个顶点分别在边长为 1的格点上。
（1）作出△ 关于 轴对称的△ 1 1 1，并写出点 1, 1, 1的坐标。
（2）若在 轴上有一点 ，使得线段 + 的值最小，请你在图中标出点 的位置。
16、（12分）如图，∠ 是△ 的外角，点 是 的中点，过点 作直线 ，使其交∠
的平分线于点 ，交 的延长线于点 ，且 ∥ 。
（1）求证：△ 是等腰三角形。
（2）若 = 1， = 4， = 3 ，求△ 的周长。
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17、（14分）【模型感知】
（1）如图①，△ 和△ 都是等边三角形，求证： = 。
【模型应用】
（2）已知∠ = 60 ，点 在直线 上，以 为边在直线 上方作等边三角形 ，过点
作 于点 。如图②，若点 在点 右侧，求证： + = 2 。
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18、（16分）【问题情境】
如图，在平面直角坐标系中，点 (0,2)， (2,0)，连接 ，点 ，点 是 轴上的动点，且 = 。
连接 ，过 点作 于点 ，交直线 于点 ，连接 ，试问在运动过程中，∠ 与∠
是否存在某种特定的数量关系？
【深入探究】如图 1，当点 ，点 在线段 上，且 点在 点的左侧时。
（1）求证：∠ = ∠ 。
（2）试猜想∠ 与∠ 的数量关系，并说明理由。
【拓展应用】
（3）如图 2，当点 在 点右侧，点 在 轴负半轴上运动时，若∠ = ，用 表示∠ 。

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