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诊断提分卷
第 17章 因式分解 诊断提分卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分。每题只有一项是符合题目要求的）
1、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. 2 2 = ( + )( ) B. 2 4 = ( 2)2 4
C. ( 2)( 3) = 2 5 + 6 D. 2 5 + 6 = ( 5) + 6
【答案】A
【解析】因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式。A是因式分解；B、D的结果不是
整式积；C是整式乘法。故选 A。
2、下列各组代数式中，没有公因式的是（ ）
A. 2 与 B. + 与 2 + 2 C. + 与 2 2 D. 2 与 6 2
【答案】B
【解析】A.公因式为 ；B. + 与 2 + 2没有公因式；C. 2 2 = ( + )( )，公因式为 + ；
D.公因式为 2。故选 B。
3、利用提取公因式法计算 5)2026 + ( 5 2027，结果是（ ）
A. 4 × 52026 B. 4 × ( 5)2026 C. 4 × 52027 D. 4 × ( 5)2027
【答案】A
【解析】原式= ( 5)2026 × [1 + ( 5)] = ( 5)2026 × ( 4) = 4 × 52026。故选 A。
4、下列因式分解结果正确的是（ ）
A. 2 + 3 + 2 = ( + 3) + 2 B. 4 2 9 = (4 + 3)(4 3)
C. 2 2 + 1 = ( + 1)2 D. 2 5 + 6 = ( 2)( 3)
【答案】D
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【解析】 2 + 3 + 2 = ( + 1)( + 2)；4 2 9 = (2 + 3)(2 3)； 2 2 + 1 = ( 1)2；
2 5 + 6 = ( 2)( 3)。故选 D。
5、已知 10 31)(13 17) (13 17)(3 23 可因式分解成 + )(7 + ，其中
, , 均为整数，则 + 的值为（ ）
A. 12 B. 4 C. 22 D. 38
【答案】C
【解析】原式= (13 17)(10 31 3 + 23) = (13 17)(7 8) = ( + )(7 + )，
∴ = 13， = 17， = 8，∴ + = 13 + 17 8 = 22。故选 C。
6、已知 , , 是△ 的三边长，且满足 ( + ) = 0，则△ 的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 无法判断 D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】 ( + ) = 0，即 ( + ) ( + ) = 0，( + )( ) = 0，∵ , , 为三
角形边长， + > 0，∴ = 0， = ，即△ 是等腰三角形。故选 A。
7、嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可
知钥匙在（ ）。
密码及对应的明文：
3 →在；( 1) →书架上； →里面；( + 1) →花瓶的；( ) →后面；( 2 1) →衣柜的。
提示：3 ( 2 1) 3 ( 2 1)因式分解的结果即钥匙所在位置。
A. 在衣柜的花瓶里面 B. 在衣柜的后面
C. 在书架上花瓶的里面 D. 在书架上花瓶的后面
【答案】D
【解析】3 ( 2 1) 3 ( 2 1) = 3( 2 1)( ) = 3( 1)( + 1)( )，对应明文为“在
书架上花瓶的后面”。故选 D。
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8、如果一个整数是另一个整数的平方，就称这个整数为“平方数”，如 0,1,4,9,16, ；如果一个
整数是两个整数的平方和，就称这个整数为“亚平方数”，如 0 = 02 + 02，1 = 02 + 12，5 = 12 +
22，13 = 22 + 32，所以 0,1,5,13, 都是“亚平方数”。下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，
错误的是（ ）
A. 任何一个“平方数”一定是“亚平方数”
B. 两个“亚平方数”的和一定是一个“亚平方数”
C. 一个“平方数”与一个“亚平方数”的积一定是一个“亚平方数”
D. 两个“亚平方数”的积一定是一个“亚平方数”
【答案】B
【解析】A. 2 = 2 + 02，正确；B.1 = 02 + 12与 2 = 12 + 12都是亚平方数，但 1 + 2 = 3不能
写成两整数平方和，错误；C. 2( 2 + 2) = ( )2 + ( )2，正确；D. 2 + 2)( 2 + 2) = ( +
)2 + ( 2，正确。故选 B。
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分）
9、把多项式 6 3 2 + 8 2 3分解因式，应提取公因式________。
【答案】2 2 2
【解析】6 3 2 + 8 2 3 = 2 2 2(3 + 4 )，故应提取公因式 2 2 2。
10、一个多项式，把它因式分解后有一个因式为 1 ，请你写出一个符合条件的多项式：
________。
【答案】 2 1（答案不唯一）
【解析】如 2 1 = ( + 1)( 1)，含有因式 1 ，答案不唯一。
11、如果多项式 4 2 + 9是完全平方式，则 =________。
【答案】±12
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【解析】4 2 + 9 = (2 )2 ± 2 × 2 × 3 + 32，故 =± 12。
12、如图，六块纸板拼成一张大长方形纸板，其中一块是边长为 的正方形，两块是边长为
的正方形，三块是长为 、宽为 的长方形（ > ）。观察图形，发现多项式 2 + 3 + 2 2可
因式分解为________。
【答案】 + )( + 2
【解析】大长方形长为 + 2 ，宽为 + ，面积为 + )( + 2 ，也等于 2 + 3 + 2 2，
故 2 + 3 + 2 2 = ( + )( + 2 )。
13、如图，在△ 中，∠ = 90 ， = = ，四边形 是边长为 的正方形，若 + = 10，
= 12，则阴影部分的面积为________。
【答案】32
1 1 1 1 1 1 1
【解析】 2阴影 = ( ) = (
2 + 2) = ( + )2 = × 102 ×
2 2 2 2 2 2 2
12 = 32。
14、已知 = 2025 + 2025， = 2025 + 2024， = 2025 + 2026，那么 2 + 2 + 2
=________。
【答案】3
1
【解析】原式= [( )2 + ( )2 + ( )2]，∵ = 1， = 2， = 12 ，∴原
1
式= (1 + 1 + 4) = 32 。
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三、解答题（共 52分）
15、（12分）因式分解：
（1）3 12 3。
（2） 4 7 2 + 6。
（3）( 2 4 )2 + 8( 2 4 ) + 16。
（4）9 2 3(2 + 3) + 2。
【答案】（1）3 (1 + 2 )(1 2 )；（2） + 1)( 1)( 2 6 ；（3） 2 4；（4） 3
3)(3 + 3 。
【解析】（1）原式= 3 (1 4 2) = 3 (1 + 2 )(1 2 )。
（2）原式= ( 2 1)( 2 6) = ( + 1)( 1)( 2 6)。
（3）设 2 4 = ，原式= 2 + 8 + 16 = ( + 4)2 = ( 2 4 + 4)2 = ( 2)4。
（4）原式= (3 )2 9 = (3 3)(3 + 3)。
16、（10分）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务。因式分解：
3 + )2 ( + 3 2。
解：原式= (9 2 + 6 + 2) ( 2 + 6 + 9 2)（第一步）
= 8 2 8 2（第二步）
= 8( 2 2)（第三步）。
任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是________公式。
②第三步进行因式分解用到的方法是________法。
任务二：同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是________。
任务三：请你先用公式法因式分解，再继续完成，写出正确的解答过程。
【答案】任务一：①完全平方；②提公因式。
任务二：因式分解不彻底， 2 2还可继续分解。
任务三：8( + )( )。
【解析】任务三： 3 + )2 ( + 3 )2 = [3 + + ( + 3 )][3 + ( + 3 )] = (4 +
4 )(2 2 ) = 8( + )( 。
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17、（14分） 2 + 3)2 22 = 7 × 3； 4 + 3)2 42 = 11 × 3。嘉嘉发现规律：比任意一个偶
数大 3的数与此偶数的平方差能被 3整除。
（1） 6 + 3)2 62的结果是 3的________倍。
（2）设任意一个偶数为 2 ，试说明比 2 大 3的数与 2 的平方差能被 3整除。
（3）请利用整数 说明“比任意一个整数大 3的数与此整数的平方差被 6除的余数为 3”。
【答案】（1）15；（2）（3）见解析。
【解析】（1） 6 + 3)2 62 = 81 36 = 45 = 3 × 15，故填 15。
（2） 2 + 3)2 (2 )2 = (2 + 3 + 2 )(2 + 3 2 ) = 3(4 + 3 ，故能被 3整除。
（3）( + 3)2 2 = ( + 3 + )( + 3 ) = 6 + 9 = 6( + 1) + 3，故被 6除余 3。
18、（16分）把代数式通过配凑等手段得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质
解题，这种方法叫配方法。
例 1：因式分解 2 + 6 + 8 = ( + 3)2 1 = ( + 2)( + 4)。
例 2： = 2 2 + 2 2 2 + 2 = ( )2 + ( 1)2 + 1，当 = = 1时， 有最小值 1。
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解： 2 12 + 35 =________。
（2）若 = 2 3 + 1，求 的最小值。
（3）已知 2 + 2 2 + 2 2 + 4 6 + 13 = 0，求 + + 的值。
5
【答案】（1） 7)( 5 ；（2）最小值为 4；（3）
+ + = 1。
【解析】（1） 2 12 + 35 = ( 6)2 1 = ( 7)( 5)。
2
（2） = 2
3 5 3 5
3 + 1 =
2 4，当
=
2时，
取最小值 4。
（3）原式配方得 )2 + ( + 2)2 + ( 3)2 = 0，∴ = 0， + 2 = 0， 3 = 0，
解得 = = 2， = 3，∴ + + = 2 2 + 3 = 1。诊断提分卷
第 17章 因式分解 诊断提分卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分。每题只有一项是符合题目要求的）
1、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. 2 2 = ( + )( ) B. 2 4 = ( 2)2 4
C. ( 2)( 3) = 2 5 + 6 D. 2 5 + 6 = ( 5) + 6
2、下列各组代数式中，没有公因式的是（ ）
A. 2 与 B. + 与 2 + 2 C. + 与 2 2 D. 2 与 6 2
3、利用提取公因式法计算 5)2026 + ( 5 2027，结果是（ ）
A. 4 × 52026 B. 4 × ( 5)2026 C. 4 × 52027 D. 4 × ( 5)2027
4、下列因式分解结果正确的是（ ）
A. 2 + 3 + 2 = ( + 3) + 2 B. 4 2 9 = (4 + 3)(4 3)
C. 2 2 + 1 = ( + 1)2 D. 2 5 + 6 = ( 2)( 3)
5、已知 10 31)(13 17) (13 17)(3 23 可因式分解成 + )(7 + ，其中
, , 均为整数，则 + 的值为（ ）
A. 12 B. 4 C. 22 D. 38
6、已知 , , 是△ 的三边长，且满足 ( + ) = 0，则△ 的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 无法判断 D. 等腰直角三角形
7、嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可
知钥匙在（ ）。
密码及对应的明文：
3 →在；( 1) →书架上； →里面；( + 1) →花瓶的；( ) →后面；( 2 1) →衣柜的。
提示：3 ( 2 1) 3 ( 2 1)因式分解的结果即钥匙所在位置。
A. 在衣柜的花瓶里面 B. 在衣柜的后面
C. 在书架上花瓶的里面 D. 在书架上花瓶的后面
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8、如果一个整数是另一个整数的平方，就称这个整数为“平方数”，如 0,1,4,9,16, ；如果一个
整数是两个整数的平方和，就称这个整数为“亚平方数”，如 0 = 02 + 02，1 = 02 + 12，5 = 12 +
22，13 = 22 + 32，所以 0,1,5,13, 都是“亚平方数”。下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，
错误的是（ ）
A. 任何一个“平方数”一定是“亚平方数”
B. 两个“亚平方数”的和一定是一个“亚平方数”
C. 一个“平方数”与一个“亚平方数”的积一定是一个“亚平方数”
D. 两个“亚平方数”的积一定是一个“亚平方数”
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分）
9、把多项式 6 3 2 + 8 2 3分解因式，应提取公因式________。
10、一个多项式，把它因式分解后有一个因式为 1 ，请你写出一个符合条件的多项式：
________。
11、如果多项式 4 2 + 9是完全平方式，则 =________。
12、如图，六块纸板拼成一张大长方形纸板，其中一块是边长为 的正方形，两块是边长为
的正方形，三块是长为 、宽为 的长方形（ > ）。观察图形，发现多项式 2 + 3 + 2 2可
因式分解为________。
13、如图，在△ 中，∠ = 90 ， = = ，四边形 是边长为 的正方形，若 + = 10，
= 12，则阴影部分的面积为________。
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14、已知 = 2025 + 2025， = 2025 + 2024， = 2025 + 2026，那么 2 + 2 + 2
=________。
三、解答题（共 52分）
15、（12分）因式分解：
（1）3 12 3。
（2） 4 7 2 + 6。
（3）( 2 4 )2 + 8( 2 4 ) + 16。
（4）9 2 3(2 + 3) + 2。
16、（10分）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务。因式分解：
3 + )2 ( + 3 2。
解：原式= (9 2 + 6 + 2) ( 2 + 6 + 9 2)（第一步）
= 8 2 8 2（第二步）
= 8( 2 2)（第三步）。
任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是________公式。
②第三步进行因式分解用到的方法是________法。
任务二：同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是________。
任务三：请你先用公式法因式分解，再继续完成，写出正确的解答过程。
诊断提分卷
17、（14分） 2 + 3)2 22 = 7 × 3； 4 + 3)2 42 = 11 × 3。嘉嘉发现规律：比任意一个偶
数大 3的数与此偶数的平方差能被 3整除。
（1） 6 + 3)2 62的结果是 3的________倍。
（2）设任意一个偶数为 2 ，试说明比 2 大 3的数与 2 的平方差能被 3整除。
（3）请利用整数 说明“比任意一个整数大 3的数与此整数的平方差被 6除的余数为 3”。
18、（16分）把代数式通过配凑等手段得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质
解题，这种方法叫配方法。
例 1：因式分解 2 + 6 + 8 = ( + 3)2 1 = ( + 2)( + 4)。
例 2： = 2 2 + 2 2 2 + 2 = ( )2 + ( 1)2 + 1，当 = = 1时， 有最小值 1。
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解： 2 12 + 35 =________。
（2）若 = 2 3 + 1，求 的最小值。
（3）已知 2 + 2 2 + 2 2 + 4 6 + 13 = 0，求 + + 的值。

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