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诊断提分卷
第 18章 分式 诊断提分卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分。每题只有一项是符合题目要求的）
4 + 2
1、下列各式：3 ，2 + 4，3 ， ，5中，分式的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2、纳米是表示微小距离的单位，1纳米= 0.000001毫米，而 1毫米相当于我们通常使用的刻
度尺上的一小格。碳纳米管层与层之间保持固定的距离，约为 0.34纳米。将数据 0.34纳米用
科学记数法可以表示为（ ）
A. 3.4 × 10 7毫米 B. 0.34 × 10 6毫米 C. 3.4 × 10 6毫米 D. 3.4 × 10 5毫米
3、下列分式变形正确的是（ ）
2 2 2 + 2 +
A. = = B. 2
0.2 + 1 2 + 1 2 4 + 4
C. = D. = 2
0.5 5 2
2 0
4、若 = 32
1 2
， = 3 2， = ， = , , , 3 3 ，则 的大小关系为（ ）
A. < < < B. > > > C. < < < D. < < <
5、小亮与小红周末去环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的 1.2倍，两人各自骑行了 6 km，
小亮骑行时间比小红少用了 4 min。设小红的骑行速度为 km/h，则可列方程为（ ）
6 4 6 6 6 6 4 6 6 6
A. + = B. + 4 = = 4 =1.2 60 1.2 C. 60 1.2 D. 1.2
1 2
6、已知分式 2 ， + 1， 是这两个分式中分母的公因式，
是这两个分式的最简公分母，
2 2

且 = 3 ，则 的值为（ ）
6 7 6 5
A. 7 B. C. D.6 5 6
+ 1 3 2 6 + 9
7、已知 为整数，且计算 ÷ 的结果为整数，则所有符合条件的 的值
3 + 2 2 4
的和为（ ）
A. 0 B. 12 C. 10 D. 8
诊断提分卷
8 2 > 2
4 1
、若关于 的不等式组 1 ≤ + 3 无解，且关于 的分式方程 = 3 3 3 的解
为非负数，则满足条件的所有整数 的和是（ ）
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分）
3
9、若分式 0 + 2的值为 ，则实数 的值为________。
3 2
10、计算 12 2 4· 2 ÷ 2 的结果等于________。2
2
11、计算 2 2 + 的结果是________。
2
12、若 2 2
2 + +
+ 2 5 = 0，则代数式 ÷
2
的值为________。
13、某网店用 5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用 11000
元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了 0.5元，第二次购进
的草莓数量是试销时的 2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克________元。
14、下列结论：①若 = 4，则 2 = 16；②若 2 + + 81是一个完全平方式，则 的值为
1 2
18；③若 2 3 + 1 = 0，则 + = 3；④若关于 的方程 = 2 + 1无解，则
的值为 4或
0。其中正确的是________（填写序号）。
三、解答题（共 52分）
15、（10分）解分式方程：
2 + 9 4 7 2 40 + 2
（1） = + 2 + =3 9 3 （2） + 2 4 2 2
诊断提分卷
16、（12分）
2 2 1
（1）先化简： 2 ÷ 2 ，再从 1,0, 2,2 中选一个合适的数代入求值。 4 4 + 4
2 9 2)2 (2 5
（2）先化简，再求值： ÷ 2 2 6 3 = 0 ( 2)( + 3) 2 ，其中 满足等式 。
17、（14分）某公司计划购买 , 两种型号的 AI机器人搬运材料。已知 型 AI机器人比 型
AI机器人每小时多搬运 30 kg材料， 型 AI机器人搬运 900 kg材料所用时间与 型 AI机器人
搬运 600 kg材料所用时间相等。
（1）求 , 两种型号的 AI机器人每小时分别搬运多少材料。
（2）该公司计划采购 , 两种型号的AI机器人共 20台，要求每小时搬运材料不得少于1600 kg，
则至少购进 型 AI机器人多少台？
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18、（16分）请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务。
在生活中，有这样司空见惯的现象：
现象 1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜。
用数学知识解释：设原来的糖水总质量是 克，其中含有 克糖（ > > 0），则糖水的浓度为

。
①如果加入 克水，糖水的浓度变为________，因为糖水变淡，所以可以得到不等式________。
②如果加入 克糖，糖水的浓度变为________，因为糖水变甜，所以可以得到不等式________。
现象 2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变。
用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有 1克、 2克糖水，分别含糖 1克、 2克。它们浓度相
1 = 2同，则 = ，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为________（用含有 1, 2
, 1, 2的式子
1 2
1 2 1 + 2
表示），因为 = = ，所以
1 = 1, 2 = 2，则 + =________= ，所以浓度不变。1 2 1 2
任务 1：直接写出现象 1中“________”处的内容。
任务 2：证明②中的不等式。（提示：若 < 0，则 < ）
任务 3：直接写出现象 2中“________”处的内容。

任务 4：请运用现象 1的结论证明：若 , , 是△ 三边的长，则 1 < + + < 2 + + + 。诊断提分卷
第 18章 分式 诊断提分卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分。每题只有一项是符合题目要求的）
4 + 2
1、下列各式：3 ，2 + 4，3 ， ，5中，分式的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
4 + 2
【解析】分母中含有字母的式子是分式。 2 + 4、3 的分母中含字母，是分式； 中

是常数，5分母为常数，都不是分式。故分式共
2个，选 B。
2、纳米是表示微小距离的单位，1纳米= 0.000001毫米，而 1毫米相当于我们通常使用的刻
度尺上的一小格。碳纳米管层与层之间保持固定的距离，约为 0.34纳米。将数据 0.34纳米用
科学记数法可以表示为（ ）
A. 3.4 × 10 7毫米 B. 0.34 × 10 6毫米 C. 3.4 × 10 6毫米 D. 3.4 × 10 5毫米
【答案】A
【解析】0.34纳米= 0.00000034毫米= 3.4 × 10 7毫米，故选 A。
3、下列分式变形正确的是（ ）
2 2 2 + 2 +
A. = B.
=
2
0.2 + 1 2 + 1 2 4 + 4
C. = D. = 2
0.5 5 2
【答案】D
2 2 + )( 2 +
【解析】A. = = + ≠ ，错误；
B.
无法约分，错误；
0.2 + 1 2 + 10 2 + 1 2 4 + 4 2 2
C. = ≠ D. = = 2 D
0.5 5 5 ，错误； 2 2 ，正确。故选 。
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2 0
4、若 = 32， = 3 2
1 2
， = ， = ，则 , , , 3 3 的大小关系为（ ）
A. < < < B. > > > C. < < < D. < < <
【答案】D
2 2 1 1
2 2 0 1
【解析】 = 3 = 9， = 3 = ， = = 9， = = 1，∵ 9 < <9 3 3 9
1 < 9，∴ < < < ，故选 D。
5、小亮与小红周末去环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的 1.2倍，两人各自骑行了 6 km，
小亮骑行时间比小红少用了 4 min。设小红的骑行速度为 km/h，则可列方程为（ ）
6 4 6 6 6 6 4 6 6 6
A. + = B. + 4 = =1.2 60 1.2 C. 60 1.2 D.
4 =
1.2
【答案】A
【解析】小红速度为 km/h，则小亮速度为 1.2 km/h。由小亮的骑行时间+4min =小红的骑
6 4 6
行时间，得 + =1.2 60 ，故选 A。
1 2
6、已知分式 2 ， + 1， 是这两个分式中分母的公因式，
是这两个分式的最简公分母，
2 2

且 = 3 ，则 的值为（ ）
6 7 6 5
A. 7 B. C. D.6 5 6
【答案】B

【解析】2 2 2 = 2( + 1)( 1)，公因式 = + 1，最简公分母 = 2( + 1)( 1)，∴ =
+ 1 1 7
= = 3 ∴6( 1) = 1 =
2( + 1)( 1) 2( 1) ， ，解得 6，经检验是分式方程的解，故选
B。
+ 1 3 2 6 + 9
7、已知 为整数，且计算 ÷ 的结果为整数，则所有符合条件的 的值
3 + 2 2 4
的和为（ ）
A. 0 B. 12 C. 10 D. 8
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【答案】C
+ 1 3 + 2)( 2 + 1 2 3 3
【解析】原式= · = = = 3 + 2 3 2 3 3 3
。令 3 （ 为整
3
数），则 = + 3， =± 1或±3，得 = 6,0,4,2 ；当
= 2时 2 4 = 0，舍去。故符合条件
的 的和为 6 + 0 + 4 = 10，选 C。
2 > 2 4 18、若关于 的不等式组 1 ≤ + 3 无解，且关于 的分式方程 = 3 3 3 的解
为非负数，则满足条件的所有整数 的和是（ ）
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
【答案】A
1 1
【解析】解不等式得 < 2， ≥ ，不等式组无解∴ ≥ 2，即 ≥ 32 2 。解分式方
12 12 12
程得 = ，∵解为非负数且 3 ≠ 0，∴ > 0 ≠ 3 < 33 3 且3 ，得 且
≠ 1。
∴ 3 ≤ < 3且 ≠ 1，整数 = 3, 2,0,1,2，和为 2，故选 A。
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分）
3
9、若分式 0 + 2的值为 ，则实数 的值为________。
【答案】3
【解析】由 3 = 0且 + 2 ≠ 0，得 = 3。
3 2
10、计算 12 2 4· ÷
2 2 2
的结果等于________。
【答案】36
2
【解析】原式= 18 3 2·
2
= 36 。

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2
11、计算 2 2 + 的结果是________。

【答案】
2 2 ( ) + 2 ( + )
【解析】原式= = = = = + )( + + )( + )( + )(

。
2 + 2 +
12、若 2 2 + 2 5 = 0，则代数式 ÷ 2 的值为________。
5
【答案】2
【解析】∵2 2
5
+ 2 5 = 0，∴ 2 + = 2。
2 + 2 + 2 2 + 2 2
原式= · 2
5
+
= · + = + = 2。
13、某网店用 5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用 11000
元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了 0.5元，第二次购进
的草莓数量是试销时的 2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克________元。
【答案】5
【解析】设试销时进货价为每千克 元，则第二次为每千克 0.5 元，
11000 5000
依题意 = × 2 + 0.5 ，解得
= 5，经检验是所列方程的解且符合题意。
14、下列结论：①若 = 4，则 2 = 16；②若 2 + + 81是一个完全平方式，则 的值为
1 2
18；③若 2 3 + 1 = 0，则 + = 3 ；④若关于
的方程 = 4 2 + 1无解，则 的值为 或
0。其中正确的是________（填写序号）。
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【答案】①③④
1
【解析】① 2 = ( )2 = 42 = 16，正确；② =± 18，错误；③由 2 3 + 1 = 0得 + = 3 ，
正确；④方程化为整式方程得 4 + 2 = ，即( 4) = 2，分式方程无解则 4 = 0或
产生增根，得 = 4或 0，正确。故正确的是①③④。
三、解答题（共 52分）
15、（10分）解分式方程：
2 + 9 4 7 2 40 + 2
（1） = + 2 + =3 9 3 （2） + 2 4 2 2
【答案】（1）原方程无解；（2） = 5。
【解析】（1）方程两边同乘 3( 3)，得 2 + 9 = 3(4 7) + 6( 3)，解得 = 3；检验：
当 = 3时 3( 3) = 0，∴原方程无解。
（2）方程两边同乘 + 2)( 2 ，得 2)2 40 = ( + 2 2，去括号得 2 4 + 4 40 =
2 + 4 + 4，移项、合并得 8 = 40，解得 = 5；检验：当 = 5时 2 4 = 21 ≠ 0，∴ = 5
是原分式方程的解。
16、（12分）
2 2 1
（1）先化简： 2 ÷ 2 ，再从
1,0, 2,2中选一个合适的数代入求值。
4 4 + 4
2 9 2)2 (2 5
（2）先化简，再求值： ÷ ，其中 满足等式 2 2 6 3 = 0 ( 2)( + 3) 2 。
2
【答案】（1）当 = 1时，原式= 1；（2）原式= 3。
2 2 1 2 2 1
【解析】（1）原式= 2 ÷ = ÷ 4 2 4 + 4 ( + 2)( 2) ( 2)2
2 1 1 2 ( 2)
= ÷ = ÷
( + 2)( 2) 2 ( + 2)( 2) ( 2)
2 2 2 ( 2)
= ÷ = × =
( + 2)( 2) ( 2) ( + 2)( 2) 2 + 2
1
∵ + 2 ≠ 0, 2 ≠ 0, ≠ 0，∴ = 1，原式= = 1 1 + 2 。
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+ 3)( 3 2 1 1
（2）原式= · = = ( 2)( + 3) 3 2 ( 3) 2
。
3
∵2 2
3 2
6 3 = 0，∴ 2 3 = 2，∴原式
=
3。
17、（14分）某公司计划购买 , 两种型号的 AI机器人搬运材料。已知 型 AI机器人比 型
AI机器人每小时多搬运 30 kg材料， 型 AI机器人搬运 900 kg材料所用时间与 型 AI机器人
搬运 600 kg材料所用时间相等。
（1）求 , 两种型号的 AI机器人每小时分别搬运多少材料。
（2）该公司计划采购 , 两种型号的AI机器人共 20台，要求每小时搬运材料不得少于1600 kg，
则至少购进 型 AI机器人多少台？
【答案】（1） 型每小时搬运 90 kg， 型每小时搬运 60 kg；（2）至少购进 型 14台。
900 600
【解析】（1）设 型每小时搬运 kg，则 型每小时搬运( + 30) kg，依题意 = + 30 ，解
得 = 60，经检验是原分式方程的解，此时 + 30 = 90。
1
（2）设购进 型 台，则 型 20 台，依题意 90 + 60(20 ) ≥ 1600，解得 ≥ 133，∵
为整数，∴ 的最小值为 14。
18、（16分）请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务。
在生活中，有这样司空见惯的现象：
现象 1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜。
用数学知识解释：设原来的糖水总质量是 克，其中含有 克糖（ > > 0），则糖水的浓度为

。
①如果加入 克水，糖水的浓度变为________，因为糖水变淡，所以可以得到不等式________。
②如果加入 克糖，糖水的浓度变为________，因为糖水变甜，所以可以得到不等式________。
现象 2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变。
用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有 1克、 2克糖水，分别含糖 1克、 2克。它们浓度相
1 2
同，则 = = ________ , , , ，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为 （用含有 1 2 1 2的式子1 2
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1 2 +
表示），因为 = = ，所以 1 =
1 2
1, 2 = 2，则 + =________= ，所以浓度不变。1 2 1 2
任务 1：直接写出现象 1中“________”处的内容。
任务 2：证明②中的不等式。（提示：若 < 0，则 < ）
任务 3：直接写出现象 2中“________”处的内容。

任务 4：请运用现象 1的结论证明：若 , , 是△ 三边的长，则 1 < + + < 2 + + + 。
+ +
【答案】任务 1：① < > + ， + ；② + ， + 。
1 + 2 1 + 2
任务 3： 1 +
，
2 1 +
。
2
+ ( + ) ( + ) ( )
【解析】任务 2：证明： = = ，∵ > > 0, > 0 + ， ( + ) ( + )
( ) +
∴ > 0，即 > + 。 ( + )
2 2
任务 4：证明：由现象 1得 < < + + < + < + + ①， + + + + + ②，
2
+ + 1 < + + < 2 1 < +
+ + < + < + + ③，① ② ③得 + + + ，即 +

+ < 2
+ + 。

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