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诊断提分卷
第 13章 三角形 诊断提分卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分。每小题只有一项符合题目要求的）
1、下列长度的 3条线段中，能构成三角形的是（ ）
A. 6 cm, 7 cm, 2 cm B. 5 cm, 6 cm, 11 cm
C. 30 cm, 8 cm, 10 cm D. 5 cm, 3 cm, 1 cm
2、以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ）
3、已知：如图， ∥ ，∠1 = 36 ，∠2 = 60 ，则∠3的度数是（ ）
A. 36 B. 34 C. 26 D. 24
4、分别用如图所示的 3种方式折三角形纸片 ，则 依次是△ 的（ ）
A. 中线、角平分线、高线 B. 角平分线、高线、中线
C. 高线、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高线
5、如图，在△ 中，已知 , , 分别是 , , 的中点，且阴影部分图形的面积为 5，则
△ 的面积为（ ）
A. 10 B. 15 C. 17.5 D. 20
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6、如图，在△ 中， , 分别是 , 上的点，且 ∥ ， 是∠ 的平分线，分别交 ,
于点 , ，则∠1、∠2和∠3之间的数量关系为（ ）
A. ∠1 = ∠2 + ∠3 B. ∠1 = 2∠2 + ∠3
C. ∠1 + ∠3 = 2∠2 D. ∠1 + ∠2 = 2∠3
1
7、下列条件：①∠ = ∠ ∠ ，②∠ ∠ = 90 ，③∠ :∠ : ∠ = 2: 3: 5，④∠ = ∠ =2
1
∠
3 中，能确定△ 是直角三角形的条件有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8、如图，在△ 中，点 在 上，点 , 在 上，点 在 的延长线上，且∠ = ∠ ，∠ =
∠ ，若∠ = 29 ，则∠ 的度数为（ ）
A. 61 B. 58 C. 65.5 D. 59.5
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分）
9、等腰三角形的两边长分别为 3和 7，则第三边长为________。
10、如图，平面镜 放置在水平地面 上，墙面 于点 ，一束光线 照射到镜面
上，反射光线为 ，点 在 上，已知法线垂直于地面 ，反射角等于入射角，若∠ = 35 ，
则∠ 的度数为________。
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11、将一副三角尺按如图所示的方式放置。∠ = ∠ = 90 ，∠ = 45 ，∠ = 30 ，
与 交于点 ，与 交于点 。若∠ = 30 ，则∠ 的度数为________。
12、如图，在△ 中，∠ : ∠ : ∠ = 1: 2: 6，过点 作 的垂线，交 于点 ，则
∠ =________ 。
13、如图，在△ 中， , 分别是∠ 和∠ 的平分线，∠ = 70 ，则∠ + ∠
的值是________。
14、如图， 是△ 的角平分线， 是△ 的高，∠ = 60 ，∠ = 50 ，点 为边
上一点，当△ 为直角三角形时，∠ 的度数为________。
三、解答题（共 52分）
15、（10分）按要求完成下列各小题。
（1）在△ 中， = 8， = 2， 的长为偶数，求△ 的周长。
（2）已知△ 的三边长分别为 3,5, ，化简 + 1| | 8| 2| 2 。
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16、（12分）如图，在△ 中，∠ + ∠ = 90 ， 是△ 的中线， 是△ 的高，
为 上一点，过点 作 于点 ，且 = 4 。
（1）求证：△ 是直角三角形。
（2）若∠ = ∠ ，∠ = 60 ，求∠ 的度数。
6
（3）若 = 5， = 5，求△ 的面积。
1
17、（14分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2，我们称这两个角互为“友
爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”。例如：在△ 中，如果∠ = 80 ，∠ = 40 ，那么∠
与∠ 互为“友爱角”，△ 为“友爱三角形”。
（1）如图 1，△ 是“友爱三角形”，且∠ 与∠ 互为“友爱角”（∠ > ∠ ），∠ = 90 。
①求∠ ，∠ 的度数。
②如果 是△ 中 边上的高，那么△ ，△ 都是“友爱三角形”吗？为什么？
（2）如图 2，在△ 中，∠ = 70 ，∠ = 66 ， 是 边上一点（不与点 , 重合），连
接 ，若△ 是“友爱三角形”，直接写出∠ 的度数。
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18、（16分）已知直线 与 互相垂直，垂足为 ，点 在射线 上运动，点 在射线
上运动，点 , 均不与点 重合。
（1）如图 1， 平分∠ 交 于点 ， 平分∠ ， 的反向延长线交 的延长线于点 。
①若∠ = 30 ，则∠ =________ 。
②在点 , 的运动过程中，∠ 的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ 的度数；若变
化，请说明理由。
（2）如图 2，已知点 在 的延长线上，∠ 的平分线 ，∠ 的平分线 分别与∠
的平分线所在的直线相交于点 , 。在△ 中，如果有一个角的度数是另一个角的 3倍，求
出∠ 的度数。诊断提分卷
第 13章 三角形 诊断提分卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分。每小题只有一项符合题目要求的）
1、下列长度的 3条线段中，能构成三角形的是（ ）
A. 6 cm, 7 cm, 2 cm B. 5 cm, 6 cm, 11 cm
C. 30 cm, 8 cm, 10 cm D. 5 cm, 3 cm, 1 cm
【答案】A
【解析】三角形任意两边之和大于第三边。A.6 + 2 > 7，能构成；B.5 + 6 = 11，不能；C.8 + 10 <
30，不能；D.3 + 1 < 5，不能。故选 A。
2、以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ）
【答案】C
【解析】三角形具有稳定性，生活中三角形结构的物体利用了这一性质；不是利用三角形稳定
性的是选项 C。故选 C。
3、已知：如图， ∥ ，∠1 = 36 ，∠2 = 60 ，则∠3的度数是（ ）
A. 36 B. 34 C. 26 D. 24
【答案】D
【解析】设 与 交于点 ，∵ ∥ ，∴∠ = ∠2 = 60 ，∵∠ 是△ 的外角，∴∠3 =
∠ ∠1 = 60 36 = 24 。故选 D。
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4、分别用如图所示的 3种方式折三角形纸片 ，则 依次是△ 的（ ）
A. 中线、角平分线、高线 B. 角平分线、高线、中线
C. 高线、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高线
【答案】B
【解析】由折叠可知：图①中∠ ′ = ∠ ， 是角平分线；图②中∠ ′ = ∠ = 90 ，
是高线；图③中 = ， 是中线。故 依次是角平分线、高线、中线，选 B。
5、如图，在△ 中，已知 , , 分别是 , , 的中点，且阴影部分图形的面积为 5，则
△ 的面积为（ ）
A. 10 B. 15 C. 17.5 D. 20
【答案】D
1 1 1
【解析】∵点 是 的中点，∴ △ = △ ， △ = △ ，∴ △ = 2 2 2 △ ，∵点

1
是 的中点，∴ △ = △ ，∴ △ = 4 2 △
= 4 × 5 = 20。故选 D。
6、如图，在△ 中， , 分别是 , 上的点，且 ∥ ， 是∠ 的平分线，分别交 ,
于点 , ，则∠1、∠2和∠3之间的数量关系为（ ）
A. ∠1 = ∠2 + ∠3 B. ∠1 = 2∠2 + ∠3
C. ∠1 + ∠3 = 2∠2 D. ∠1 + ∠2 = 2∠3
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【答案】C
【解析】∵ ∥ ，∴∠ = ∠3，∵∠1和∠2分别是△ 和△ 的外角， 平分∠ ，∴∠1 =
∠ + ∠ = 2∠ + ∠3①，∠2 = ∠ + ∠ = ∠ + ∠3，即∠ = ∠2 ∠3②，把
②代入①得∠1 = 2(∠2 ∠3) + ∠3 = 2∠2 ∠3，即∠1 + ∠3 = 2∠2。故选 C。
1
7、下列条件：①∠ = ∠ ∠ ，②∠ ∠ = 90 ，③∠ :∠ : ∠ = 2: 3: 5，④∠ = ∠ =2
1
∠
3 中，能确定△ 是直角三角形的条件有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】①∠ = ∠ ∠ ，则∠ = 90 ，是直角三角形；②∠ ∠ = 90 ，∠ > 90 ，不
5
是直角三角形；③∠ = × 180 = 90 ，是直角三角形；④设∠ = ，则∠ = 2 2 + 3 + 5 ，
∠ = 3 ，6 = 180 ， = 30 ，∠ = 90 ，是直角三角形。故符合的有①③④共 3个，选 C。
8、如图，在△ 中，点 在 上，点 , 在 上，点 在 的延长线上，且∠ = ∠ ，∠ =
∠ ，若∠ = 29 ，则∠ 的度数为（ ）
A. 61 B. 58 C. 65.5 D. 59.5
【答案】B
【解析】设∠ = ，∠ = ，则∠ = ∠ = + ，∠ = ∠ = + 29 ，∴∠ =
180 2 2 ，∵∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，∴ + 29 + 29 = + + 180 2 2 ，
∴2 + = 122 ，∴∠ = 180 2 = 58 。故选 B。
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二、填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分）
9、等腰三角形的两边长分别为 3和 7，则第三边长为________。
【答案】7
【解析】若第三边为 3，则 3 + 3 < 7，不能构成三角形；若第三边为 7，则 3 + 7 > 7，能构
成三角形。故第三边长为 7。
10、如图，平面镜 放置在水平地面 上，墙面 于点 ，一束光线 照射到镜面
上，反射光线为 ，点 在 上，已知法线垂直于地面 ，反射角等于入射角，若∠ = 35 ，
则∠ 的度数为________。
【答案】55
【解析】由反射角等于入射角及法线垂直地面，可得∠ = 90 35 = 55 。
11、将一副三角尺按如图所示的方式放置。∠ = ∠ = 90 ，∠ = 45 ，∠ = 30 ，
与 交于点 ，与 交于点 。若∠ = 30 ，则∠ 的度数为________。
【答案】15
【解析】△ 与△ 构成“8字型”，∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，∴∠ = ∠ + ∠
∠ = 30 + 30 45 = 15 。
12、如图，在△ 中，∠ : ∠ : ∠ = 1: 2: 6，过点 作 的垂线，交 于点 ，则
∠ =________ 。
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【答案】110
【解析】设∠ = ，则∠ = 2 ，∠ = 6 ，由 + 2 + 6 = 180 得 = 20 ，∴∠ = 20 ，
∵ ，∴∠ = ∠ + 90 = 110 。
13、如图，在△ 中， , 分别是∠ 和∠ 的平分线，∠ = 70 ，则∠ + ∠
的值是________。
【答案】195
1 1
【解析】∵ , 分别平分∠ , ∠ ，∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴∠ +2 2
1
∠ = (∠ + ∠ )，∵∠ = 70 ，∴∠ + ∠ = 110 ，∴∠ + ∠ = 55 2 ，
∴∠ + ∠ = 2∠ + ∠ + ∠ = 140 + 55 = 195 。
14、如图， 是△ 的角平分线， 是△ 的高，∠ = 60 ，∠ = 50 ，点 为边
上一点，当△ 为直角三角形时，∠ 的度数为________。
【答案】20 或60
【解析】当∠ = 90 时，∵ 平分∠ ，∠ = 60 ，∴∠ = 30 ，在 △ 中∠ =
60 ；当∠ = 90 时，同理∠ = 30 ，∠ = ∠ = 50 ，∴∠ = 50 30 = 20 。
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故∠ 为20 或60 。
三、解答题（共 52分）
15、（10分）按要求完成下列各小题。
（1）在△ 中， = 8， = 2， 的长为偶数，求△ 的周长。
（2）已知△ 的三边长分别为 3,5, ，化简 + 1| | 8| 2| 2 。
【答案】（1）18；（2） 3。
【解析】（1）由三边关系 8 2 < < 8 + 2，即 6 < < 10，∵ 为偶数，∴ = 8，周长
为 8 + 2 + 8 = 18。
（2）∵三边长为 3,5, ，∴5 3 < < 5 + 3，即 2 < < 8，∴原式= + 1 (8 ) 2(
2) = + 1 8 + 2 + 4 = 3。
16、（12分）如图，在△ 中，∠ + ∠ = 90 ， 是△ 的中线， 是△ 的高，
为 上一点，过点 作 于点 ，且 = 4 。
（1）求证：△ 是直角三角形。
（2）若∠ = ∠ ，∠ = 60 ，求∠ 的度数。
6
（3）若 = 5， = 5，求△ 的面积。
【答案】（1）见解析；（2）30 ；（3）24。
【解析】（1）证明：∵∠ + ∠ = 90 ，∴∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 90 ，
∴△ 是直角三角形。
（2）∵∠ = 60 ，∠ = 90 ，∴∠ = ∠ = 30 ，∴∠ = ∠ + ∠ = 60 ，
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∵ ，∴∠ = 30 。
6 24
（3）∵ = 4 ， = =5，∴ 5，
1 24
∵ 是中线， = 5，∴ = 10，∴ △ = × 10 × = 242 5 。
1
17、（14分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2，我们称这两个角互为“友
爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”。例如：在△ 中，如果∠ = 80 ，∠ = 40 ，那么∠
与∠ 互为“友爱角”，△ 为“友爱三角形”。
（1）如图 1，△ 是“友爱三角形”，且∠ 与∠ 互为“友爱角”（∠ > ∠ ），∠ = 90 。
①求∠ ，∠ 的度数。
②如果 是△ 中 边上的高，那么△ ，△ 都是“友爱三角形”吗？为什么？
（2）如图 2，在△ 中，∠ = 70 ，∠ = 66 ， 是 边上一点（不与点 , 重合），连
接 ，若△ 是“友爱三角形”，直接写出∠ 的度数。
【答案】（1）①∠ = 60 ，∠ = 30 ；②都是；（2）33 或38 。
【解析】（1）①由题意∠ = 2∠ ，∵∠ = 90 ，∴∠ + ∠ = 90 ，即 3∠ = 90 ，∴∠ = 30 ，
∠ = 60 。
1
②都是。理由：∵ 是高，∴∠ = ∠ = 90 ，∵∠ = 60 ，∠ = 30 ，∴∠ = 30 = ∠ 2 ，
1
△ 为友爱三角形；在△ 中，∠ = 60 ，∠ = 30 = ∠ ，△ 2 为友爱三角形。
18、（16分）已知直线 与 互相垂直，垂足为 ，点 在射线 上运动，点 在射线
上运动，点 , 均不与点 重合。
（1）如图 1， 平分∠ 交 于点 ， 平分∠ ， 的反向延长线交 的延长线于点 。
①若∠ = 30 ，则∠ =________ 。
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②在点 , 的运动过程中，∠ 的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ 的度数；若变
化，请说明理由。
（2）如图 2，已知点 在 的延长线上，∠ 的平分线 ，∠ 的平分线 分别与∠
的平分线所在的直线相交于点 , 。在△ 中，如果有一个角的度数是另一个角的 3倍，求
出∠ 的度数。
【答案】（1）①45 ；②不变，∠ = 45 ；（2）60 或45 。
【解析】（1）②不变。∵∠ = 90 ，设∠ = ，则∠ = 90 + ，∵ , 分别平分
1 1 1
∠ , ∠ ，∴∠ = (90 + ) = 45 + ，∠ = ，∴∠ = ∠ ∠ =2 2 2
45 ，故∠ 不变，为45 。
1 1
（2）由题意∠ = (∠ + ∠ ) = 90 ，∴∠ + ∠ = 90 ，且∠ = ∠ ，即∠ =2 2
1
2∠ 。分两种情况：（i）∠ = 3∠ ，则∠ = × 90 = 30 ，∠ = 60 ；（ii）∠ = 3∠ 3 ，
则 4∠ = 90 ，∠ = 22.5 ，∠ = 45 。故∠ 为60 或45 。

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