资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
16.3.2 完全平方公式 第1课时 同步测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册
一、单选题
1．下列从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于实数a、b，定义新运算“*”：，若关于x的方程有实数根，且根为整数，则整数k的个数为（ ）
A．2个 B．1个 C．4个 D．5个
3．若，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．6
5．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（ ）
A．12 B．9 C．7 D．5
二、填空题
6．计算：______．
7．计算：________．
8．若，则________．
9．已知，，则______．
10．如图，在边长为的正方形草地外围修建一条宽度为的小路，则小路的面积为______．（用含的代数式表示）
三、解答题
11．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
12．用乘法公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
13．已知，求：
(1) ；
(2)
(3)
14．解决下列问题
(1)图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式___________．
(2)若，，求与的值．
15．小明在数学课外书上看到了这样一道题：
如果x满足，求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法：
方法1：设，，则，，
所以．
方法2：因为，所以，所以，
．
(1)若，求的值．（任选一种方法解答）
(2)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，
①图中__________，__________（用含x的代数式表示）
②求图中阴影部分的面积和．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 B B A D C
1．B
【分析】利用乘法公式展开各选项，对比等式两边即可判断变形是否正确.
【详解】解：对A选项，，A变形错误；
对B选项，，与等式右边相等，B变形正确；
对C选项，，C变形错误；
对D选项，，D变形错误.
2．B
【分析】先根据新运算定义和完全平方公式化简方程左边，再根据方程有实数根的条件确定整数k的个数．
【详解】解：∵由新定义运算可得，
∴，
∴原方程化为 ，
∵方程有实数根，
∴仅当时方程成立，
又∵为整数，
∴ 整数只有个，即符合条件的的个数为．
3．A
【分析】本题考查完全平方公式，有理数的大小比较，利用完全平方公式将变形后进行判断即可．将原式进行正确地变形是解题的关键．本题考查整式的化简求值，通过代数恒等式化简表达式，比较a和b的大小．
【详解】解：∵
，
∴．
故选：A．
4．D
【分析】此题考查了代数式求值，完全平方公式的运用，正确掌握完全平方公式是解题的关键．先分别计算，，，再将多项式根据完全平方公式变形后代入计算即可．
【详解】解：∵，，
，
，
，
，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可．
【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为，
由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为，
所以，即，
，即，而，
，
，而，则,
．
故选：C．
6．
【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式展开即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
7．
【分析】本题考查了完全平方公式运用，利用完全平方公式解答即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了完全平方公式．
通过展开完全平方公式，比较等式两边对应项的系数，建立方程求解．
【详解】解：左边展开：=，
与右边比较得：
，解得，
，代入，得，
因此．
故答案为：．
9．2
【分析】根据计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
10．
【详解】解：．
∴小路的面积为．
11．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：．
（5）解：．
（6）解：．
12．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用多项式乘多项式进行变形，然后代数求解即可；
（2）利用完全平方公式进行变形，然后代数求解；
（3）利用完全平方公式进行变形，然后代数求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
14．(1)
(2)，
【分析】（1）确定小正方形的边长，求面积；用大正方形面积减去四个小长方形面积；
（2）根据完全平方公式即可求出，由（1）得，代入数据即可求出．
【详解】（1）解：阴影部分（小正方形）边长为，面积为或阴影部分为，
则可以得到等式；
（2）解：∵，，
∴；
由（1），
∴．
15．(1)
(2)①，；②144
【分析】（1）设两个平方项为和，利用和的关系式求出乘积或展开原式整理成二次方程，再代入待求乘积的展开式中整体求值；
（2）①由长方形边长关系和已知，直接用总长度减去表示和；
②阴影面积是两个正方形的面积和，即，设，，由长方形面积条件得乘积，再根据用平方关系求出平方和．
【详解】（1）方法1：设，，则
因为，所以，
所以．
方法2：因为，
所以
所以，，
所以，
．
（2）①，，，
，．
②因为长方形的面积为40，
所以，，即，
设，，则，
所以
．
所以图中阴影部分的面积和为144．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑